第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结. 例如 所以是全微分方程. 定义 : 则 若有全微分形式 一、全微分方程及其求法.

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1 第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结

2 例如 所以是全微分方程. 定义 : 则 若有全微分形式 一、全微分方程及其求法

3 解法 1 ：应用曲线积分与路径无关. 解法 2 ：用直接凑全微分的方法. 解法 : 全微分方程 通解为 解法 3 ：利用不定积分法求

4 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例1例1

5 解 是全微分方程, 原方程的通解为 将左端重新组合 例2例2

6 解 例3例3 方程是全微分方程 方程的通解为：

7 定义 : 问题 : 如何求方程的积分因子 ? 二、积分因子法

8 1. 公式法 : 特殊地 : 求解不容易

9

10 凭观察凑微分得到 2. 观察法 : 常见的全微分表达式

11 可选用的积分因子有 解 例4例4 则原方程为

12 原方程的通解为 ( 公式法 )

13 解 例 5 求微分方程 将方程左端重新组合, 有 原方程的通解为

14 解 将方程左端重新组合, 有 原方程的通解为 例 6 求微分方程

15 解1解1 整理得 A 常数变易法 : B 公式法 : 例7例7

16 解2解2 整理得 A 用曲线积分法 : B 凑微分法 :

17 C 不定积分法 : 原方程的通解为

18 1 、可分离变量的微分方程 解法：分离变量法. 2 、齐次方程 解法：令 化成可分离变量的方 程. 3 、一阶线性方程 解法：公式 4 、贝努利方程 解法：令 化成线性方程. 三、一阶微分方程小结

19 5 、全微分方程式 解法：曲线积分法、分项组合法、不定积分法.

20 思考题 方程 是否为全微分方程？

21 思考题解答 原方程是全微分方程.

22 练 习 题

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24 练习题答案