高等统计物理 陈志 Email：chenzyn@ustc.edu.cn Web：http://staff.ustc.edu.cn/~chenzyn/Modern_statistical_physics.html 参考书： 1.量子统计物理学，杨展如。 2. 统计物理现代教程 （上册），L.E. Reichl(雷克)。 3. Equilibrium statisitical physics, 3rd edition, by M. Plischke and B. Bergersen (世图有英文影印版)

主要讲述内容 概率论基础和随机过程简介，主方程（master equation），参考雷克的统计物理现代教程第五-六章。 杨展如的量子统计物理学第一---九章： 量子统计物理学基础：三种系综，统计算符和密度矩阵； 系综的配分函数，热力学函数的奇异性，经典和量子集团展开； 波色系统，波色-爱因斯坦凝聚，超流性； 费米系统，顺磁性和抗磁性，准粒子和元激发； 相变和临界现象的基本概念：序参量，临界指数，标度律，平均场理论，自发对称破缺； 几种典型的晶格统计模型：Ising模型，XY模型，Potts模型等； 重整化群理论（第八章和第九章部分内容）。

概率论基础和主方程 热力学和统计物理： 参考雷克的统计物理现代教程第五-六章。 讨论随机理论用于非线性系统涨落现象的动力学研究。 热力学：从若干经验定律出发，研究由大量微观粒子组成的宏观系统，给出物理量平均值之间的相互关系； 统计物理：从单个粒子的力学运动规律出发，加上统计的假设，通过大量微观粒子（自由度很大的系统）的集体表现来描述宏观物理量的行为，宏观量是相应微观物理量的统计平均值。 参考雷克的统计物理现代教程第五-六章。 讨论随机理论用于非线性系统涨落现象的动力学研究。 随机理论对统计物理在其它领域的应用有很重要的价值。

第一章 基本概率理论 1.1 概率 随机事件：在一定条件下，如果一个事件可能发生也可能不发生，这事件称为随机事件。 随机事件的概率（发生可能性的大小）：当观测次数N趋于无穷时，某一事件A发生的次数 与总观测次数的比值将趋于稳定的极限值—概率P(A):

互斥事件概率的加法原理： 独立概率事件的乘法原理： 互斥事件：在一次观测中不可能同时发生的事件。 加法原理：对两互斥事件A和B，它们中任意一个出现的概率为： 完备性：完备的互斥事件出现的总概率为1： 独立概率事件的乘法原理： 独立事件：彼此没有任何关联的事件，即一事件的发生与否与别的事件的发生与否毫不相关。 乘法原理：两独立事件同时或依次发生的概率为 。

一般情形：集合论的描述 事件A或事件B或二者同时出现的概率 : 互斥事件： 若事件A1，A2,…, Am是互斥和完备的，则

条件概率P(B|A) 条件概率P(B|A)是在事件B已出现，而又出现事件A的概率（按雷克书中的定义，但很多书与此相反）。 我们有： 由 我们有(Bayes’ theorem)： 若A和B独立，则P(B|A)=P(A).

1.2 随机变量 随机变量：如果一变量X以一定的概率在其样品空间S里取各种可能值，则X称为随机变量。随机变量分为离散型和连续型两种。 对离散型随机变量，我们有： 和 对连续型随机变量，我们有： 和 随机变量的n阶矩(moments): 或 为平均值，二阶矩与方差(variance)有关： 矩给出了分布函数的范围和形状信息。 对连续型随机变量，若所有的矩 都知道，则概率密度函数被完全确定。特殊地，高斯分布被一阶和二阶矩完全确定（反之也成立）。 为什么?

1.3 特征函数 特征函数 : 概率密度函数 的傅立叶变换。 特征函数 : 概率密度函数 的傅立叶变换。 在上面的积分里对k（多次）求导再取k=0，很容易就可得到最后的级数表达式。注意级数展开只当高阶矩足够小时才有意义。 由上式可见，特征函数和概率密度函数都由各级矩完全确定。 另一个相关的量：累积量(cumulants)---其中Cn(X)是第n级累积量 我们有 等等。C2(X)是方差，C3(X)可用于判断分布的对称性, C4(X)常用于判断分布与高斯分布的偏离。

引入特征函数有何好处？ 可以很容易计算任意两个独立随机变量和X=X1+X2的密度函数： x空间: k空间： 避免了积分！ 把对概率密度函数的求导转为乘积（可应用于主方程的求解），大大简化计算！

1.4 高维情形 联合概率密度： 对两随机变量X和Y，其联合概率密度f(x,y)有： X和Y的协方差定义为： 若X和Y独立，我们有： 和 及 其中最后两式的逆命题不一定成立。

1.5 几种常见分布 二项式分布：设每次试验有两种结果1和-1，概率分别为p和q。则N次独立试验后，n1次结果为1的概率为： 高斯(Gaussian)分布：在大N和大pN极限下，二项式分布趋于高斯分布： 其中 。 泊松(Poisson)分布：在大N和小p极限下，如 是一个常数，二项分布趋于泊松分布： Lorentz或Cauchy分布（有时也叫Breit-Wigner分布）：所有的矩都发散。 其中Gaussian分布和Cauchy分布是稳定分布。

稳定随机变量和稳定分布 这里我们考察N个iid（independent and identically distributed）随机变量 的和的分布: 若 的分布与单个随机变量 的线性函数的分布相同，即 则称这个分布是稳定（stable）的。特别地，若 则分布是严格稳定的（strictly stable）。上面提到的 Gaussian分布和Cauchy分布就是稳定分布的例子。 稳定分布的重要性：不论初始随机变量 的分布是什么，当N趋于无穷大时， 的和或平均值满足的分布一般将趋近于稳定分布 ，而后者正是我们在统计物理的研究中经常观测的量。 对稳定分布，我们有： 对任意满足α≠1的稳定分布P(x)，我们总能找到一个常数μ使得P(x-μ)是严格稳定的； 当α=2 我们发现分布为Gaussian分布（对Cauchy分布我们有α=1），若α<2则方差和更高阶的矩发散（若α<1平均值也发散）！ Gaussian分布是唯一有有限方差的稳定分布。 这部分解释了为什么在自然界里我们发现很多（平均值）的分布是Gaussian分布。

稳定分布的特征函数一般可以写为: 这里shift parameter a可以是任意实数， b是scale parameter, 是skewness parameter. 练习：验证两个稳定分布的和的分布仍是稳定分布，并有：

熵和相对熵 对任一个密度函数为 的随机变量X我们可以定义其熵为: 这里我们引入参数 使得 能够成立。以后可以看到这里定义的熵和物理中的熵密切相关。 对任两个密度函数 p和q我们可以引入相对熵的概念： 利用不等式： 可以很容易证明（作为练习）： 熵的广延性（练习）： 对任两个随机变量X1和X2，设它们的密度函数分别为 和 ，两个随机变量的联合概率密度函数为 ，利用相对熵 可以证明： 等号当且仅当随机变量X1和X2独立时成立。

熵的定义是唯一的吗？ ---- 不是的 最大熵原理： 如果密度函数 (x)有最大熵，且满足额外的限制条件： 这个性质可利用相对熵加以证明，具体证明作为练习。 统计物理中的对应：平衡态时系统的熵最大，如正则系综，巨正则系综等。 熵的定义是唯一的吗？ ---- 不是的 通常定义的熵对任两个独立随机变量A和B具有广延性(见前页)，但我们也可以定义不具有广延性的熵。比如Tsallis最近定义的熵(当 时即回到前面的定义)： 这里 是体积元。可以发现对这个熵有： 当 时广延性消失。这个熵当系统有长程相互作用时比较有用。

1.6 中心极限定理和大数定律 考虑随机变量X的N次独立测量平均的随机变量Y，其概率密度函数为 。 可由X的密度函数获得但表达式很复杂，为简单记我们考虑其特征函数： 记 则

若当 时函数 向零趋近得够快，则矩是有限的，并有： 于是概率密度 变为： 因此，不管 的形式如何，只要它有有限的矩，X的大量独立测量的平均值的分布是中心在 的高斯分布，其方差是X的概率密度的方差的1/N。这就是中心极限定理。

大数定律 大数定律：当N∞时，yN偏离 的概率趋于零。 我们利用Chebyshev’s inequality: 及yN和X的方差的关系及 很容易发现： 故当N∞时，若 有限，则 （由 易得）