一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式及微分法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题.

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1 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式及微分法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题

2 高等数学二⑤ 2/31 ⑴实例 1 ：正方形金属薄片受热后面积的改变量。 1 、问题的提出

3 高等数学二⑤ 3/31 ⑵实例 2 既容易计算又是较好的近似值 问题：这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否所有函 数的改变量都有？它是什么？如何求？

4 高等数学二⑤ 4/31 2 、定义 ( 微分的实质 ) 注:注:

5 高等数学二⑤ 5/31 定理 证 (1) 必要性 3 、可微的条件 (2) 充分性

6 高等数学二⑤ 6/31 例1例1 解

7 高等数学二⑤ 7/31 M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P

8 高等数学二⑤ 8/31 求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分。 ⑴基本初等函数的微分公式 1 、微分的求法 2 、微分公式和微分法则

9 高等数学二⑤ 9/31 ⑵函数和、差、积、商的微分法则 ⑶复合函数的微分法则

10 高等数学二⑤ 10/31 3 、微分形式不变性 结论： 微分形式的不变性

11 高等数学二⑤ 11/31 例2例2 解 例3例3 解

12 高等数学二⑤ 12/31 例5例5 解 例4例4 解

13 高等数学二⑤ 13/31 例6例6 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.

14 高等数学二⑤ 14/31 1 、函数的近似计算 ⑴计算函数增量的近似值 例 7例 7 解

15 高等数学二⑤ 15/31 ⑵计算函数在点 x=x 0 附近的近似值 例8例8 解

16 高等数学二⑤ 16/31 ⑶计算函数在点 x=0 附近的近似值 常用近似公式 证明

17 高等数学二⑤ 17/31 例2例2 解

18 高等数学二⑤ 18/31 2 、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因 素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的 数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量 误差. 定义： 问题：在实际工作中，绝对误差与相对误差无法求得？

19 高等数学二⑤ 19/31 办法：将误差确定在某一个范围内. 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对 误差.

20 高等数学二⑤ 20/31 例3例3 解

21 高等数学二⑤ 21/31 1 、问题的提出 一、微分的定义 2 、定义 3 、可微的条件 二、微分的几何意义 三、微分公式和微分法则 1 、微分的求法 2 、微分公式和微分法则 3 、微分形式不变性 四、微分在近似计算中 的应用 四、微分在近似计算中 的应用 1 、函数的近似计算 2 、误差估 计 五、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用 的科学, 叫做微分学. 导数与微分的联系与区别 思考题 作业：第 122-124 页 1. 3. 双号； 5. 7(1). 9. 10 。

22 高等数学二⑤ 22/31 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.

23 高等数学二⑤ 23/31

24 高等数学二⑤ 24/31

25 高等数学二⑤ 25/31

26 高等数学二⑤ 26/31

27 高等数学二⑤ 27/31