第2课时 实数与向量的积 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点 返回 1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0. (2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa 3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1，e2叫基底. 返回
课 前 热 身 1.设命题p：向量b与a共线，命题q:有且只有一个实数λ，使得b=λa,则p是q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 2.给出下列命题：①若a,b共线且|a|=|b|，则(a-b)∥(a+b)；②已知a=2e,b=3e，则a=3b/2；③若a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2，且e1≠e2，则|a|=3|b|；④在△ABC中，AD是BC上的中线，则AB+AC=2AD 其中，正确命题的序号是___________ 3.(1)在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量AC+DB为( ) (2)已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设AB=e1，AD=e2，则用e1, e2表示ED的表达式为( ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b B ①，④ A B
4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 D 5.设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则 PQ=_____________ 返回
能力·思维·方法 1.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2. (1)若a∥b，求λ； 【解题回顾】a∥b<=>a=λb(b≠0),a⊥b<=>a·b=0
2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证： OG= (OA+OB+OC) 【解题回顾】当点O是△ABC重心时，有OA+OB+OC=0；反过来，若P是△ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC=0，则P必为△ABC的重心.事实上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB -OP)+(OC-OP)=0，所以OP= (OA+OB+OC)，故P是△ABC的重心
3.已知OA、OB不共线，设OP=aOA+bOB，求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是AB中点，则有 OP= (OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题.
返回 4.E是□ABCD的边AB上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线AC交于F，求AF/FC.(用向量知识解答) 【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样： 设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3.另外还可以用坐标运算的方法来解，略. 返回
延伸·拓展 5.如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，设BA=a,BC=b，以a,b为基底表示EF，DF，CD. 【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用.由于BA与BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来. 返回
误解分析 1.很多人认为“若a∥b，则存在唯一实数λ使b＝λa.”这是典型错误.事实上，它成立的前提是a≠0.同样，在向量基本定理中，若e1，e2是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量. 2.在能力·思维·方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0. 返回