5.2支付期間大於計息期間 設每一支付期之期末支付R元，而每一支付期間計息k次之一般年金，則化為簡單年金之年金額為R/S k┐i ，若以n代表計息總期數，年金之支取期數為n/k，則 年金現值 (5-1) 年金終值 (5-2)

例 1 每年末支付24,000元之年金，為期六年，j (4) =0.16，求年金現值與終值? 解 :此題為一般年金---支付年金 >計息期間 依題意R=24,000 , k= 4 , n= 6 × 4= 24 , i = 0.16/ 4=0.04 代入公式(5-1)得P= 24,000× a 24┐0.04 /S 4┐0.04 = 86,172.19元 代入公式(5-2)得S= 24,000× S 24┐0.04 /S 4┐0.04 = 220, 885.54元

【註】 若有延期情形，則求現值須再乘以 (1+i)–m 欲求年金額則由公式(5-1)(5-2)可導得R = P×S k┐i / a n┐i 或 R = S ×Sk┐i /S n┐i (5-3)

例 2 李君現存300,000元于銀行，擬今後六年，每年末支取R元，利率j(4) =0.16，R =? 解: 依題意 P=300,000 ，n= 24 ，k= 4 ，i= 0.16/4 = 0.04 代入公式(5-3)得 R= 300,000 × S 4┐0.04 / a 24┐0.04 = 300,000×4. 246463998 / 15. 24696314 = 83,553.64元

例３ 年金終值為846,700元，每年末支付一次，為期四年，j(2)=0.12，求年金額若干? 解: 依題意 S =846,700元，n= 8 ，k= 2 ，i= 0.12 / 2 = 0.06 代入公式(5-3)得 R = 846,700 × S 2┐0.06 / S8┐0.06 = 846,700 × 2.06 / 9.897467908 = 176,227.09元

若欲求年金之支取期數，已知Ｐ或S,R,k,i，須先算出n，再將n除以k即可，n之求法可依公式(5-1)(5-2)導出如下: 　　　　 Ｐ=Ｒ×[(1-(1+i)-n ) /i ] / Sk┐i　 移項 (1+i)-n=1-（Ｐ× Sk┐i × i）/Ｒ 故 n =－ln[1-（Ｐ× Sk┐i × i）/Ｒ] / ln(1+i)　 (5-4) 又 S=[ (R×(1+i)n -1 ) /i ] / Sk┐I 移項 (1+i)n =1+（S× Sk┐i × i）/Ｒ 故n = ln｛1+（S× Sk┐i × i）/Ｒ｝/ ln(1+i) (5-5)

例 4 某君以150, 000元存銀行，擬每年末支領22, 500元之年金，j (2) =0.12，求年金之支取期數? 解:依題意P =150,000元，k=2，R=22,500，i= 0.12 / 2 = 0.06 代入公式(5-4)計息總期數 n=-ln[1-(150,000× S2┐0.06 × 0.06)/22,500]/ ln(1.06) =1.737271284 / 0.058268908 = 29.8147 故年金之支取期數= n / k = 29.8147 / 2 = 14.9074

[註] 上例之題意即前14期支領22, 500元，第15期支領零星年金。 有關支付期間>計息期間之年金終值與現值之計算，有時亦可化成與支付期間一致;即以實利率代入簡單年金之計算。如例1之另解如下: 解: a=(1+0.04)4 -1=0.169858559，n / k= 6 故代入 P= R× a n/k┐a =24,000× a6┐0.169858559 = 86,172.19元 S= R× S n/k┐a =24,000× S6┐0.169858559 = 220,885.54

若已知S、Ｐ、k、Ｒ，求i則由公式(5-1)得1/a n┐i = R/ P× Sk┐i，由公式(5-2) 得1/Sn┐i= R/ S× Sk┐i兩式相減並代入公式(3-4)得 1/a n┐i － 1/Sn┐i= R/ Sk┐i×(1/P-1/S) = i 即 ( R/ (1+i)k-1 )×(1/P-1/S) =1 則 (1+i)k-1= R × (1/P-1/S) 故i=[1+R×(1/P-1/S)] 1 / k -1 (5-6)

例5 若每年支付120,000元，為期六年，每季複利一次，已知P=430,860.95元，S=1,104,427.7 元，求年利率？ 解:依題意支付次數＜計息次數 Ｒ =120,000元，k= 4，Ｐ=430,860.95， S=1,104,427.7 代入公式(5-6) 得i=[1+R(1/P-1/S)]1 / K -1 =[1+120,000 (1/ 430,860.95 - 1/1,104,427.7)] 1 / 4 -1=0.04 年利率j (4) =4*0.04=0.16

上述為一般年金之普通年金，若為一般年金之期初年金，設每一支付期初支付R元，而每一支付期間計息k次，則化為簡單年金之年金額為R/ ak┐i，若仍以n代表計息總期數，年金支取期數為n/k，則 年金現值P=R/ ak┐i×an┐i =R* (an┐i /ak┐i) (5-7) 年金終值S= R/ ak┐i×Sn┐i=R* (Sn┐i /ak┐i) (5-8)

例6 某君每年初支付25,000元之年金，為期五年，利率j (4) =0.16，求年金現值與終值? 解: 依題意Ｒ(初) =25,000，k=4，n=5*4=20，i =0.16/4=0.04 代入公式(5-7) 得 P= 25,000* (a20┐0.04 /a4┐0.04) =25,000* (13.59032634/3.629895223) =93,599.99元 代入公式(5-8) 得 S=25,000* (S20┐0.04 /a4┐0.04)=205,089.11元 欲求年金額可由公式(5-7)(5-8)導得 R= (P* ak┐i)/ an┐i 或 R=(S* ak┐i)/ Sn┐i (5-9)

例 7 承例2，若改為每年初支取，餘條件不變，則R=? 解:代入公式(5-9)得 R= (300,000* a4┐0.04) / a24┐0.04 = (300,000*3.629895223)/15.24696314 = 71,422元 註 : 期初支取年金額即等於期末支取年金額除以(1+i) k ，即83,553.64÷(1.04)4=71.422元

若已知S或P、R、k，欲求期初年金之支取期數，仍須先算出n，再將n除以k即可，n之求法可依公式(5-7)(5-8)導出如下: P=R*[(1-(1+i) -n )/i]÷ ak┐i 移項 (1+i) -n =1-(P× ak┐i×i)/R 故 n＝－ln[1-（P× ak┐i × i）/ R]/ ln(1+i) (5-10) 又 S= R×[(1+i)n -1 /i ]/ ak┐i 移項 (1+i)n=1+（ S × ak┐i × i）/R 故 n＝ ln(1+(S × ak┐i × i / R)) / ln(1+i) (5-11)

例 8 承例4，若某君擬改為年初支領，餘條件不變，求年金之支取期數? 解: 依題意 P=150,000，k=2，R(初)=22,500， i=0.12÷2=0.06 代入公式（5-10） 計息總期數n= -ln(1-(150,000× a2┐0.06/22,500)) / ln(1.06) =1.321844844/0.058268908 =22.68525169 故年金之支取期數=n/k=22.68525169/2= 11.34262585

若已知S、P、k、R，求i， 則由公式(5-7)得1/ an┐i=R/P* ak┐i， 由公式(5-8)得1/ Sn┐i= R/S* ak┐i， 兩式相減並代入公式(3-4) 得 (1/ an┐i) –(1/ Sn┐i) = R/ak┐i(1/P-1/S) =i 即 1- (1+i)-k= R*(1/P-1/S) 故 i=[1- R*(1/P-1/S)] -1/k–1 (5-12)

例 9 某君每年初支付100000元之年金，為期五年，每季複利一次，已知P=374399.96元，S=820356.44元，求每年利率若即干? 解: 依題意年初支付，支付次數<計息次數 R=100,000，P=374,399.96，S=820,356.44 代入公式(5-12) 得 i={1- R*(1/P-1/S)} -1/k–1 ={1-100,000*(1/374,399.96-1/820,356.44) -1/4–1 年利率ｊ(4) =4*0.04=0.16

若為永續支付，則一般年金普通年金之永續年金現值公式如下: P=( R/sk┐i)* a∞ = R/i* sk┐i (5-13) 又一般年金期初年金之永續年金現值公式如下: P=( R/ak┐i)* a∞ = R/i* ak┐i (5-14)

例 10 永續年金j(2) = 0.12，求永續年金現值? (1)每年末支付30,000元(2)每年初支付20,000元 解:依題意 i=0.12/2=0.06，k=2，n→∞ 代入公式 (5-13) 得 (1) P=(30,000/ s2┐0.06)*(1/0.06)= 242,718.45元 代入公式 (5-14) 得 (2) P=(20,000/ a2┐0.06)*(1/0.06)= 181,812.30元