2.2.1椭圆的标准方程 第一课时

一.问题情境 生活中的椭圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？

♦ 动画演示：“神六”飞行

二、复习回顾： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点 的距离和等于常数（大于 　　平面内与两个定点　　的距离和等于常数（大于 　　）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． PF1+PF2=2a (2a>2c>0, F1F2=2c) 注意: 椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内. （2）两个定点---两点间距离确定． （3）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定． 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的 椭圆较扁（　　线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（　　圆） 由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．

2.学生活动 ♦ 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？ 以圆心O为原点，建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x，y) r 两边平方，得 y x

坐标法 2.学生活动： ♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略， 直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以 适当予以说明) （4）化方程 为最简形式； 坐标法 1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程

♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 方案二 2.学生活动 F1 F2 x y M x y x y x y M F1 F2 x y O x y M O x y O x y O x y M F1 F2 O x y 方案一 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”

1)椭圆的标准方程的推导 3.建构数学 解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y M y 设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义得，限制条件： 代入坐标 （问题：下面怎样化简？）

整理得 两边再平方，得 移项，再平方 由椭圆定义可知 两边除以 得

2)椭圆的标准方程 o o y x 焦点在x轴： y 焦点在y轴： x 总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式 M F F M 1 2

3)两类标准方程的对照表 o o c2=a2-b2 MF1+MF2=2a (2a>2c>0) 定 义 y x y x 图 形 定 义 1 o F y x 2 M 1 2 y o F M x 图 形 方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c之间的关系 c2=a2-b2 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.

例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆， 它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 4.数学应用 例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆， 它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程． 解： 以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准 方程可设为 x y O F1 F2 根据题意有 即 因此，这个椭圆的标准方程为

练习： 1、 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__. 1、 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__. (2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 并且CF1=2,则CF2=___. 5 4 (-3,0)、(3,0) 3 6 8 变题： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（1）. 若方程 表示焦点在y轴上的椭圆， 求k的取值范围; 探究: 若方程表示椭圆呢?

课堂练习： 1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标. ?

纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？ 例2 ：将圆 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？ y x o 解： 设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 ＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得： 因为　　　　　　＝４ 1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。 2）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法； 所以 即

(3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）. 例3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）. 或 解： 因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为 (法一) x y F1 F2 P ∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点 ∴ ……② 联立①②可求得： ∴椭圆的标准方程为

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为 由椭圆的定义知， 所以所求椭圆的标准方程为

5、回顾小结 一种方法： 二类方程: 三个意识： 求椭圆标准方程的方法 求美意识， 求简意识，前瞻意识 6、作业布置