定理15.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一的q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: 当f(x)=g(x)q(x)+r(x)中的r(x)=0时, 称f(x)可被g(x)整除,记为g(x)|f(x),称g(x)为f(x)的一个因子,q(x)为商;r(x)0时,称q(x)为不完全商,而r(x)为余式。 推论15.2:f(x), (x-a)F[x],则f(x)被(x-a)除的余式为f(a)。

推论15.3：f(x)F[x],aF,(x-a)|f(x)当且仅当f(a)=0。 定义15.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时，称h(x)为f(x)和g(x)的公因子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x),且c(x)|g(x)时必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大公因子,记为 h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记为(f(x),g(x))。 例：在Z3[x]中，f(x)=2x4+1,g(x)=x5+2,求它们的最大公因子。

定理15.9:(1)GCD(f(x),g(x))可用类似于上述方法求得; (2)当h(x)=GCD(f(x),g(x))时,必存在s(x),t(x)F[x]，使h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x) FF[x],F*=F-{0},任意aF*,存在逆元 对于F[x]中其他元素f(x),当degf(x)>0, 不存在g(x)F[x],使得f(x)g(x)=1. 这里1是域F的单位元. 对F[x]中有逆元的元素称为可逆元.

定义15.11:当aF[x],并存在a-1F[x],使aa-1 =1时,称a为F[x]中的可逆元,否则称为不可逆元。 F[x]中可逆元全体就是F*,F[x]-F*是其不可逆元全体组成的集合。

定义15.12:f(x)F[x],如果存在h(x),t(x),使得f(x)=h(x)t(x),当degh(x),degt(x)1时,称f(x)为F上的可约多项式; 当h(x)和t(x)中必有一个为零次多项式,设degh(x)=0,即h(x)F*为可逆元,称f(x)为不可约多项式,或说f(x)在域F上不可约。 对于实数域上多项式因式分解, 可约与不可约 x2-2x-3=(x-3)(x+1), x2-x-6=(x-3)(x+2) x2-2x-3和x2-x-6都是可约多项式,并且有公因子(x-3). x2+1在实数域上不可约.

例:对于Z3[x],f(x)=x5+2有因子x+2,它可分解为: f(x)=x5+2=(x+2)(x4+x3+x2+x+1) x4+x3+x2+x+1则是不可约多项式 注意这是在域Z3上的分解

定理15.10:F为域,f(x),g(x)F[x],则有f(x)|g(x),且g(x)|f(x),当且仅当f(x) =ag(x), aF*。这里f(x)、g(x)0。 f(x)1=f(x)q1(x)q2(x) 因F[x]关于多项式的乘法与加法构成整环, 满足消去律,即有1=q1(x)q2(x). q1(x)和q2(x)可逆. 若f(x)=ag(x)(aF*),则易得f(x)|g(x),g(x)|f(x)

因此由15.10得g1(x)=ag2(x),这里aF* (2)对f(x),g(x)的任意公因子d(x),设法证明d(x)|g2(x) 定义15.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时，称h(x)为f(x)和g(x)的公因子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x),且c(x)|g(x)时必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大公因子,记为 h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记为(f(x),g(x))。 定理15.11:在多项式环F[x]中,g1(x)= GCD(f(x),g(x)),则g2(x)=GCD(f(x),g(x)),当且仅当g1(x)=ag2(x),这里aF*。 证明:(1)根据最大公因子的定义,有 g1(x)|g2(x), g2(x)|g1(x) 因此由15.10得g1(x)=ag2(x),这里aF* (2)对f(x),g(x)的任意公因子d(x),设法证明d(x)|g2(x)

引理15.1:F[x]为域F上的多项式环,f(x),g(x), h(x)F[x], f(x)|g(x)h(x),并且GCD(f(x),g(x)) =aF*时,有f(x)|h(x)。 证明:利用最大公因子的性质定理15.9(2)得 存在s(x),t(x)F[x],使 a=s(x)f(x)+t(x)g(x) 即1=a-1s(x)f(x)+a-1t(x)g(x) 因此有h(x)=a-1s(x)f(x)h(x)+a-1t(x)g(x)h(x) 因为f(x)|g(x)h(x) 故f(x)|a-1t(x)g(x)h(x), 所以f(x)|a-1s(x)f(x)h(x)+a-1t(x)g(x)h(x) 即f(x)|h(x)

引理15.1:F[x]为域F上的多项式环,f(x),g(x), h(x) F[x], f(x)|g(x)h(x),并且GCD(f(x),g(x))=aF*时,有f(x)|h(x)。 引理15.2:多项式环F[x],p(x)F[x]为不可约多项式, f(x),g(x)F[x],若p(x)|f(x)g(x), 则p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 分析:与引理15.1的区别是最大公因子不一定是F*中的元素.但多了个不可约的条件,可考虑以此为突破口. 证明:GCD(f(x),p(x))|p(x)(公因子) 因此有p(x)=h(x)GCD(f(x),p(x)) p(x)不可约,因此或者h(x)F*, 或者GCD(f(x),p(x))F*. 分情况讨论

定理15.12(唯一因式分解定理):多项式环F[x]中任一非零元素f(x)或为F中的元素或可分解为有限个不可约多项式之积。在下述意义下,分解是唯一的: 若f(x)=p1(x)…pn(x)=q1(x)…qm(x)，则m=n, 并且在适当调整因子次序后qi(x)= aipi(x)，aiF，i=1,…,n。 证明:(1)可分解性 对degf(x)作归纳证明. (2)唯一性 若f(x)=p1(x)…pn(x)= q1(x)…qm(x) 对n作归纳证明

§4 理想与商环 一、理想 定义15.13：[R;+,*]为环, 若I ,IR,关于+,*运算满足条件: (1)任a,bI,a-bI (2)任aI,rR,a*r,r*aI 称[I;+,*]为[R;+,*]的理想,当I{0},IR时是真理想,否则就是平凡理想。

例：[nZ;+,]是整数环[Z;+,]的理想。 例：[R;+,*]为单位元交换环，任取元素 aR，作R的子集：(a)={a*r|rR},则[(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 若[R;+,*]是不含单位元的交换环，对任意aR，作子集(a)={a*r+na|rR,nZ},则[(a);+,*]为[R;+,*]的理想。 这样的理想(a)={a*r+na|rR,nZ}称为由元素a生成的主理想。

作业：P317 20,22,23,27,29