第七节函数的微分一、微分概念二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、小结.

第七节函数的微分一、微分概念二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、小结

一、微分（ differential ）的定义 1. 问题提出 (1) 在实际问题中, 我们常常考虑当时的变化情况?的变化情况? 例 1: 圆钢截面积, 测量直径 D 的误差为△ D, 由此计算截面积时引起的误差△ S?

解得 : 分析 :

再例如,

(2) 能否找到的一个近似表达式, 要求 : 简单误差小如上面两个例题 : 简单误差小

一般而言: 对函数在点处的增量, 考虑到函数的增量能否写成形式,这样的常数能否存在.一般而言: 对函数在点处的增量, 考虑到函数的增量能否写成形式,这样的常数能否存在.

2 、定义 ( 微分的实质 )

由定义知 :

? 下面要解决的问题就是 : 能否写成 : 什么条件下 A 存在, 值又是什么 ? 换言之 : 为的线性主部, 即

定理证 (1) 必要性 3. 可微与可导的关系

(2) 充分性

4. 问题的解决

例1例1 求函数在 x=1 和 x=3 处的微分。解：函数在 x=1 处的微分为函数在 x=3 处的微分为

例2例2 解

5. 自变量的微分

二、微分的几何意义 M N T ）几何意义 :( 如图 ) P

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1 、基本初等函数的微分公式

2 、函数和、差、积、商的微分法则

3 、复合函数的微分法则结论：微分形式的不变性

例3例3 解法 (1) 解法 (2)

例4例4 解法 (1) 解法 (2)

例5例5 解例6例6 解

例7例7 解在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.

四、小结微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★

导数与微分的区别 : ★

思考题

思考题解答说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.

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