第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结.

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1 第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结

2 例 定义： 一、原函数与不定积分的概念 ⒈ 原函数

3 关于原函数有以下三个问题： 1) 满足什么条件, 其原函数一定存在？ 原函数存在定理： 若 在区间 I 内连续, 则在区间 I 内一定存在 的原函数. 简言之：连续函数一定有原函数. 2) 若 f(x) 有原函数, 原函数是否唯一？ 例 即:即: 若 f(x) 有原函数, 则 f(x) 的原函数有无 穷多个.

4 3) f(x) 的全体原函数如何表示 ? （ 1 ）若 ，则对于任意常数 ， （ 2 ）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 关于原函数的两个说明： 若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数, 则 f(x) 的全体 原函数可表示为 F(x) +C. (C 为任意常数）

5 ⒉ 不定积分的定义： 若 F(x) 是 f(x) 在区间 I 内的一个原函数, 则 f(x) 在区间 I 内的全体原函数称为 f(x) 在区 间 I 内的不定积分,

6 例 1 求 解 解 例 2 求

7 ⒊ 不定积分的几何意义 不定积分称为积分曲线族, 且在横坐标 相同的每条曲线上的切线斜率相等. 为平面上的 一条曲线. 为平面上的 一族曲线. 设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数

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9 结论： 互逆 求不定积分的运算与微分运算是互逆的. ⒋ 不定积分与微分 ( 导数 ) 的关系 由此根据微分公式可得积分公式.

10 实例 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表

11 基本积分表⑴基本积分表⑴ 是常数 ); 说明： 简写为

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14 例 3 求积分 解 根据积分公式（ 2 ）

15 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 三、 不定积分的性质及简单计算

16 例 4 求积分 解 根据不定积分的运算性质和基本函数的积 分公式, 可计算简单函数的不定积分.

17 例 5 求积分 解

18 例 6 求积分 解

19 例 7 求积分 解

20 例 8 求积分 解

21 例 9 求积分 解

22 例 10 求积分 解

23 例 11 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.

24 注意 : 1) 导数是唯一的, 但不定积分不唯一. 2) 任一初等函数都可求导数, 且导数一般 也为初等函数, 但一些初等函数的不定积分就 不能用初等函数来表示. 这些不定积分的原函数存在, 但不能用初等函 数来表示.

25 基本积分表 (1) 不定积分的性质 大家别忘了公式表里总结的积分公 式 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 四、 小结