9.5 函数的幂级数展开式 通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于 9.5 函数的幂级数展开式 通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于 研究和计算, 常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂 级数.这正好和原来 “求一个幂级数的和函数”问题相反. 下面将解决这样一些问题: 对于给定的函数ƒ(x),在什么条件下它才能展开成幂 级数? (2) 如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数 (3) 展开后的幂级数是否唯一?
定义5 若一个函数ƒ(x)能表示成一个幂级数 , 称为此函数的幂级数展开; 称此幂级数为该函数的幂 级数展开式. 由第四章定理4 (泰勒Taylor中值定理)知,若函数ƒ(x) 在x0 的某邻域内具有直到(n+1)阶导数, 则对于 均有 其中 间). 我们称此等式为函数ƒ(x)在 处的n阶泰勒 Taylor公式或泰勒Taylor展开式.
显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似 之处. 故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数. 泰勒级数 由泰勒中值定理知, 当ƒ(x)在 x0 的某邻域内内具有 直到(n+1)阶导数, 那么在该邻域内必有 从而当ƒ(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有 ——函数ƒ(x)在x0 处的泰勒级数或泰勒展开式. 特别地, 在 时, 上式即为 ——函数ƒ(x)在 处的马克劳林级数或马克劳林展开式.
定义6 称马克劳林级数的前(n+1)项的和 ƒ(x)与n阶泰勒多项式的差值 为ƒ(x)的n阶泰勒多项式. 叫做ƒ(x)的n阶泰勒余项. 常见的 的形式是 间). ——称为泰勒余项 的拉格朗日型. 当n=0时, 就是拉格朗日中值公式.
二.函数展开成幂级数的充要条件 定理18 若函数ƒ(x)在 (-R, R)内有任意阶导数, 则ƒ(x)可 展成马克劳林级数的充分必要条件是ƒ(x)的泰勒余项 满足 证 因余项为 而级数收敛, 则当 时
推论 若对任意 x∈(-R, R)内, 如果存在一个正常数K , 使得 (n=1,2,…), x 的幂级数. 证 收敛, 其收敛半径为+∞ 注1 若ƒ(x)在 处能展成幂级数, 则其幂级数展开 式必为泰勒级数; 若ƒ(x)在x = 0处能展成幂级数,则其幂 级数展开式必为马克劳林级数.
三.将初等函数展开成幂级数的方法 因级数 可相互转化,故下面主 要讨论如何将 ƒ(x) 展开成 x 的幂级数 (即马克 劳林级数). 1.直接展开法 利用式 直接将ƒ(x)展开成一个 幂级数的方法, 称为直接展开法.
直接展开法的计算步骤为: (1) 求出ƒ(x)在 x=0处的各阶导数值: (2) 写出ƒ(x)的马克劳林级数, 并给出收敛区间; (3) 证明在收敛区间内余项 (4) 写出ƒ(x)的展开式: 并写出收敛区间.
例22 将下列函数展开成x的幂级数: 于是 且其收敛区间为(－∞,+ ∞) 项, 则对
且其收敛区间为(－∞,+ ∞).
下面略去证明过程有
称这个公式为二项展开式. 注2 此级数在端点处的敛散性完全由α的具体取值而定. 2.间接展开法 直接展开法麻烦不说, 要证明 的难度 有时很大; 下面利用幂级数的性质与已知幂级数的展开 式(如几何级数、指数函数 和正弦函数sinx), 进行逐 项积分或逐项微分或令变量替换等方法, 求出一些函数 ——间接展开法. 的幂级数展开式
例22 将函数 展开成 x 的幂级数. 解 在几何级数中, 分别令
将上述三式两端分别从0到 x (-1< x <1)积分, 得
例24 将下列函数展开成 x的幂级数——马克劳林级数. 逐项微分得
例25 按要求完成下列各题: 将 f(x) 展为x - 2的幂级数.
将 f(x) 展为x 的幂级数.
将 f(x) 展为 的幂级数.