台北縣立正德國民中學 九十九學年度第一學期 多媒體教學演示 2-1 點、直線、圓之間的 位置關係 教學者：林俐孜 老師

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點與圓的位置關係 ‧ ‧ 我們可以用點到圓心的距離與半徑的比較得知： 圓內 圓上 ‧ 圓外

點與圓的位置關係 點與圓的位置關係 點在圓內 點在圓上 點在圓外 圖示 點到圓心距離與半徑的比較 ＜r ＝r ＞r

點與圓的位置關係 1.根據右圖，判斷各紅色的點與圓O的位置關係： (1)在圓外的點是： 。 (2)在圓上的點是： 。 隨堂練習p.58 1.根據右圖，判斷各紅色的點與圓O的位置關係： (1)在圓外的點是： 。 (2)在圓上的點是： 。 (3)在圓內的點是： 。 D、E B、C A

點與圓的位置關係 2.承第1題，若此圓的半徑為r，分別作 、 、 、 、 五條線段，比較這五條線段與半徑的大小關係。(空格中請填入＞、＜或＝) (1) 　　 　　r。　　 (2) 　　 　　r。　　 (3) 　　 　　r。 (4) 　　 　　r。　　 (5) 　　 　　r。 ＜ ＝ ＝ ＞ ＞

‧ ‧ ‧ 直線與圓的位置關係 L M 直線M與圓O .相交於一點 直線L與圓O不相交 M：切線 N 直線N與圓O .相交於兩點 N：割線 P：切點 M：切線 ‧ ‧ N 直線N與圓O .相交於兩點 N：割線

直線與圓的位置關係 ＞r ＝r ＜r 直線與圓的位置關係 直線L與圓O不相交 直線L與圓O相切 直線L與圓O交於兩點 圖示 圓心到直線的距離與半徑的比較 ＞r ＝r ＜r

依據右圖，在下列各空格中填入適當的答案。 (1) 直線L與圓O有 個交點。 直線M與圓O有 個交點。 直線N與圓O有 個交點。 隨堂練習p.61 已知圓O的半徑 ＝r，且L⊥ 於A點。 依據右圖，在下列各空格中填入適當的答案。 (1) 直線L與圓O有　　 　　個交點。 直線M與圓O有　　 　　個交點。 直線N與圓O有　　 　　個交點。 (2) 哪一條直線是圓O的切線？　　 　　。 哪一條直線是圓O的割線？　　 　　。 1 2 L M

直線與圓心 的距離 (填大於、小於或等於半徑) (3)設圓心O到直線M、N的距離分別為r1、r2，則r、r1、r2 的長短順序為　　 　　＞　　 　　＞　　 　　。 (4)完成下表對於直線與圓位置關係的描述。 r2 r r1 直線與圓的 位置關係 直線與圓不相交 直線是圓的切線 直線是圓的割線 直線與圓的 交點數 (填數字) 直線與圓心 的距離 (填大於、小於或等於半徑) 1 2 大於半徑 等於半徑 小於半徑

例1 直線與圓的位置關係 已知圓O的直徑為15公分，而圓心O到四條直線L、M、N、H的距離分別為15公分、10公分、 直線與圓的位置關係　 已知圓O的直徑為15公分，而圓心O到四條直線L、M、N、H的距離分別為15公分、10公分、 7.5公分、5公分，那麼此四條直線分別和圓O有幾個交點？哪幾條是切線？哪幾條是割線？ ∵圓O的直徑為15公分→ ∴半徑是7.5公分 →∴沒有交點 (1)圓心到直線L、M的距離都大於半徑 →∴只有一個交點，且為切線 (2)圓心到直線N的距離等於半徑 (3)圓心到直線H的距離小於半徑 →∴有二個交點，且為割線

例2 求切線段的長　 如下圖，若直線 AB 為圓O的切線，切點為A，且圓O半徑為5， ＝13，則 為多少？ 連接 Ans:

(1)如圖(八)，P為圓O外一點， 與 為圓O的兩條切線， M、N為切點。 連接 、 與 在△POM與△PON中 ∵ (皆為圓O的半徑) ∠PMO＝∠PNO＝90° (公共邊) ∴△POM △PON(RHS全等性質) 由以上可知 即P點到圓O的兩條切線 、 會等長。

若P為圓O外一點， 、 為圓O的兩條切線，M、N為切點，則： 1. 。 2. 平分∠MPN。 3. 垂直平分 。 利用△POM △PON(RHS全等性質) 若P為圓O外一點， 、 為圓O的兩條切線，M、N為切點，則： 1. 。 2. 平分∠MPN。 3. 垂直平分 。 (3)是根據等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊的性質

例3 圓切線段長的性質　 如下圖，P為圓O外一點， 與 為圓O的切線，M、N為切點。已知圓O半徑為5公分， ＝10公分，∠MOP＝60°。試求： (1)四邊形OMPN的周長。 (2)∠MPN的度數。 (3) 的長度。

解 (1)∵ 與 為圓O的切線，M、N為切點 ∴∠OMP＝∠ONP＝90° 依據勾股定理 (負不合) 得 又 ∴四邊形OMPN的周長＝ (公分)

(2)求∠MPN的度數。 解 在△OMP中 ∵∠MOP＝60°，∠OMP＝90° ∴∠MPO＝180°－60°－90°＝30° ∠MPN＝2∠MPO＝2×30°＝60° (3)連接 ∵∠MPN＝60°， ∴△MPN為正三角形 故 (公分)

隨堂練習P.66 如右圖，P為圓O外一點， 與 為圓O的切線，M、N為切點。若圓O半徑為8公分， ＝12公分，則： (1) ＝？ (1) ＝？ (2) ＝？ (1) (2)

如右圖，若四邊形ABCD各邊分別與圓相切於E、F、G、H四點，此時這個四邊形稱為圓外切四邊形，而這個圓稱為四邊形ABCD的內切圓。我們可以利用切線的性質找出圓外切四邊形邊長的關係。 ∴ ， ， ， 則

圓外切四邊形的性質 若一個四邊形為圓外切四邊形，則此四邊形兩個對邊的和會相等。 左 + 右 = 上 + 下

隨堂練習P.67 如右圖，四邊形ABCD各邊分別與圓O相切於E、F、G、H四點，若 ＝10， ＝9，則四邊形ABCD的周長為多少？ ∴ ＝10＋9 ＝19 故周長＝

重點複習 1 點與圓的位置關係 點在圓內 點在圓上 點在圓外 ＜r ＝r ＞r

重點複習 2 直線與圓的位置關係 直線與圓的位置關係 直線L與圓O不相交 直線L為圓O的切線 直線L為圓O的割線 交點個數 1 2 圖示 1 2 圖示 直線與圓心的距離 ＞r ＝r ＜r

重點複習 3 圓的切線性質 P為圓O外一點，直線PA、直線PB切圓O於A、B兩點，則： (1)圓心與切點的連線必和切線垂直。 ⊥ ， ⊥ 。 ⊥ ， ⊥ 。 (2)圓心到切線(或切點)的距離等於半徑。 。 (3)過圓外一點P對此圓所作的兩切線段長相等。 。 (4)圓外一點P與圓心的連線會平分過此點的兩切線夾角。 ∠APO＝∠BPO。 (5)圓外一點P與圓心的連線會垂直平分過此點的兩切線切點 所連接的弦。 ⊥ ， 。 3

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