第五章 导数和微分 §1 导数的概念 一、问题的提出 1. 自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得.

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2 第五章 导数和微分

3 §1 导数的概念

4 一、问题的提出 1. 自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得

5 2. 切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置 播放

6 如图, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线. 极限位置即

7 二、导数的定义 定义

8 其它形式 即

9 ★ ★ 关于导数的说明：

10 注意 : ★

11 播放 2. 导函数 ( 瞬时变化率 ) 是函数平均变化率的逼近 函数.

12 ★ 2. 右导数 : 单侧导数 1. 左导数 : ★

13 ★ ★

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15 三、由定义求导数 步骤 : 例1例1 解

16 例2例2 解

17 例3例3 解 更一般地 例如,

18 例4例4 解

19 例5例5 解

20 例6例6 解

21 四、导数的几何意义与物理意义 1. 几何意义 切线方程为 法线方程为

22 例7例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为

23 2. 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动 : 路程对时间的导数为物体的瞬 时速度. 交流电路 : 电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体 : 质量对长度 ( 面积, 体积 ) 的导数 为物体的线 ( 面, 体 ) 密度.

24 五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证

25 连续函数不存在导数举例 0 例如, 注意 : 该定理的逆定理不成立. ★

26 0 1 例如,

27 0 1 1/π － 1/π

28

29 例8例8 解

30 六、小结 1. 导数的实质 : 增量比的极限 ; 3. 导数的几何意义 : 切线的斜率 ; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 ; 5. 求导数最基本的方法 : 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 连续 直接用定义 ; 看左右导数是否存在且相等.

31 思考题

32 思考题解答

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35

36

37 练习题答案

38 §3 隐函数与参变量函数的导数

39 一、隐函数的导数 定义 : 隐函数的显化 问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导 ? 隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

40 例1例1 解 解得

41 例2例2 解 所求切线方程为 显然通过原点.

42 例3例3 解

43 二、对数求导法 观察函数 方法 : 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -------- 对数求导法 适用范围 :

44 例4例4 解 等式两边取对数得

45 例5例5 解 等式两边取对数得

46 一般地

47 三、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ?

48 由复合函数及反函数的求导法则得

49

50 例6例6 解

51 所求切线方程为

52 例7例7 解

53

54 例8例8 解

55 四、相关变化率 相关变化率问题 : 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 ?

56 例9例9 解 仰角增加率

57 例 10 解 水面上升之速率 4000m

58 五、小结 隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 ; 对数求导法 : 对方程两边取对数, 按隐函数的求导 法则求导 ; 参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 ; 相关变化率 : 通过函数关系确定两个相互依赖的变 化率 ; 解法 : 通过建立两者之间的关系, 用链式求 导法求解.

59 思考题

60 思考题解答 不对．

61 练 习 题

62

63

64

65 练习题答案

66

67 §5 微 分

68 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

69 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?

70 二、微分的定义 定义 ( 微分的实质 )

71 由定义知 :

72 三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性

73 (2) 充分性

74 例1例1 解

75 四、微分的几何意义 M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P

76 五、微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式

77 2. 函数和、差、积、商的微分法则

78 例2例2 解 例3例3 解

79 六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性

80 例4例4 解 例3例3 解

81 例5例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.

82 七、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★

83 导数与微分的区别 : ★

84 思考题

85 思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.

86 练 习 题

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88 练习题答案

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