第三章 静磁场(2) §3.2 静磁场的磁标势 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年11月14日 《电动力学》第17讲 第三章 静磁场(2) §3.2 静磁场的磁标势 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年11月14日 山东大学物理学院 宗福建

Maxwell方程组 山东大学物理学院 宗福建

Maxwell方程组 山东大学物理学院 宗福建

标势 的Poisson方程 山东大学物理学院 宗福建

静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为ρ ，设r为由源点x' 到场点x的距离，则场点x处的电势为 山东大学物理学院 宗福建

静磁场的矢势 根据矢量分析的定理（附录Ⅰ.17式）, 若 则 B 可表为另一矢量的旋度 A 称为磁场的矢势。 山东大学物理学院 宗福建

矢势微分方程 把 B = ▽× A 代入 得矢势A的微分方程 山东大学物理学院 宗福建

矢势微分方程 由矢量分析公式（附录Ⅰ.25式）， 若取A满足规范条件 ▽· A = 0 ，得矢势A的微分方程 ,又称矢势A的泊松方程。 山东大学物理学院 宗福建

矢势微分方程 对比静电势的解，可得矢势A的泊松方程式 特解 式中x‘是源点，x是场点，r为由x’ 到x的距离。 山东大学物理学院 宗福建

矢势的边值关系 在两介质分解面上磁场的边值关系为 磁场边值关系可以化为矢势A的边值关系。对于非铁磁介质，矢势的边值关系为 山东大学物理学院 宗福建 10

矢势的多级展开 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为 山东大学物理学院 宗福建

矢势的多级展开 如果电流分布于小区域V内，而场点x又距离该区域比较远，我们可以把A(x)作多级展开。取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得 山东大学物理学院 宗福建

矢势的多级展开 展开式的第一项为 山东大学物理学院 宗福建

矢势的多级展开 展开式的第二项为 山东大学物理学院 宗福建

本讲主要内容 静磁场的磁标势 超导体的电磁性质

1、标势的引入 在一般情况下磁场不能用标势描述，而需要矢势描述。矢势描述虽然是普遍的，但解矢势A的边值问题比较复杂，因此，我们考虑在某些条件下是否仍然存在着引入标势的可能性。

由磁场环路定律得 L为S的边界。如果回路L环着电流，即有电流穿过L所围曲面S，则 在这种情况下H和力学中的非保守力场相似，因而不能引入标势。

在解决实际问题时，我不考虑整个空间中的磁场，而只求某个区域的磁场。如果所有回路都没有链环着电流，则 因而在这个区域内可以引入标势。

例如一个圈，如果我们挖去线圈所围着的一个壳形区域之后，则剩下的空间V中任一闭合回路都不链环着电流（如图）。因此，在除去这个壳形区域之后，在空间中就可以引入磁标势来描述磁场.

又例如电磁铁，我们想求出两磁极间隙处的磁场，在这个区域内也可以引入磁标势。 至于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发的，没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至在空间（包括磁铁内部）都可以用磁标势来描述。

总结起来，在某区域内能够引入磁标势的条件是该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。

2·公式推导 在的J=0区域内，磁场满足方程 此式表示一般的函数关系，是由于在铁磁性物质中，线性关系B=H不成立。磁标势法的一个重要应用是求铁磁的磁场， 则此式中函数f(H) 不是单值，它依赖于磁化过程。

因 分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，则物质磁化后就出现假想磁荷分布，和电场值中P=－P 对应，假想磁荷密度为

在J=0区域内， 所满足的微分方程 静电场微分方程

在J=0区域内， 所满足的微分方程 静电场微分方程 两组方程对比，差别仅在于没有自由磁荷，这是由于磁荷都是由分子电流的磁偶极矩假想而来的，到目前为止实验还没有发现以磁单极子形式存在的自由磁荷。

由此，可以引入磁标势m，使 用磁标势法时，H和电场中的E相对应。

把磁标势法中有关磁场的公式和静电场公式对比，总结如下 静磁场 静电场

静电场 静磁场

磁标势的边值关系

磁标势的边值关系

例1 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。

解 铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。在铁球内由于均匀磁化，则有 因此磁荷只分布在铁球表面上。球外磁势1和球内磁势2都满足拉普拉斯方程，

由于球外磁势随距离的增大而减小，所以1展开式只含R负幂次项

铁球表面边界条件为当R=R (R0为铁球半径)时 ，且设球外为真空，则有

或

由 通过比较得

于是得

铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，磁矩为 (V为铁球的体积) 球内磁场是

超导体的电磁性质

1、概述 超导电性: 当温度下降到某临界温度Tc以下时，一些元素、化合物、合金和其他材料，电阻率下降为零。（自1911年以来发现） 。

20世纪70年代以前，超导临界温度一般为几K，不超过30K。这些超导体称为常规超导体。 高温超导体材料将会有广阔的应用前景。

超导体的宏观性质 宏观量子效应：超导电性，抗磁性 超导理论：建立在量子力学基础上的微观理论

1957年J. Bardeen（巴丁）, L. N. Cooper（库珀）, J. R 1957年J. Bardeen（巴丁）, L. N. Cooper（库珀）, J. R. Schrieffer（施里弗）用电子声子机制建立了BCS理论，当材料处于超导状态时，费米面附近动量和自旋大小相等、方向相反的自由电子，通过交换虚声子产生的吸引力形成库珀对，库珀对不受晶格散射，是一种无电阻的超流电子。成功解释常规超导体的超导电性及系列性质。高温超导的微观理论还有待完善。

1935年London（伦敦）唯象理论和1950年Ginzberg-Landau（金兹堡-朗道）唯象理论在一定程度上解释超导体的宏观量子性质。伦敦唯象理论以麦克斯韦议程为基础，建立超导电流与电磁场的局域关系。因未涉及微观机制，与实验结果有偏差。1953年Pippard（皮帕德）引入相干长度概念，提出非局域修正。

2、超导体的基本现象 超导体之所以引起人们的关注，是因为它具有与众不同的性质。超导体的独特电磁性质主要包括以下两个方面。

（1）超导电性 临界温度：图示是汞样品的电阻随温度变化关系。我们可以看到当温度4.2K以下时，电阻突然下降为零。这种电阻率为零的性质称为超导电性。开始出现超导电性的温度称为临界温度Tc，不同材料有不同的临界温度Tc。

（2）临界磁场 当物体处于超导状态时，若加上磁场，当磁场强度增大到某一临界值Hc时，超导性被破坏，超导体由超导态转变为正常态。Hc与温度有关。

（3）迈斯纳效应（ Meissner ） 当材料处于超导状态时，随着进入超导体内部深度的增加磁场迅速衰减，磁场主要存在于导体表面的薄层内。对宏观超导体，可把这个厚度看成是零。近似认为超导体内部的磁感应强度B＝0。 超导体具有完全抗磁性称之为理想迈斯纳态 不能理想化的状态称为一般迈斯纳态。

（3）迈斯纳效应（ Meissner ） 1. 如果物理初始处于超导状态，当外加磁场时，只要磁场不超过临界值Hc，磁场B不能进入超导体内。 超导体的抗磁性与超导体所经过的历史无关 1. 如果物理初始处于超导状态，当外加磁场时，只要磁场不超过临界值Hc，磁场B不能进入超导体内。 2. 若把正常态物体放入磁场内，当温度下降使物体转变为超导体时，磁场B被排出超导体外。

（4）临界电流 超导体内的电流超过某个临界值，超导体变成正常态。对应于：超过这个临界值的电流产生超过临界值的磁场。

（5）第一类和第二类超导体 第一类超导体：元素超导体多属于此。存在一个临界磁场。 第二类超导体：合金和化合物多属于此。存在两个临界磁场。在小临界值以下，磁场完全被排出。在两临界值之间，磁场以量子化磁通线的形式进入样品中，使之处于正常态和超导态的混合态，每一条磁通线穿过的线长区域处于正常态，其余区域处于超导态。每一条磁通线的磁通量为一个磁通量子。磁通线整条产生与湮灭。随外磁场增大，穿过样品内部的磁通线逐渐增多，正常相区域逐渐扩大。在上临界值以上，无表面超导相的样品整个转变为正常态。此类超导具有较高的临界温度、临界磁场、通过较大的超导电流，故应用价值相应较大。

（6）磁通量子化 实验发现，第一类复连通超导体，如超导环、空心超导圆柱体，单连通和复连通的第二类超导体，磁通量只能是基本值0=h/2e=2.07×10-15Wb的整数倍。 0称为磁通量子，h为普朗克常数，e为电子电荷的值。

例2 求理想迈斯纳状态下，超导体的面电流密度s与边界上的磁感应强度B之间的关系。

切向 法向

由于迈纳斯效应,在超导体表面产生超导电流s，它所产生的磁场在超导体内部与外场反向，因而把外磁场屏蔽，使超导体内部B=0

例3 半径为a、处于理想迈斯纳态的超导球体置于均匀外磁场H0中，求外部真空中的磁场分布和超导面电流分布。

解： 球外没有电流，可引入磁标势，求解标势的拉普拉斯方程。由轴对称性和无穷远处场，可获得解的形式为 磁场只沿表面，法向导数为零，可得 (磁偶极矩贡献) 表面电流：

例4 有一小磁铁（或小线圈）位于大块超导体平坦的表面附近的真空中，其中磁矩m的方向与超导体表面垂直。试估算超导体外部的磁场分布和磁矩受到的作用力。

解： 设想大块超导体为无限大。设z<0的空间为处于理想迈斯纳态的超导体， z>0的空间为真空。 在z=a取 产生磁场 由场叠加原理得上半空间任一点的磁感应强度

m’在z=a处产生磁场 超导体对磁矩m的作用能 作用力：排斥 磁悬浮！

课下作业： 用磁标势法求解下列各题 教材第108页，习题9、13. 教材第109页，习题17.