STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 第二章 压力容器应力分析 CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 第四节 平板应力分析

主要内容 2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力 2.4 平板应力分析 过程设备设计 主要内容 2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力

2.4 平板应力分析 教学重点： 承受均布载荷时圆平板中的应力。 教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。 2.4 平板应力分析 2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4 平板应力分析 教学重点： 承受均布载荷时圆平板中的应力。 教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。

2.4.1 概述 应用 平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.1 概述 应用 平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。

2.4.1 概述（续） （1）平板的几何特征及平板分类 中面是一平面 厚板与薄板 厚度小于其它 几何特征 方向的尺寸 分类 2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 （1）平板的几何特征及平板分类 几何特征 中面是一平面 厚度小于其它 方向的尺寸 厚板与薄板 分类 大挠度板和小挠度板 图2-27 平板载荷和扰度关系曲线 t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算 图2-28 薄板

2.4.1 概述（续） （2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷） 载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷 2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 （2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷） 载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形 薄 膜 力—— 内力 弯矩、扭矩和横向剪力， 且产生弯扭变形 弯曲内力——

载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多 2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论

弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff 2.4 平板应力分析 2.4.1 概述（续） 过程设备设计 弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线ω的挠度 。 只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。

图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力 2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 分析模型 图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 分析模型 半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量 2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 分析模型 半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量 在r、θ、z圆柱坐标系中 轴对称性 几何对称，载荷对称，约束对称， 在r、θ、z圆柱坐标系中 挠度 只是 r 的函数，而与θ无关。

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 微元体： (b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力 2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何、物理方程 微元体： 用半径为r和r+dr的 两个圆柱面和夹角为 dθ的两个径向截面截 出板上一微元体如图2－29（a）、（b） (b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 微元体内力 微元体外力 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何和物理方程 径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 微元体内力 周向：Mθ、 Mθ 横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr (c) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力 微元体外力 上表面P=prdθdr

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） （1）平衡方程 微体内力与外力对圆柱面 切线T的力矩代数和为零， 即ΣMT=0 (d) 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （1）平衡方程 (d) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力 微体内力与外力对圆柱面 切线T的力矩代数和为零， 即ΣMT=0 （2-54） 圆平板在轴对称载荷下的平衡方程

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） W~ε （2）几何方程 取 径向截面上与 中面相距为z， 半径为 r 与 两点A与B构成的微段 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （2）几何方程 W~ε 取 径向截面上与 中面相距为z， 半径为 r 与 两点A与B构成的微段 图2－30 圆平板对称弯曲的变形关系

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 板变形后： 微段的径向应变为 过A点的周向应变为 作为小挠度 应变与挠度关系 的几何方程 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 板变形后： 微段的径向应变为 过A点的周向应变为 作为小挠度 ，带入以上两式， 应变与挠度关系 的几何方程 （2-55）

根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （3）物理方程 根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为 （2-56）

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入2-56式： （2-57） 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入2-56式： （2-57）

2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续） 通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和 表示成 的形式。由式（2-57）可见， 和 沿着厚度（即z方 向） 均为线性分布， 图2-31中所示为径向应力的分布图。 图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系

“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 、 的线性分布力系便组成弯矩 、 。 单位长度上的径向弯矩为： （2-58a） 同理 （2-58b） “抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关

受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程： （2-60） 2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） 过程设备设计 2-58代入2-57， 得弯矩和应力的关系式为： （2-59） 2-58代入平衡方程2-54，得： 受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程： （2-60） Qr值可依不同载荷情况用静力法求得

2.4.3 圆平板中的应力 （圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用） 一、承受均布载荷时圆平板中的应力 简支 固支 2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.3 圆平板中的应力 （圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用） 一、承受均布载荷时圆平板中的应力 简支 固支 二、承受集中载荷时圆平板中的应力

据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即： 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 一、承受均布载荷时圆平板中的应力 图2-32 均布载荷作用时圆板内Qr的确定 据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即： 代入2-60式中 均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为 对r连续两次积分 对r连续三次积分 （得到中面在弯曲后的挠度） 得到挠曲面在半径方向的斜率 （2-62） （2-61）

对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为 有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为： 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 C1、C2、C3均为积分常数。 对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为 有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为： （2-63） 式中C1、C3由边界条件确定。

2.4.3 圆平板中的应力（续） 图2-33 承受均布横向载荷的圆板 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件） 周边固支圆平板 周边简支圆平板 周边固支圆平板 周边简支圆平板 图2-33 承受均布横向载荷的圆板

将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数： 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 1. 周边固支圆平板 在支承处不允许有挠度和转角 图2-33 周边固支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数： 得周边固支平板的 斜率和挠度方程 代入式（2-63） （2-64）

将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式： 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式： （2-65） 由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式： （2-66）

图2-34a周边固支圆平板的弯曲应力分布（板下表面） 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。 最大应力在板边缘上下表面，即 图2-34a周边固支圆平板的弯曲应力分布（板下表面）

将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3： 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 图2-33 承受均布横向载荷的 圆平板 2. 周边简支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3： 代入式（2-63） （2-67） 得周边简支平 板的挠度方程

2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 弯矩表达式： （2-68） 应力表达式： （2-69）

不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处 ， 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处 ， 周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。 图2-34（b） 周边简支圆板的弯曲应力分布（板下表面）

这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 3. 支承对平板刚度和强度的影响 a. 挠度 （2-70） 周边固支时，最大挠度在板中心 周边简支时，最大挠度在板中心 （2-71） 简支 固支 这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。

这表明，周边简支板的最大正应力大于周边固支板的正应力。 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 b. 应力 周边固支圆平板中的 最大正应力为支承处 的径向应力，其值为 周边简支圆平板中的 最大正应力为板中心处 的径向应力，其值为 （2-72） （2-73） 这表明，周边简支板的最大正应力大于周边固支板的正应力。

2.4.3 圆平板中的应力（续） ◆挠度反映板的刚度 应力反映板的强度 周边固支的圆平板在刚度和强度 两方面均优于周边简支圆平板 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 ◆挠度反映板的刚度 应力反映板的强度 周边固支的圆平板在刚度和强度 两方面均优于周边简支圆平板

在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力 ， （ 处） 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 内力引起的切应力： 在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力 ， （ 处） 近似采用矩形截面梁中最大切应力公式 得到 最大正应力与 同一量级； 最大切应力则与 同一量级。 因而对于薄板R>>t，板内的正应力远比切应力大。

Wmax与圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 和 Wmax与圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关 ●若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都 可减小挠度和降低最大正应力 ●工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于 固支条件 ●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法 来提高平板的强度与刚度

●板内为二向应力 、 。平行于中面各层相互之间的正 应力 及剪力 引起的切应力 均可予以忽略。 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 4. 薄圆平板应力特点 ●板内为二向应力 、 。平行于中面各层相互之间的正 应力 及剪力 引起的切应力 均可予以忽略。 ●正应力 、 沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最 大值，是纯弯曲应力。 ●应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板 周边支承是介于两者之间的形式。 ●薄板结构的最大弯曲应力 与 成正比，而薄壳的最大 拉 （ 压）应力 与 成正比，故在相同 条件下， 薄板所需厚度比薄壳大。

图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr 2.4 平板应力分析 2.4.3 圆平板中的应力（续） 过程设备设计 二、承受集中载荷时圆平板中的应力 挠度微分方程式（2-60）中，剪力 图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr 可由图2-35中的平衡条件确定： 采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值

图2-36 外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板 2.4 平板应力分析 过程设备设计 2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力 图2-36 外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板 ◆通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。 ◆当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。

2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力（续） 图2-37 圆环转角和应力分析 2.4 平板应力分析 2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力（续） 过程设备设计 设圆环的内半径为 、外半径为 、形心处的半径为 、厚度t，沿其中心线（通过形心）均布力矩M的作用，如图2-37所示。文献[40]给出了导出圆环绕其形心的转角 和最大应力 （在圆环内侧两表面） （2-74） 图2-37 圆环转角和应力分析

2.4 平板应力分析 过程设备设计 作业： P86 7、10、11、12