引 言 第三章 一元函数积分学 积分学分为不定积分与定积分两 部分．不定积分是作为函数导数的 反问题提出的，而定积分是作为微 分的无限求和引进的，两者概念不 相同，但在计算上却有着紧密的内 在联系．

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1 引 言 第三章 一元函数积分学 积分学分为不定积分与定积分两 部分．不定积分是作为函数导数的 反问题提出的，而定积分是作为微 分的无限求和引进的，两者概念不 相同，但在计算上却有着紧密的内 在联系．

2 本章主要研究不定积分和定积分的 概念、性质及基本积分方法，并揭示 二者的联系，从而着重论证微积分学 核心定理（牛顿莱布尼茨式 ), 解决定 积分的计算问题，同时研究定积分在 几何、物理及医学等方面的应用，最 后简单研究广义积分．

3 本章主要内容： 第一节 不定积分 第二节 不定积分的计算 第三节 定积分 第四节 定积分的计算 第五节 广义积分

4 3.1.1 不定积分的概念 3.1.2 不定积分的基本公式和 运算法则 第一节 第一节 不定积分

5 在小学和中学我们学过逆运算： 如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数 3.1.1 3.1.1 不定积分的概念 问题提出

6 微分法 : 积分法 : 互逆运算

7 定义 1 若在某一区间上， F′(x) ＝ f(x) ， 则在这个区间上，函数 F （ x ）叫做函数 f(x) 的一个原函数（ primitive function ）

8 一个函数的原函数并不是唯一的， 而是有无穷多个．比如， (sinx)′ ＝ cosx 所以 sinx 是 cosx 的一个原函数， 而 sinx ＋ C （ C 可以取任意多的常数） 是 cosx 的无穷多个原函数．

9 一般的，若 F′(x) ＝ f(x),F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则等式 [F(x)+ C]′ ＝ F′(x) ＝ f(x) 成立（其中 C 为任意常数），从而一簇 曲线方程 F(x) ＋ C 是 f(x) 无穷多个原函数．

10 问题提出 如果一个函数 f(x) 在一个区间有一个 原函数 F(x) ，那么 f(x) 就有无穷多个 原函数存在，无穷多个原函数是否都有 一致的表达式 F(x) ＋ C 呢？

11 定理 1: 若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数都可以表示成 F(x) ＋ C （ C 为任意常数） ． 思考：如何证明？ YES

12 x 称为积分变量 f(x) 称为被积函数， f(x)dx 称为被积表达式 其中 ∫ 称为积分号， C 称为积分常数 定义 2 ：若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数 F(x) ＋ C 称为 f(x) 的 不定积分（ indefinite integral ）, 记为 ∫ f （ x ） dx ＝ F （ x ） ＋ C

13 例 1 求函数 f(x) ＝ ３ x ２ 的不定积分 例 2 求函数 f(x) ＝ １ /x 的不定积分

14 由于函数 f(x) 的不定积分 F(x) ＋ C 中含有 任意常数 C ，因此对于每一个给定的 C ，都有 一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一 条确定的曲线，称为 f(x) 的积分曲线． 因为 C 可以取任意值，因此不定积分表示 f(x) 的一簇积分曲线，即 F(x) ＋ C ． 二、不定积分的几何意义

15 因为 F′(x) ＝ f(x) ，这说明，在积分曲线 簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标 x ＝ x ０ 点处有相同的斜率 f(x ０ ) ，所以对应于这些点处， 它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之 间相差一个常数．因此，积分曲线簇 y ＝ F(x) ＋ C 中每一条曲线都可以由曲线 y ＝ F(x) 沿 y 轴方向 上、下移动而得到 二、不定积分的几何意义

16

17 例 3 求经过点（１ ，３） ，且其 切线的斜率为２ x 的曲线方程．

18 3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则 一、不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知，不定积分就 是微分运算的逆运算．因此，有一个导 数或微分公式，就对应地有一个不定积 分公式．

19 基本积分表 ( k 为常数 )

20

21

22

23 例 求 解 : 原式 =

24 例 求 解 : 原式 =

25 关于不定积分，还有如下等式成立： １ ［ ∫f(x)dx ］ ′ ＝ f(x) 或 d∫f(x)dx ＝ f(x)dx ２ ∫F′(x)dx ＝ F(x) ＋ C 或 ∫dF(x) ＝ F(x) ＋ C

26 二、不定积分的运算法则 １ 不为零的常数因子，可移动到积分号前 ∫af(x)dx ＝ a∫f(x)dx （ a≠ ０） ２ 两个函数的代数和的积分等于函数积分的 代数和 ∫[f(x)±g(x) ］ dx ＝ f(x)dx±∫g(x)dx

27 例 4 求 解：原式 =

28 例 5 求 解：原式

29 例 6 求 解：原式 =

30 例 7 求 解：原式 =

31 课堂练习 课堂思考 本节给出了不定积分的定 义、几何意义和基本公式及运 算法则。 下一节 下一节

32 3.1 节 课堂练习

33 3.1 节 课堂思考

34 ３. ２ 不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性质 直接计算不定积分，有时很困难，因此， 需要引进一些方法和技巧。下面介绍不 定积分的两大积分方法 : 换元积分法与分部积分法

35 ３. ２ 不定积分的计算 3.2.1 换元积分法 3.2.4 * 积分表的使用 3.2.3 * 有理函数积分简介 3.2.2 分部积分法

36 3.2.1 换元积分法 一、第一类换元积分法（凑微分法） 有一些不定积分，将积分变量进行一定 的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变 为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变 量可直接由基本积分公式求出不定积分来.

37 例如 想到基本积分公式 若令 u ＝４ x ，把４ x 看成一个整体（新的积分 变量），这个积分可利用基本积分公式算出来

38 又如 u=2x

39 第一类换元法 则有换元公式

40 例 8 求 解：原式 =

41 推广： 解：解：

42 例 9 求 解：原式 =

43 例 10 求 解：原式 =

44 例 11 求 解：原式 =

45 类似可得

46 二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一 个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形 式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法 作一个代换 x ＝ φ(t) ，而积分 ∫f(x)dx ＝ ∫f ［ φ(t) ］ φ′(t)dt 可用基本积分公式求解

47 定理 2 设 f(x) 连续， x ＝ φ(t) 是单调可导 的连续函数，且其导数 φ′(t)≠ ０， x ＝ φ(t) 的反函数 t ＝ φ -1 (x) 存在且可导，并且 ∫f[φ(t)]φ′(t)dt ＝ F(t) ＋ C 则 ∫f(x)dx ＝ F[φ -1 (x)] ＋ C

48 例 12 求 解: 令解: 令 则 ∴ 原式

49 例 13. 求 解: 令解: 令则 ∴ 原式

50 例 14. 求 解:解: 令 则 ∴ 原式

51 令 于是

52 小结 : 被积函数含有 时,时, 或 可采用三角代换消去根式

53 例 15 求 解：设，则 从而 原式

54 小结： 当被积函数含有 时，只需做代换 ， 就可将根号去掉．不定积分就变成容易的积分 了。 上述第二类换元积分均是利用变换去掉被 积函数中的根式，把积分转化成容易积 分．

55 3.2.2 分部积分法（ integration by parts ） 如果 u ＝ u(x) 与 v ＝ v(x) 都有连续的导数，则由函数 乘积的微分公式 d(uv) ＝ vdu ＋ udv 移项得 udv ＝ d(uv) － vdu 从而 ∫udv ＝ uv － ∫vdu 或 ∫udv ＝ uv － ∫vu′dx 这个公式叫作分部积分公式，当积分 ∫udv 不易 计算，而积分 ∫vdu 比较容易计算时，就可以使用这 个公式．

56 例 16. 求 解 : 令 则 ∴ 原式 在计算方法 熟练后， 分部积分法 的替换过程 可以省略

57 例 17 求不定积分 解：原式

58 例 18. 求 解 : 原式 移项整理可得

59 例 19. 求 解：原式

60 例 20. 求 解 : 原式 = 思考：如何求

61 例 21. 求 解 : 令 则 原式 令

62 总结 : 分部积分法主要解决被积函数是两类不同类型 的函数乘积形式的一类积分问题，例如这些形式： ∫P(x)e ax dx ∫P(x)ln m xdx ∫P(x)cosmxdx ∫P(x)sinmxdx ∫sin m xe ax dx …… 其中 m 为正整数， a 为常数， P （ x ）为多项式 正确选取 u(x) ， v(x) ，会使不定积分 ∫v(x)du(x) ＝ ∫v(x)u′(x)dx 变得更加简单易求。

63 3.2.3 * 有理函数积分简介 有理函数总可以写成两个多项式的比 其中 n 为正整数， m 为非负整数， a ０ ≠ ０， b ０ ≠ ０ ， 设分子与分母之间没有公因子，当 n ＞ m 时，叫做真 分式；当 m ≥ n 时，叫做假分式，假分式可以用除法 把它化为一个多项式与一个真分式之和．

64 多项式可以很容易地逐项积分，因此只需要 讨论真分式的积分，一般来讲，先将真分式化 成部分分式，部分分式的积分较容易，真分式 的积分就会计算了．

65 例 22 将 分解成部分分式 解：由于真分式 可设 右边通分，再与左边比较分子可得 从而 解得 故

66 例 23 将 分解成部分分式 右边通分，再与左边比较分子可得 从而 解：设

67 因此

68 例 24 求 解：由例 22 结果

69 例 25 求 解：由例 23 结果

70

71 从而

72 例 26 求 解：设 用待定系数法得：

73

74 从而

75 3.2.4 * 积分表的使用 一般的积分表都是按照被积函数的类型进行 分类的，所以求不定积分时，首先找出被积函 数所属的类型，然后在积分表中查出相应的公 式．有时，还需要经过适当的变换，把被积函 数化成积分表中所列出的形式，然后查． 积分表可看附录Ⅰ

76 解：被积函数含 a ＋ bx ，与附录Ⅰ公式２７ 相 同，其中 a ＝２， b ＝５，于是 例 27 求

77 解：被积函数含有 a ＋ bx ＋ x 2 与附录Ⅰ 公式 45 相同，其中 a ＝ 3 ， b ＝２， c ＝１， b 2 － 4ac ＝４－４ · ３ · １＝－８＜０，于是 例 28 求

78 说明：积分运算与微分运算还有一个很不相同 的地方，即任何一个初等函数的导数都可以根 据基本导数公式和微分运算法可求出来，并且 仍然是初等函数．但是，有许多初等函数却 “ 积 不出来 ” ，即这些函数的原函数存在，但这个原 函数不能用初等函数来表示，例如

79 课堂练习 课堂思考 积分计算困难吗？想知道有 什么数学软件可以算积分吗？ 上网查查看。

80 3.2 节 练习 令 则原式 再利用例 16 做做看

81 3.2 节 思考 : 怎么回事？ 所以 1=0