制作：黎卓强 等差数列

以上数列,从第2项开始,每一项与前一项的差等于一个常数 复习 观察以下数列，看这些数列有什么共同特点？ (1) 1,2,3,4,5,6; 38,40,42,44,46,48,50,52,54,56; 10,7,4,1,-2,-5… 2,2,2,2,2,2,… 数列的递推公式： 如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项的）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式。 我们看到： 对于数列（1），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于1; 对于数列（2），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于2; 对于数列（3），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于-3; 对于数列（4），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于0. 以上数列,从第2项开始,每一项与前一项的差等于一个常数

an=a1+(n-1)d an+1-an=d a2-a1=d a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a3-a2=d 定义： 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 an+1-an=d a2-a1=d a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a3-a2=d a4=a3+d=a1+3d a4-a3=d …… …… 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d an-an-1=d an=a1+(n-1)d 当n=1时，等式也成立。

例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得 8 + (20-1) × （－3） =-49 a20= (2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 得到这个数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得 －401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程， 得n＝100 即－401是这个数列的第100项。

练习 （1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项 （2）100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=3, d=7-3=4, 得 a4=3+(4－1)×4=15 a10=3+(10－1)×4=39 (2) 由a1=2, d=9－2=7, 得到这个数列的通项公式为 an=2＋（n－1）×7 由题意知，问是否成在正整数n，使得 100＝ 2＋（n－1）×7 成立 解关于n的方程， 得n＝15 即100是这个数列的第15项。

例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1与公差d. 解： 由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3

练习 (1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知， 在等差数列{an}中， (1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知， a4=10＝a1+3d a1=1 解得: a7=19＝a1+6d d=3 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知， a3=9＝a1+2d a1=11 解得: d=-1 a9=3＝a1+8d 所以： a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

讨论： 1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差 为d, (1）数列中，第n项与第m项有什么关系？ (2)数列中，an与an+1,an-1的关系？ 1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差 为d, 2.在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？ 3.从数列2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…a5n…中抽出所有项数为5的倍数的各项，组成新的数列a5, a10, a15,…,a5n…,这个新数列{bn}是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是多少？

an=am+(n-m)d 1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差为d, (1）数列中，第n项与第m项有什么关系？ (2)数列中，an与an+1,an-1的关系？ an=a1+(n-1)d 解: (1)依题得, am=a1+(m-1)d an=am+(n-m)d (2) 依题得, an-an-1=d an+1-an=d

2.在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？ 解: 依题得, A-a=b-A A=(a+b)/2 所以, A为a,b的 等 差 中 项

16 21 所以,数列{bn}为等差数列, 首项b1 = a5 =6, 公差d= a10 – a5 =5 bn 3.从数列2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…a5n…中抽出所有项数为5的倍数的各项，组成新的数列a5, a10, a15,…,a5n…,这个新数列{bn}是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5n 序号 an 16 a5n a5(n+1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 … … bn … 所以,数列{bn}为等差数列, 首项b1 = a5 =6, 公差d= a10 – a5 =5

等差数列中第m项与第n项的关系an=am+(n-m)d. 今天我们学了一些什么? 等差数列的定义 an+1-an=d 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 等差数列中的等差中项A=(a+b)/2 等差数列中第m项与第n项的关系an=am+(n-m)d.

作业: 课本 P114 T1,2

谢谢点评指导! 制作人：黎卓强老师