Chapter5 離散型機率分配
瑞士科學家 Jacob Bernoulli
瑞士科學家 Jacob Bernoulli (27 December 1654– 16 August 1705)
如果一枚銅板出現正面的機率為0.5, 請問丟100次大約會出現幾次正面? 如果一枚銅板出現正面的機率為0.2, 請問丟100次大約會出現幾次正面?
例 6.5
二項機率分配
例 6.6 Page 317
例 6.7
巴斯卡 Pascal Pascal（ 19 June 1623 – 19 August 1662）生於法國數學家，物理學家，作家與宗教哲學家，卒於巴黎。 1654年, 巴斯卡和數學家費馬頻繁通信, 討論解決一個上流社會為賭博而產生的問題。 故事是這樣開始的~~ 兩個賭徒保羅與梅爾賭錢, 每人拿出6枚金幣。 比賽開始後, 保羅勝了一局, 梅爾勝了兩局之後, 一件意外的事件中斷了他們的賭博。 保羅認為, 根據勝負的局數, 他應該得總數的 1/3, 即4枚金幣, 梅爾得總數的 2/3, 即8枚金幣。 但精通賭博術的梅爾認為, 他贏得全局的可能性要大於保羅, 所以他應該得到全部金幣。
再賭一把吧!! 巴斯卡認為: 如果梅爾勝, 可以得到全部金幣 (記為1); 如果保羅勝, 那麼兩人各勝了兩局, 應各得金幣的一半 (記為 1/2)。 因為這一局他們勝負的可能性是相同的, 因此, 梅爾得金幣的可能性應該是兩種可能性大小的一半, 即 (1 + 1/2) ÷ 2 = 3/4, 保羅得金幣的可能性則為 (0 + 1/2) ÷ 2 = 1/4。 所以梅爾分9枚金幣, 保羅分3枚金幣。 數學傳播 32卷2期, pp. 54-61 張小平
再兩把如何? 費馬是這樣認為的, 如果再玩兩局, 會出現四種可能的結果: (梅爾勝, 保羅勝); (保羅勝, 梅爾勝); (梅爾勝, 梅爾勝); (保羅勝, 保羅勝)。 其中前三種結果都決定梅爾整盤勝出, 只有第四種結果保羅才能整盤勝出。 所以梅爾取勝的機率為 3/4, 保羅取勝的機率為 1/4。
解法的討論, 提到的 “巴斯卡三角形”直接啟發牛頓, 發現了二項式定理。 巴斯卡與繼續研究了這類隨機事件的更一般的規律, 巴斯卡在 1653年寫成了 《論算術三角形》(Traite du triangle arithmetique), 通過對特殊機率問題 解法的討論, 提到的 “巴斯卡三角形”直接啟發牛頓, 發現了二項式定理。
例 6.8
例 6.10
例 6.11 例 6.12
超幾何機率分配
例 6.13
例 6.14
例 6.15
例 6.16
例 6.17
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例 6.18
例 6.19
例 6.20