三、循环群 1.元素的阶 定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。 若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使ak=al， 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的阶无限。

定理13.12：G为群, aG, 阶为n, 则对mZ, am=e当且仅当n|m。 定理(一)：若G是有限群，则G中的每个元素的阶都是有限的。 例：在有限群G中，阶大于2的元素数目必是偶数。 先证：G是群，对任意aG，当a的阶有限时，a的阶与a-1阶相同。 证明正整数p和q相等,通常有两种方法: (1)pq, qp,可推出p=q (2)若p|q,q|p,可推出p=q

例：设群G的元素a的阶是n，则ar的阶是n/d。其中d=(r,n)为r和n的最大公因子。 (ar)n/d =e,

2.循环群 定义13.11：群G,若有aG, 对任gG, 存在kZ,使得 g=ak,就说群G可以由元素a生成, 是循环群;a为它的一个生成元。将它表示成G=(a)。当 G的阶有限时, 称它为有限循环群; 否则称为无限循环群。 例:对于群[{1,-1,i.-i};],1=i0,-1=i2,-i=i3, 即1,-1,i.-i都可以由ik表示,是循环群,i是生成元。 类似地，1=(-i)0,-1=(-i)2,i=(-i)3,-i是生成元。 一个循环群可能有多个生成元。 此例中，4个元素，称为4阶循环群。

例：对于群[Z;+],对任意kZ,k=k 1(即1k)即1是生成元，[Z;+]是无限循环群，同样-1也是生成元。 例：设有限群[G;*]阶为n，若存在元素gG，它的阶也是n，则[G;*]是由g生成的循环群。 例：若a是无限循环群[G;*]的生成元，则a的阶无限。

定理13.13:G为循环群,a为其一个生成元,则G的结构完全由元素a的阶决定: (1)当a为无限阶时,G同构于加法循环群[Z;+]; (2)当a的阶为n时,G同构于同余类加法循环群 [Zn;]。 证明:(1)G={ak|kZ},定义:GZ, (ak)=k (2)G={e,a,a2,an-1},定义:GZn, (ak)=[k]

因为整数加法群与同余类加法群的构造已完全弄清楚了,所以循环群的构造是完全清楚的。

§3 子群、正规子群与商群 一、子群 定义13.12:[G;·]为群,HG且H,如果[H;·]也为群时, 称它为G的子群。 必有这样的子群: G与{e}, 称为平凡子群; 真子群。

定理13.14:[G;·]为群,HG,H是G的子群,当且仅当 (2)任一hH必有h-1H 证明:必要性:当H是G的子群时, (1)和(2)成立。 充分性: 当hH必有h-1H,由封闭性知h·h-1H, 即单位元eH; 又因为HG, 而[G;·]为群,满足结合律,所以在H中·也满足结合律, 而条件(2) 任一hH必有h-1H ,说明H中每个元素有逆元,所以[H;·]是群,是G的子群。

定理13.15:[G;·]为群, HG,H为G的子群, 当且仅当,对任a,bH,有a·b-1H。 推论13.6：当H为G的子群时,H的单位元就是G的单位元,a H它在H中的逆元就是它在G中的逆元a-1。 例：[H1;·]和[H2;·]是群[G;·]的子群，则[H1∩H2;·]也是群[G;·]的子群。 [H1∪H2;·] 是否是群[G;·]的子群？ 例：[G;·]是群，gG,设H={gn|nZ},则[H;·]是[G;·]的子群。

定理13.16：[G;·]群,H,HG,且|H|<+,则[H;·]为[G;·]的子群, 当且仅当运算·在H 中满足封闭性。 例：循环群的每个子群一定是循环群。

二、陪集 a,b关于模n同余当且仅当(a-b)被n整除。 定义：设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H记为ab(mod H)。 定理14.15:[G;]为群,HG,H为G的子群, 当且仅当,对任a,bH,有ab-1H。 定理：G上的关于模H同余关系是等价关系。 证明:自反 对称 传递

[a]={x|xG,且xa(mod H)} ={x|xG,且xa-1H} ={ha|hH} 以a为代表元的等价类实质上是a从右边乘H中的每个元素而得到的集合， Ha Ha={ha|hH}，称为H在[G;]中的右陪集。

设[H;]是群[G;]的子群，aG，则 (1)bHa当且仅当ba-1H (2)baH当且仅当a-1bH 定义13.13：设[H;]为群[G;]的子群, 取G中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进行乘法运算, 将其结果组成一个集合, 记为gH,即:gH={gh|hH}称它为H的左陪集,同理定义Hg={hg|hH}为H的右陪集。

例：[E;+]是群[Z;+]的子群，求它的所有右陪集。这里E表示偶数全体。 例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群A3。现在考察H1的陪集。

e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5} 3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5} 显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13, 4H1H14 这说明左、右陪集一般不等。

作业:P171 18, 20, 25 补充:1.群G是阶为偶数的有限群,则G中阶为2的元素个数一定是奇数. 2.设G是rs阶循环群,(r,s)=1, H1和H2分别为G的r和s阶子群,证明:G=H1H2={h1h2|h1H1, h2H2} 3.[H1;·]和阶[H2;·]是群[G;·]的子群，[H1∪H2;·] 是否是群[G;·]的子群？说明理由 4.设H1,H2是G的子群,证明H1H2是G的子群当且仅当H1H2=H2H1,其中H1H2={h1h2|h1H1并且h2H2}, H2H1={h2h1|h1H1并且h2H2}