传送带问题 2006年3月 庞留根

传送带问题 例1 例2 03年春季高考江苏理综试题第35题 例3 例4 例5 例6 例7 04年苏州模考题例8 例8 03全国理综34 例1 例2 03年春季高考江苏理综试题第35题 例3 例4 例5 例6 例7 04年苏州模考题例8 例8 03全国理综34 2005年江苏理综35

解：物体在摩擦力作用下先匀加速运动, 后做匀速运动, 例1、水平传送带长4.5m,以3m/s的速度作匀速运动。质量m=1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0.15,则该物体从静止放到传送带的一端开始,到达另一端所需时间为多少?这一过程中由于摩擦产生的热量为多少?这一过程中带动传送带转动的机器做多少功? (g取10m/s2)。 解：物体在摩擦力作用下先匀加速运动, 后做匀速运动, a =μg=1.5m/s2 t1= v / a=2s S1= 1/2 at12= 3 m t2=(L-S1)/v=0.5 s ∴t = t1 +t2=2.5 s 水平传送带长20m,以7m/s的速度作匀速运动。某物体与传送带间的动摩擦因数为0.1,则该物体从静止放到传送带的一端开始，到达另一端所需时间为（重力加速度取10m/s2） A 4.7s B 6.3s C 10s D 11s 木块与传送带的相对位移 ΔS =vt1- S1=3m Q= μmg ΔS =4.5J 机器做功W= 1/2 mv2 +Q=9J 或W= μmg S皮带= μmg vt1=9J

(2)物体从A运动到B的过程中,摩擦力对物体做了多少功? (3)物体从A运动到B的过程中,产生多少热量? 例2、如图示,质量m=1kg的物体从高为h=0.2m的光滑轨道上P点由静止开始下滑,滑到水平传送带上的A点,物体和皮带之间的动摩擦因数为μ=0.2,传送带AB之间的距离为L=5m,传送带一直以v=4m/s的速度匀速运动, 求: (1)物体从A运动到B的时间是多少？ (2)物体从A运动到B的过程中,摩擦力对物体做了多少功? (3)物体从A运动到B的过程中,产生多少热量? (4)物体从A运动到B的过程中,带动传送带转动的电动机多做了多少功? B A P v h L

解：(1)物体下滑到A点的速度为v0 ,由机械能守恒定律 1/2 mv02 =mgh v0 =2m/s 物体在摩擦力作用下先匀加速运动, 后做匀速运动, t1= (v-v0) / μg=1s S1= (v2-v02 ) / 2μg=3m t2=(L-S1)/v=0.5s ∴t = t1 +t2=1.5s (2)Wf=μmg S1= 0.2×10 ×3=6 J 　　 或 Wf= 1/2 mv2 - 1/2 mv02 = 1/2 ×(16-4)= 6 J (3)在t1时间内,皮带做匀速运动 S皮带=v t1 =4m Q= μmg ΔS = μmg(S皮带- S1)=2J (4)由能量守恒, W=Q+Wf=8J 或W=μmg S皮带=8J

(1)求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小。 (2)求行李做匀加速直线运动的时间及运动的总时间。 03年春季高考江苏省理科综合试题第35题 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v=1m/s的恒定速率运行，一质量为m=4kg的行李无初速地放在A处,传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1,AB间的距离L=2.0m，g取10m/s2。 (1)求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小。 (2)求行李做匀加速直线运动的时间及运动的总时间。 (3)如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。 （2003年春季高考江苏省理科综合试题第35题）水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图6为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v=1m/s的恒定速率运行，一质量为m=4Kg的行李无初速地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，AB间的距离l=2.0m，g取10m/s2。   图6 （1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小。 （2）求行李做匀加速直线运动的时间。 （3）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。 解：（1）滑动摩擦力F=μmg 代入题给数值，得 F=4N 由牛顿第二定律，得 F=ma 代入数值，得 a=1m/s2 （2）设行李做匀加速运动的时间为t，行李加速运动的末速度为v=1m/s。则 v=at 代入数值，得t=1s （3）行李从A处匀加速运动到B处时，传送时间最短。则 l=atmin2 代入数值，得tmin=2s 传送带对应的最小运行速率vmin=atmin 代入数值，得vmin=2m/s

解： （1）滑动摩擦力f=μmg =4N 由牛顿第二定律， f=ma 代入数值，得 a=1m/s2 （2）设行李做匀加速运动的时间为t1，行李加速运动的末速度为v=1m/s。 则 t1=v/a=1s 匀速运动的时间为t2 t2=(L - 1/2 at12)／v=1.5s 运动的总时间为 T=t1+t2=2.5s （3）行李从A处匀加速运动到B处时，传送时间最短。则 L=1/2 atmin2 代入数值，得tmin=2s 传送带对应的最小运行速率vmin=atmin 代入数值，得vmin=2m/s

例3.物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图7所示，再把物块放到P点自由滑下，则：( ) A. 物块将仍落在Q点 B. 物块将会落在Q点的左边 C. 物块将会落在Q点的右边 D. 物块有可能落不到地面上 A P Q 7.物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图7所示，再把物块放到P点自由滑下则： （ ） A. 物块将仍落在Q点 B. 物块将会落在Q点的左边 C. 物块将会落在Q点的右边 D. 物块有可能落不到地面上 P Q 图7

例4、 如图示，物体从Q点开始自由下滑，通过粗糙的静止水平传送带后，落在地面P点，若传送带按顺时针方向转动。物体仍从Q点开始自由下滑，则物体通过传送带后： （ ） A. 一定仍落在P点 B. 可能落在P点左方 C. 一定落在P点右方 D. 可能落在P点也可能落在P点右方 D Q P 解：物体滑下的初速度为v0 ，传送带静止时，物体滑到右端速度为v1，传送带转动时，物体滑到右端速度为v2，传送带长L 由功能关系 f L=1/2m(v02-v12) 传送带转动时，可能一直减速，也可能先加（减）速后匀速运动，相对滑动的距离为s f s=1/2m(v02-v22) s≤L ∴v2≥v1

v mg sinθ－μmg cosθ= m a a = gsinθ－μgcosθ= 2m/s2 S=1/2a t2 例5、如图示，传送带与水平面夹角为370 ，并以v=10m/s运行，在传送带的A端轻轻放一个小物体，物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5， AB长16米，求：以下两种情况下物体从A到B所用的时间. （1）传送带顺时针方向转动 （2）传送带逆时针方向转动 解： （1）传送带顺时针方向转动时受力如图示： mg sinθ－μmg cosθ= m a N f mg A B a = gsinθ－μgcosθ= 2m/s2 v S=1/2a t2

v ∴t=t1+t2=2s a=g sin370 +μ g cos370 = 10m/s2 （2）传送带逆时针方向转动物体受力如图： 开始摩擦力方向向下,向下匀加速运动 a=g sin370 +μ g cos370 = 10m/s2 t1=v/a=1s S1=1/2 ×at2 =5m S2=11m 1秒后，速度达到10m/s，摩擦力方向变为向上 物体以初速度v=10m/s向下作匀加速运动 a2=g sin370 -μg cos370 = 2 m/s2 N f mg S2= vt2+1/2×a2 t22 A B v 11=10 t2+1/2×2×t22 N f mg t2=1s ∴t=t1+t2=2s 庞留根

v 例6、 如图所示，传送带不动时，物体由皮带顶端A从静止开始 B、C、D N A f N A A f v B B B 下滑到皮带底端B用的时间为t ，则：（ ） A. 当皮带向上运动时，物块由A 滑到B 的时间一定大于t B. 当皮带向上运动时，物块由A 滑到B 的时间一定等于t C. 当皮带向下运动时，物块由A 滑到B 的时间可能等于t D. 当皮带向下运动时，物块由A 滑到B 的时间可能小于t B、C、D A B v N f mg A B A B v N f mg 当μ=0时， C对

求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。 例7.  一传送皮带与水平面夹角为30°，以2m/s的恒定速度顺时针运行。现将一质量为10kg的工件轻放于底端，经一段时间送到高2m的平台上，工件与皮带间的动摩擦因数为μ= ，取g=10m/s2 求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。 30° v

解: 设工件向上运动距离S 时，速度达到传送带的速度v ，由动能定理可知 μmgS cos30°– mgS sin30°= 0－ 1/2 mv2 解得 S=0. 8m，说明工件未到达平台时，速度已达到 v ， 所以工件动能的增量为      △EK = 1/2 mv2=20J 工件重力势能增量为     △EP= mgh = 200J 在工件加速运动过程中,工件的平均速度为 v/2 ， 因此工件的位移是皮带运动距离S '的1/2， 即S '= 2S = 1.6 m 由于滑动摩擦力作功而增加的内能 △ E 为      △E=f △S= μ mgcos30°(S '－S)= 60J 电动机多消耗的电能为 △EK+△EP+△E=280J

物体开始受到向上的摩擦力作用,做匀加速运动 又解: 物体开始受到向上的摩擦力作用,做匀加速运动 滑动摩擦力 f1= μmgcosθ=75N a=μgcosθ-gsinθ=g/4 =2.5 m/s2 经过时间t1=v/a=0.8s 速度达到2m/s ,上升s1=v2/2a=0.8m 然后在静摩擦力作用下做匀速运动,上升 s2=3.2m 静摩擦力 f2= mgsinθ=50N t2= s2 /v=1.6 s 为保持皮带匀速运动，机器在t1时间内应增加动力75N,在t2时间内应增加动力50N 带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能为 30° v N mg f W= f1 vt1 + f2 vt2 =75×1.6+50×3.2 =120+160=280J

(2)木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？ (3)木块在传送带上的最终速度多大？ 如图示，水平传送带AB长L=8.3m，质量为M=1kg 的木块随传送带一起以v1=2m/s的速度向左匀速运动( 传送带的传送速度恒定),木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5,当木块运动至最左端A点时,一颗质量为m=20g的子弹v0=300m/s水平向右的速度正对射入木块并穿出,穿出速度u=50m/s,以后每隔1s就有一颗子弹射向木块,设木块沿AB方向的长度可忽略，子弹射穿木块的时间极短,且每次射入点各不相同, 取g=10m/s2，问： 04年苏州模考题 B A v1 L v0 M 在被第二颗子弹击中前，木块 向右运动离A点的最大距离是多少？ (2)木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？ (3)木块在传送带上的最终速度多大？ (4)在被第二颗子弹击中前，木块、子弹和传送带这一系统所产生的热能是多少？

(1)由动量守恒定律 mv0 –Mv1=mu+MV V=3m/s 对木块由动能定理： μMgS1 =1/2 MV2 S1=0.9m 解： (1)由动量守恒定律 mv0 –Mv1=mu+MV V=3m/s 对木块由动能定理： μMgS1 =1/2 MV2 S1=0.9m (2)对木块由动量定理： μMgt1=MV t1=0.6s 木块速度减为0后再向左匀加速运动，经t2速度增为v1 t2= v1/μg= 0.4s 这时正好第二颗子弹射入， S2=1/2 a t22= 1/2 μg t22=0.4m 所以两颗子弹射中木块的时间间隔内木块的总位移为 S= S1 -S2=0.5m 第15颗子弹射入后的总位移为7.5m，第16颗子弹射入后，木块将从B点落下。 B A v1 L v0 M 所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中 题目

(3)第16颗子弹射入后，木块向右运动S3=8.3-7.5=0.8m 对木块由动能定理： μMgS3 = 1/2 M(V2 –vt2) vt=1m/s 木块在传送带上的最终速度为 1m/s (4)子弹射向木块过程,所产生的热能为Q1 Q1=1/2 mv02+ 1/2 Mu2 - 1/2 MV2 - 1/2 mv2 =900 +2- 4.5 – 25=872.5J 木块向右减速运动到0时，相对位移Δs1 Δs1=vt1+ S1 =2×0.6+0.9=2.1m 这一过程所产生的热能为Q2=f Δs1 =5 ×2.1=10.5J 木块向左加速运动到v时，相对位移Δs2 Δs2=vt2- S2 =2×0.4-0.4=0.4m 这一过程所产生的热能为Q3=f Δs2 =5 ×0.4=2J 整个过程系统所产生的热能为 Q= Q1 + Q2 +Q3=885J 题目

例8、如图甲示，水平传送带的长度L=6m，传送带皮带轮的半径都为R=0 例8、如图甲示，水平传送带的长度L=6m，传送带皮带轮的半径都为R=0.25m,现有一小物体(可视为质点)以恒定的水平速度v0滑上传送带,设皮带轮顺时针匀速转动,当角速度为ω时,物体离开传送带B端后在空中运动的水平距离为s,若皮带轮以不同的角速度重复上述动作(保持滑上传送带的初速v0不变),可得到一些对应的ω和s值,将这些对应值画在坐标上并连接起来,得到如图乙中实线所示的 s- ω图象,根据图中标出的数据(g取10m/s2 ),求: (1)滑上传送带时的初速v0以及物体 和皮带间的动摩擦因数μ (2)B端距地面的高度h (3)若在B端加一竖直挡板P,皮带轮 以角速度ω′=16rad/s顺时针匀速转 动,物体与挡板连续两次碰撞的时 间间隔t′为多少?(物体滑上A端 时速度仍为v0,在和挡板碰撞中无 机械能损失) P h v0 s A B ω/rads-1 s /m 4 28 0.5 3.5

解： (1) 由图象可知:当ω≤ω1=4rad/s时,物体在传送带上一直减速,经过B点时的速度为 v1=ω1R=1m/s 当ω≥ ω2=28rad/s时,物体在传送带上一直加速, 经过B点时的速度为 v2=ω2R=7m/s 由 a=μg, v02 - v12 =2μgL v22 – v02 =2μgL 解得μ=0.2 v0=5m/s P h v0 s A B (2)由图象可知:当水平速度为1m/s时,水平距离为0.5m, t=s/v=0.5s h=1/2 gt2=1.25m (3) ω′ =16rad/s 物体和板碰撞前后的速度都是v′ =ω′ R =4m/s ω/rads-1 s /m 4 28 0.5 3.5 第一次碰后速度向左,减速到0, 再向右加速到4m/s时第二次碰板 t' =2 v' /a= 2v'／μg =4s

v0=5m/s v皮=ωR =ω/4 vB=s/t=s/0.5 将s- ω图象转化为vB - v皮图象如图示: 讨论: v0=5m/s v皮=ωR =ω/4 vB=s/t=s/0.5 将s- ω图象转化为vB - v皮图象如图示: 当ω≤4rad/s时, v皮≤1m/s, 物体在传送带上一直减速, 当 4rad/s ≤ω≤20 rad/s时, 1m/s ≤v皮 ≤v0=5m/s, 物体在传送带上先减速,然后以ωR匀速运动 当ω=20rad/s时, v皮=5m/s, 物体在传送带上一直匀速, 当20rad/s ≤ω≤28rad/s时, 5m/s ≤v皮≤7m/s, 物体在传送带上先加速,然后以ωR匀速运动 当ω≥28rad/s时, v皮≥ 7m/s, 物体在传送带上一直加速 ω/rads-1 s /m 4 28 0.5 3.5 2.5 20 1.5 16 8 1.0 v皮/ms-1 vB /ms-1 1 7 5 庞留根

一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。 求电动机的平均输出功率P。 03全国理综34、 L B A D C

在这段时间内，传送带运动的路程为： S0 =v0 t 解析:以地面为参考系(下同)，设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有： S =1/2·at2 v0 =at 在这段时间内，传送带运动的路程为： S0 =v0 t 由以上可得： S0 =2S 用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力， 则传送带对小箱做功为 A＝f S＝1/2·mv02 传送带克服小箱对它的摩擦力做功 A0＝f S0＝2×1/2·mv02 两者之差就是摩擦力做功发出的热量 Q＝1/2·mv02 [也可直接根据摩擦生热 Q= f △S= f（S0- S）计算] 题目

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等. Q＝1/2·mv02 T时间内，电动机输出的功为： W=PT 此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即： W=N· [ 1/2·mv02+mgh+Q ]= N· [ mv02+mgh] 已知相邻两小箱的距离为L，所以： v0T＝NL v0＝NL / T　 联立，得： 题目

(1)若行李包从B端水平抛出的初速v＝3.0m／s，求它在空中运动的时间和飞出的水平距离； 2005年江苏理综35. 35. (9分)如图所示为车站使用的水平传送带装置的示意图.绷紧的传送带始终保持3.0m／s的恒定速率运行，传送带的水平部分AB距水平地面的高度为h=0.45m.现有一行李包(可视为质点)由A端被传送到B端，且传送到B端时没有被及时取下，行李包从B端水平抛出，不计空气阻力，g取l 0 m/s2 (1)若行李包从B端水平抛出的初速v＝3.0m／s，求它在空中运动的时间和飞出的水平距离； (2)若行李包以v0＝1.0m／s的初速从A端向右滑行，包与传送带间的动摩擦因数μ＝0.20，要使它从B端飞出的水平距离等于(1)中所 求的水平距离，求传送带的长 度L应满足的条件. B A L h

要使行李包从B端飞出的水平距离等于（1）中所求水平距离，行李包从B端飞出的水平抛出的初速度v=3.0m/s 解： （1）设行李包在空中运动时间为t， 飞出的水平距 离为s，则 B A L h h=1/2 gt2 s＝v t 代入数据得：t＝0.3s s＝0.9m （2）设行李包的质量为m，与传送 带相对运动时的加速度为a，则滑动摩擦力 代入数据得：a＝2.0m/s2 要使行李包从B端飞出的水平距离等于（1）中所求水平距离，行李包从B端飞出的水平抛出的初速度v=3.0m/s 设行李被加速到时通过的距离为s0，则　 2as0 =v2-v02 ⑦　　 代入数据得 s0＝2.0m ⑧ 故传送带的长度L应满足的条件为：L≥2.0m ⑨