平面向量的数量积.

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1 平面向量的数量积

2 问题情境 W=│F││S│COSθ θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。 如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: θ F
A 如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: θ W=│F││S│COSθ θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。

3 平面向量的数量积 学习目标： 1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义 2、掌握平面向量数量积的性质 下面请同学们看课本并思考如下问题：

4 看课本103—105页并思考如下问题： 1、向量的夹角是如何定义（规定）的？ 2、向量的数量积如何定义，它与物理中力　　做功有什么联系？ 3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上　　的投影是向量吗？ 4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？

5 . 1、向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作 OA=a,OB=b,则 叫做向量a 与b的夹角 (1)中OA与OB的夹角为
指出下列图中两向量的夹角 A O B . （2） （4） （3） （1） (1)中OA与OB的夹角为 （2）中OA与OB的夹角为 （3）中OA与OB的夹角为 （4）中OA与OB的夹角为 （当 　时，a与b＿＿；当 　时，a与b＿＿；当 时，a与b＿＿，记作　　　） 同向 反向 垂直

6 2、数量积的定义 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角 为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积（或内 积） 记作 即 并规定
　已知两个非零向量 和 ，它们的夹角 为 ，我们把数量　　　　　 叫做向量 与 的数量积（或内 积） 记作　　　即 并规定 思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）

7 a b 思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？ B O A
(2) a b (3) (1) 过b的终点B作OA＝a的垂线段　 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =│b│COSθ 投影是向量吗 │b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。 　 投影是一个数值（实数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值。 　　　时│b│COSθ＝＿＿　　　 时│b│COSθ＝＿＿　　　时│b│COSθ＝＿＿ │b│ －│b│

8 7、课时作业： 24 a•b=│a││b│COSθ 1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－ ，求a和b的夹角 3、已知 中，AB＝a，AC＝b 　 当a•b<0时， 是＿＿＿三角形； 当a•b=0时， 是＿＿＿三角形 4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为　　 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影 5、已知 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA 24 135° 钝角 直角 作业5 －20

9 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积
3、向量数量积的几何意义 a•b=│a││b│COSθ a•b的几何意义： 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积 a b θ O B OB＝ │b│COSθ

10 4、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e•a=__________;a•e=_________ (2)a　b____a•b=0 (3)当a与b同向时，a•b=________ 当a与b异向时，a•b=___________ a•a=________ (4) │ a•b │___ │a││b│ (5)cos　＝ ______ e•a=a•e =│a│COSθ │a│COSθ │a│COSθ │a││b│ -│a││b│ 性质4

11 × × × × √ √ 5、反馈练习:判断正误 向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的 a•b=│a││b│COSθ
( ) （3）若a 0，且a•b=0，则b= （　　） （4）若a•b=0 ，则a=0或b= （　　） （5）对任意向量a有 （　　） （6） 若a 0，且a•b= a•c ，则b=c （　　） × × × a²=|a|² √ × 向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的

12 a•b=│a││b│COSθ 6、典型例题分析

13 例题 a•b=│a││b│COSθ 进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又 要根据两个向量方向确定其夹角

14 8、总结提炼 a•b=│a││b│COSθ （1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 　　 几何意义及其性质 （2）向量的数量积的物理模型是力做功 （3） a•b的结果是一个实数（标量） （4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量　　 的夹角，尤其是判定垂直 （5）两向量夹角的范围是 （6）五条基本性质要掌握 (7) 德育与美育的渗透 a•b=│a││b│COSθ

15 9、作业布置 　　《优化设计》P82随堂训练　1、4、6 　　　　　　　　P83强化训练　2、8

16 谢谢大家！

17 所以│a•b│ =│a││b││COSθ│ 又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│ 思考：在什么情况下取等号？
证明向量数量积性质4 (4) │ a•b │　│a││b│ 因为a•b=│a││b│COSθ 所以│a•b│ =│a││b││COSθ│ 　　又│COSθ│　1 所以│ a•b │　│a││b│ 思考：在什么情况下取等号？ 返回练习

18 分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 时 a•b=0
a•b=│a││b│COSθ 反馈练习（2） 若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 　0吗？ 分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角　　　时　a•b=0 返回练习

19 反馈练习（6） b c a a•b=│a││b│COSθ 若a 0，且a•b= a•c ，则b= c(× ) 分析：由右图易知，虽然
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20 a•b=│a││b│COSθ 课堂作业5 已知 中a＝5，b＝8 ，∠C＝60°，求BC•CA
解：BC•CA＝ a•b=│a││b│COS(180°- 60°) =5 ×8 ×cos 120° =-20 A C B a•b=│a││b│COSθ 60° 120° a b D