工 程 數 學 第二章 二階微分方程式. 2-1 基本概念 二階微分方程式  最高微分為二次 例 二階微分方程式的解：

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1 工 程 數 學 第二章 二階微分方程式

2 2-1 基本概念 二階微分方程式  最高微分為二次 例 二階微分方程式的解：

3 含有 2 個積分常數 c 1, c 2 !!

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5 [ 定理 ]

6 ( 齊次方程式 )

7 [ 證明 ]

8 線性相依與線性獨立

9 判斷線性獨立的方法

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13 2-3 降階法 解上式需要求得二個獨立解，若吾人已 得知一個解，則可利用降階法去求另一 獨立解。

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16 [ 例題 ] [解][解]

17 2-4 常係數齊次線性方程式 特徵方程式  稱為特徵方程式

18 情形 1 ：

19 情形 2 ：

20 情形 3 ：

21 情形 3 ：複數根情形再討論

22  稱為 Euler 公式

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24 [ 例題 ] [解][解]

25 [解][解]

26 [解][解]

27 2-5 歐勒方程式

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29 [ 例題 ] [解][解]

30 2-6 非齊次方程式

31 2-6-1 參數變更法

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33 [ 例題 ] [解][解]

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35 2-6-2 未定係數法 (Method of Undetermined Coefficients) 而依 f (x) 的函數項型式 ，所對應的 未知係數特解 y p 列如下表：

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37 [ 例題 ] [解][解]

38 [解][解]

39 [解][解]

40 需例外處理情況： [ 例題 ] [解][解] 哇！完蛋！

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42 [ 例題 ]  不行！  還是不行！

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44 [ 例題 ] [ 解 ] (1) 求齊次解 y h (2) 求特解 y p 因為齊次解含 sin(3x) 與原方程式右邊所含 函數有相同項

45 比較係數

46 [ 例題 ] [解][解]

47 2-6-3 重疊原理

48 [ 例題 ] [解][解] (2) 求特解 y p 比較係數

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50 2-7 二階微分方程式在機械系統之應用

51 2-7-1 自由振動 此種情形稱為過阻尼 (overdamping)

52 此種情形稱為臨界阻尼 (critical damping)

53 此種情形稱為欠阻尼 (underdamping)

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