不定主体的认知谓词逻辑 北京大学哲学系　刘壮虎

认知同一原则： 所有认知主体都认为相等的主体就是同一个主体。 是由现实的个体和“认知同一原则”构造出来的个体，可以称为认知同一的个体，它们的世界可以称为 这些认知主体公共的客观世界。 这客观世界就是我们建立逻辑的基础，我们建立的逻辑中的 相等就是指这个客观世界中的个体同一。

现实世界：　　　周树人(a)　　　　　　沈雁冰（b） 语言：周树人(a1)、鲁迅(a2)、L.S.(a3)　沈雁冰(b1)、茅盾(b2)   现实世界：　　a　　　　　b —————————————————————— 　　　　　　a1(a2, a3)、b1(b2)    {a1(a2)、a3、b1(b2)}　　　　{a1(a2, a3)、b1、b2} {a1、a2、a3、b1(b2)}　　　{a1(a2)、a3、b1、b2} 　　　　　{a1、a2、a3、b1、b2} ———————————————————— 语言：　　a1、a2、a3　　　b1、b2

现实性原则： 现实世界中不同的个体，至少有一个认知主体能够认识到它们的不同。 简单地说： 认知同一的一定是现实同一的。

不定主体的认知谓词逻辑的形式语言包括： (1) 个体变元，用x, y, z等表示； (2) 谓词，用R, P等表示，每个谓词都有一个元数n1； (3) 命题联结词：、； (4) 量词：； (5) 等词：（逻辑谓词）； (6) 不定主体的认知算子：□。 (7) 现实相等：（特殊的非逻辑谓词）。

除□外其它的形成规则如常（和都是二元谓词）。 □的形成规则如下： 如果是公式，x是变元，则□x是公式。   按通常的方式由定义引进、、、。 ◇x =df □x

(1) ； (2) (γ)()γ； (3) ()()； (4) x()xx； (5) x(y/x)，y在中对x代人自由； (6) x，x在中不自由； (7) xx； (8) x1y1…xnynR(x1,…, xn)R(y1,…, yn)；

(9) □x()□x□x； (10) xyz(□z(xy))，zx, zy； (11) (xy)z(□z(xy))，zx, zy；   (12) xyyx； (13) xyyzxz； (14) xyxy； (15) z(□z(xy))xy，zx, zy；

推演规则： 分离规则 从{, }得到； 概括规则 从得到x； 认知概括规则 从得到□x。

x1y1…xnyn(x1,…, xn)(y1,…, yn)才是同一替换的一般表现。 我们前面只讨论xyz(□z(xy))，是因为假定了外延语境下同一替换（x1y1…xnynR(x1,…, xn)R(y1,…, yn)）是成立的，而且有蕴涵的认知概括规则：从得到□x□x。 这样由归纳法可以得到： x1y1…xnyn(x1,…, xn)(y1,…, yn)

由同一替换得xyz(□z(xy))，所以xyz(□z(xy))，这就是认知同一原则的形式刻画。   xyxy是现实性原则的形式刻画。

框架 　K = <D, W, {Fa | aD}>称为框架，如果D(认知主体域)和W(可能世界集)都是非空集合，Fa是W到P(W)的映射。   设X是全体变元的集合，R是全体谓词（包括，不包括）的集合。 赋值和模型　K = <D, W, {Fa | aD}>是框架，V是X W×R上的映射，V称为K上的赋值，如果V满足以下条件： (1) 任给变元x，V(x)D； (2) 任给uW，任给谓词R，V(u, R)  Dn； (3) V(u, )是等价关系。 (4) 任给uW， 如果(任给cD，vFc(u)，都有<a, b>V(v, ) )，则a = b。

公式的值　K = <D, W, {Fa | aD}>是框架，V是K上赋值。公式在V下的值V()  W定义如下： (1) uV(xy) 当且仅当 V(x) = V(y)； （因此V(xy) = W或V(xy) = ） (2) uV(R(x1,…, xn)) 当且仅当 <V(x1),…, V(xn)> V(u, R)； (3) uV() 当且仅当 uV() （V() = W \ V()）； (4) uV() 当且仅当 (如果uV()，则uV()) （V() = (W \ V())V()）； (5) uV(x) 当且仅当 (任给aD，都有uV(a/x)()) （V(x) =∩aDV(a/x)()）； (6) uV(□x) 当且仅当 FV(x)  V()。

满足　K = <D, W, {Fa | aD}>是框架，V是K上赋值。 <K, V> |=  当且仅当 V() = W K |=  当且仅当 任给V是K上赋值，都有<K, V> |= 。   可靠性应该没有问题，完全性存疑。

如果两个主体在现实中同一，他们的认知应该是一样的： (16) xy(□x□y)。 对应语义条件是： (5) 任给uW，任给a, bD， 如果<a, b>V(u, )，则Fa(u) = Fb(u)。   加上(16)的系统是刻画认知主体现实性的极小系统。

认知主体不会弄错自己是谁： ① □x(xy)xy。 对应语义条件是： ① 任给uW，任给a, bD， 如果任给vFa(u)，都有<a, b>V(v, )，则a u b。   认知主体清楚知道自己不是谁： ② (xy)□x((xy))。（◇x(xy)xy） ② 任给uW，任给a, bD， 如果存在vFa(u)，使得<a, b>V(v, )，则<a, b>V(u, )。 认知主体清楚知道自己是谁： ③ xy□x(xy)。 ③ 任给uW，任给a, bD， 如果<a, b>V(u, ) ，则任给vFa(u)，都有<a, b>V(v, )。

1. 每个逻辑系统有相对于自己的逻辑相等的概念，它们并不是一样的，谓词逻辑中的逻辑相等就是现实同一，我们构造在这种多主体逻辑中，逻辑相等就是我们所定义的认知同一。 2. 同一替换是逻辑相等的本质特征。 3. 这样的相对化观点可能是贫乏的。但可能是一种比较合理的选择，有时可能是唯一的一种选择。 4. 我们这种多主体谓词逻辑是不贫乏的。我们可以在此基础上讨论有重要意义的现实同一，只是不把现实同一当作我们系统中的逻辑相等。

例如，对于多主体认知谓词逻辑来说，初始的谓词也可能不是纯外延的，这样如果还用原来现实同一意义下的逻辑相等，可能在初始的谓词上同一替换也不成立。 可以选择限制初始的谓词是外延的。我认为，这种割裂的方法不是一种好的选择。因为当我们同时谈现实和认知时，能保证我们谈论的“现实”真的是现实吗？ 也可以选择同一替换一般地不成立，这样的逻辑的谓词逻辑部分实际上要弱于一般的谓词逻辑。有办法建立一种合适的语义学吗？

与关系语义学相比，邻域语义学只是改变了□的解释，将W到P(W)的映射Fa改为W到P(P(W))的映射Na (成为邻域映射)。 邻域框架就是 K = <D, W, {Na | aD}>   在语义解释中将 (6) uV(□x) 当且仅当 FV(x)  V()。 改为 (6)* uV(□x) 当且仅当 V() Na(u)。

邻域语义学是关系语义学的扩充。只要定义 Na = {S | Fa  S}，则(6)就成为(6)*了。   显然，Na不仅仅是由以上定义的，所以邻域语义学确实比关系语义学的广，而且太广了。如果考虑所有的邻域映射，则除了等值置换（从得到□x□x)）就没有其它性质了。

对于认知逻辑有意义的邻域映射满足以下性质： (1) 如果SNa(u)且S  Q，则QNa(u)； (2) 如果S, QNa(u)，则S∩QNa(u)； (3) WNa(u)。 数学中，这样的集合族有一个名字——滤。   这样的邻域语义学依然是关系语义学的扩充，因为以上由关系映射定义的邻域映射具有这样的性质。

语义学的扩充并不一定是真正的扩充。 例如由所有满足以上性质的邻域映射刻画的认知命题逻辑系统依然是系统K，与关系语义学刻画的一样。   在命题逻辑中，邻域语义中也有由关系语义所不能刻画的性质，但那些性质是不“自然”的。但在谓词逻辑中，我们确实有“自然”的性质，那就是Barcan公式。

我们认知了两个命题，是否能认知它们的合取。一般地我们承认这一点。在认知逻辑中，我们有： □x□x□x()； 相应的语义就是以上的(2)： 如果S, QNa(u)，则S∩QNa(u)；   Barcan公式的本质，就是以上性质向无穷的推广。

相应的语义是： 如果任给aD，V(a/x)()Na(u)，则∩aDV(a/x)()Na(u)。 由关系映射定义的邻域映射都满足这个性质，所以在关系语义学中，Barcan公式成立。 但是在一般的滤的邻域语义中，这个性质可以不成立。所以这种邻域语义刻画的认知谓词逻辑是没有Barcan公式。