1 6.7 曲 率 曲率的定义及计算公式 曲率圆与曲率半径 小结 思考题 (curvature) 第 6 章 微分中值定理与导数的应用 弧微分.

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1 1 6.7 曲 率 曲率的定义及计算公式 曲率圆与曲率半径 小结 思考题 (curvature) 第 6 章 微分中值定理与导数的应用 弧微分

2 一、弧微分 规定：  

3 单调增函数 如图，   弧微分公式

4 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 ) ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1. 曲率的定义 )

5 ) y xo （ 设曲线 C 是光滑的， （ 定义 6.4( 平均曲率 ) 曲线 C 在点 M 处的曲率 定义 6.5 ( 曲线在一点处的曲率 )

6 6 例 圆上各点处的曲率等于半径的倒数. 解 因此 设圆的半径为 R, 如图所示,

7 2. 曲率的计算公式 注意 : (1) 直线的曲率处处为零 ; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 且 半径越小曲率越大.

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9 例 解 显然,

10 三、曲率圆与曲率半径 定义

11 1. 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 注意 : 2. 曲线上一点处的曲率半径越大, 曲线在该点处 的曲率越小 ( 曲线越平坦 ); 曲率半径越小, 曲率 越大 ( 曲线越弯曲 ). 3. 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧 ( 称为曲线在该点附近的二次近似 ).

12 例 解 如图, 受力分析 视飞行员在点 o 作匀速圆周运动, O 点处抛物线轨道的曲率半径

13 得曲率为 曲率半径为 即 : 飞行员对座椅的压力为 641.5 千克力.

14 14 考研数学 ( 二 ), 选择题, 4 分 则函数 f (x) 在区间 (1,2) 内 (A) 有极值点, 无零点. (B) 无极值点, 有零点. (C) 有极值点, 有零点. (D) 无极值点, 无零点. 解 f (x) 是凸函数, 即 且 f (x) 在点 (1,1) 处的曲率为 而 无极值点. 即

15 15 考研数学 ( 二 ), 选择题, 4 分 则函数 f (x) 在区间 (1,2) 内 (A) 有极值点, 无零点.(B) 无极值点, 有零点. (C) 有极值点, 有零点. (D) 无极值点, 无零点. 由拉格朗日中值定理得 由零点定理得 f (x) 在区间 (1,2) 内有零点.

16 四、小结 运用微分学的理论, 研究曲线和曲面的性 质的数学分支 —— 微分几何学. 基本概念 : 弧微分, 曲率, 曲率圆. 曲线弯曲程度的描述 —— 曲率 ; 曲线弧的近似代替曲率圆 ( 弧 ).

17 17 思考题 的曲率最小？ t 为何值时, 曲线 求出最小曲率, 写出该点的曲率半径. 解 要使 K(t) 最小, 等价于 最大, 故当 即 曲率最小, 且

18 作业 习题 6-7 (239 页 ) 2.(3) (4) 4. 13.

19 练 习 题练 习 题

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21 练习题答案