3-5 多項式方程式 實係數多項式方程式及其根 一般而言，可化成 f (x)＝0 形式的方程式，其中 f (x)＝an x n＋an－1 x n－1＋‥‥＋a1 x＋a0 是 n 次多項式 (即an ≠0) ，就稱為 n 次多項式方程式， 簡稱 n 次方程式。一個數α（實數或虛數），若使多項式 f (x)的值 f (α)＝0，此數α就叫做n次方程式 f (x)＝0的“解”或“根”；而找出 f (x)＝0 的解或根的過程，就稱為解此方程式。 3-5 多項式方程式 01
實係數多項式方程式及其根 (1) 一元二次方程式根與係數的關係 (2) 一元三次方程式根與係數的關係 3-5 多項式方程式 02
實係數多項式方程式及其根 解： 3-5 多項式方程式 03
實係數多項式方程式及其根 解： 3-5 多項式方程式 04
實係數多項式方程式及其根 解： 3-5 多項式方程式 05
實係數多項式方程式及其根 解： 3-5 多項式方程式 06
多項式方程式的解法 多項式方程式的解法 解： 3-5 多項式方程式 07
多項式方程式的解法 解： 3-5 多項式方程式 08
虛根成對定理 西元1799年，德國數學家高斯(C.F.Gauss)在他的博士論文中證明了下面的定理： 每一個複係數 (包括實係數) n次方程式 f (x)＝0至少有一個複數根。（n為正整數） 此定理確實是代數學的基石，稱為代數基本定理。 由代數基本定理以及因式定理，我們可以推導出下面的結論： 每一個複係數 n 次方程式 f (x)＝0 都恰好有 n 個複數根。 3-5 多項式方程式 09
虛根成對定理 解： 3-5 多項式方程式 10
我們將這個有趣的現象加以推廣重新敘述如下： 虛根成對定理 實係數n次方程式的n個複數根中還有一個很有趣的現象：其中的虛根一定成對出現，也就是說如果α是此方程式的一個虛根，那麼α的共軛複數α一定也是此方程式的一個虛根。 我們將這個有趣的現象加以推廣重新敘述如下： 虛根成對定理 設 f (x)＝0是實係數 n (n＞2) 次方程式，如果 a＋bi (a，b 為實數且 b≠0) 是 f (x)＝0 的一個虛根，則 a－bi 也是 f (x)＝0 的一個虛根。 3-5 多項式方程式 11
虛根成對定理 證明： 3-5 多項式方程式 12
虛根成對定理 3-5 多項式方程式 13
虛根成對定理 證明： 3-5 多項式方程式 14
虛根成對定理 解： 3-5 多項式方程式 15
虛根成對定理 解： 3-5 多項式方程式 16
虛根成對定理 3-5 多項式方程式 17
勘根定理 勘根定理 解： 3-5 多項式方程式 18
勘根定理 勘根定理 設 f (x)是實係數 n 次多項式函數， a 與 b 是兩個實數。如果 f (a) · f (b) ＜0，則在 a 與 b 之間必存在實數c，使 f (c)＝0，即方程式 f (x)＝0至少有一個實根 c 介於 a 與 b 之間。 關於這個定理，我們可借助實係數 n 次多項式函數 y＝f (x)的圖形直觀地來說明。 3-5 多項式方程式 19
勘根定理 在函數 y＝ f (x)的圖形上取兩點 A(a, f (a))，B(b , f (b))，由於 f (a)．f (b)＜0，所以 A，B 兩點分別位居 x 軸兩側。拿一支筆，筆尖由 A 點起，不可離開紙面，沿 y＝f (x)的曲線描到 B 點為止。筆尖橫越 x 軸多少次呢？至少一次吧！換句話說， y＝ f (x)的曲線與 x 軸至少交於一點(c, f (c))＝(c, 0)。 故方程式 f (x)＝0至少有一根 c 介於 a 與 b 之間。 3-5 多項式方程式 20
勘根定理 解： 3-5 多項式方程式 21
勘根定理 解： 3-5 多項式方程式 22
正數a的正n次方根 正數a的正n次方根 證明： 3-5 多項式方程式 23
正數a的正n次方根 3-5 多項式方程式 24
正數a的正n次方根 解： 3-5 多項式方程式 25