§3.1 导数引例 一、瞬时速度问题 一物体作直线变速运动，走过的距离 S 与时间 t 的关 系为 极限 存在， 该极限就是物体在.

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2 §3.1 导数引例 一、瞬时速度问题 一物体作直线变速运动，走过的距离 S 与时间 t 的关 系为 极限 存在， 该极限就是物体在

3 二、切线问题 求曲线 f(x) 上点 M 处的切线斜率。 过 M 点作割线 MN ， 当N当N 沿曲线 M 时， 极限位置的割线就是切线

4 上述两例共同点：

5 §3.2 导数的定义 一、定义

6 或 即

7 要点： 也可用其他符号表 示

8 导（函）数

9 2. 右导数 : 1. 左导数 : 二、单侧导数

10

11 三、用定义求导数 步骤 : 例2、例2、 解：

12 例3、例3、

13 更一般地 例如,

14 例5、例5、 解：

15 例6、例6、

16 四、导数的几何意义 切线方程为 法线方程为

17 解： 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为

18 五、可导与连续的关系 定理 可导函数必定连续。 证:证: 由例 6 可知，连续函数不一定可导！ 注意：

19 连续函数不可导点举例 显然函数在锐点不可导！ 0 2

20 0 无穷导数点也是不可导点！

21 0 1 1/π － 1/π 注意：不要错误地以为分段函数 在分段点都不可导。 极限是震荡型不存在，

22 例8、例8、 解：

23 六、小结 1. 导数的实质 : 增量比的极限 ; 3. 导数的几何意义 : 切线的斜率 ; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 ; 5. 用定义求导数三步骤： 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导。 连续 直接用定义 ; 看左右导数是否存在且相等。

24 一、填空题 练 习 题 三（ 1 ） 4 、曲线在点（ 0,1 ）处的切线方程。

25 二、若 f ( x ) 是偶函数且在 x=0 点可导，证明 答案答案

26 §3.3 导数基本公式与法则 一、和、差、积、商的求导法则 定理 逐项求导依据 注意：

27 只证 (2) ：

28 推论：

29 例1、例1、 解： 例2、例2、

30 例3、例3、 同理可得

31 例4、例4、 解： 分段函数求导 数, 分界点要用 左右导数讨论！

32 思考题 1 求曲线 上与 x 轴平行的切线方程。 解答

33 练 习 题 三（ 2 ）

34 二、计算下列各函数的导数： 答案答案

35 二、复合函数求导法则 因变量对自变量求导, 先求因变量对中间变量的导数, 再 乘以中间变量对自变量的导数。 ( 链式法则 ) 定理：

36 证：

37 推广 例5、例5、 解：

38 例6、例6、 例7、例7、

39 例8、例8、

40 三、反函数的导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 定理：

41 证：

42 例9、例9、 解： 同理可得

43 例 10 、 解:解: 特别地

44 四、隐函数 F(x,y)=0 求导数 解： 将 y 看成中间变量，用复合函数求导法则对方程两边逐 项求导后，解出

45 五、对数求导法 运算级别, 再用隐函数的求导方法求出导数。 取对数能降低 例 12 、 解： 两边取对数

46 一般地则有 例 13 、 解：

47 六、小结 3 、反函数的求导法则（ 注意成立条件 ） ; 2 、复合函数的求导法则 （ 合理分解复合过程, 逐层剥笋 ） 1 、求导数的四则运算法则（ 注意积商的导数 ） ; 4 、隐函数求导（将因变量看成中间变量 ); 6 、所有基本初等函数的导数（导数公式）： 5 、取对数求导法（利用取对数降低函数的运算级别）；

48 导数公式

49 思考题 2 解答 2 、幂函数在其定义域内（ ）。 (1) 一定可导； （ 2 ）一定不可导； （ 3 ）不一定可导。

50 练 习 题 三（ 3 ） 一、填空：

51 解答 二、求下列函数的导数

52 练习题三（ 1 ）答案 一、填空 二、（略）

53 思考题 1 解答 切点有两个 曲线与 x 轴平行的切线方程为和 解：与 x 轴平行的切线斜率为零

54 思考题 2 解答： 1 、选择（ 3 ） 如 在 u = 0 处不可导， 1）1）在 x = 0 处可导，但是 2）2） 在 x = 0 处不可导； 在 x = 0 处可导，而且 在 x = 0 处也可导

55 2 、选择（ 3 ） 如 在 x = 0 处不可导， 在定义域内处处可导，

56 练习题三（ 2 ）答案

57 练习题三（ 3 ）答案

58

59 §3.4 高阶导数 问题 : 变速直线运动的加速度 定义 记作 一、概念

60 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。 二阶导数的导数称为三阶导数,

61 二、 计算方法 例1、例1、 解： 1. 直接法 : 逐阶求出高阶导数。

62 例2、例2、 解:解:

63 例3、例3、 小结 : 逐阶求出高阶导数, 分析高阶导数系数的规律性, 写 出 n 阶导数。

64 例4、例4、 解： 同理可得

65 ２、间接法 : 常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式, 通过导数运算法则 变量代换等方法, 求出 n 阶导数。

66 例５、 解：

67 例６、 解： 恒等变形降次

68 三、小结 1 、高阶导数的定义 ; 2 、高阶导数的计算： （ 1 ）直接法 ; （ 2 ）间接法. 思考题 解答

69 练 习 题 三（ 4 ） 一、填空

70

71 解答

72 §3.5 微分 实例 : 正方形面积 S 的改变量 ΔS 的近似计算 1 、近似计算的需要 （1）是（1）是（2）是（2）是 （ 2 ）可忽略， 一、微分的定义

73 问题 : 是否所有函数的改变量都有这个线性主部 ? 如何得到 ? 容易计算的近似值 2 、定义

74 要点 :

75 3 、可微的条件 定理 证:证: (1) 必要性 (2) 充分性

76 于是 y = f(x) 的微分 例1、例1、 解： 例2、例2、

77 二、微分的几何意义 M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P

78 三、微分法则 1 、微分公式（基本初等函数的微分）

79 2. 微分法则 例3、例3、 解：

80 四、一阶微分形式不变 结论： 一阶微分形式不变

81 例5、例5、 解:解: 例4、例4、 解:解:

82 例6、例6、 解： 在括号中填入适当的函数, 使等式成立

83 五、近似计算

84 例 7 、计算下列各式的近似值 解：（ 1 ）

85 证：

86 六、小结 1 、微分学解决两类问题 : 函数的变化率问题 函数改变量的近似计算问题微分 导数 2 、导数与微分的联系 :

87 3 、导数与微分的区别 : 4 、微分的计算和用于近似计算

88 练 习 题 三（ 5 ） 一、填空

89 解答

90 思考题解答 用定义计算

91 练习题三（ 4 ）答案

92

93 练习题三（ 5 ）答案 四、（略）

94 §5.4 换元积分法 则根据一阶微分形式不变性，有

95 设 即 如果可微，则有 一、第一换元法 第一换元公式 使用此公式的关键在于将 化为

96 例 1 、 求 解：

97 第一换元公式可直接表示为 成功的关键是利用凑出微分 第一换元公式也称为凑微分法

98 例2、 求例2、 求 解：（一） （二） 一般地

99 例3、 求例3、 求 解： 一般地

100 例 4 、求 解：

101 例5、求例5、求

102 例6、求例6、求

103 例7、 求例7、 求

104 例 8 、求 解：

105 例 9 、求 解：

106 例 10 、 求 解：原式

107 例 11 、求 解：

108 例 12 、求 解： 当被积函数是奇次的弦函数相乘时，先凑微分 一般地

109 例 13 、 求 解： 当被积函数是偶次的弦函数相乘时，先恒等变形降次 一般地

110 例 14 、 求 解： ( 一 ) （恒等变形，使分母为偶次乘积，再凑微分）

111 解 : （二） 类似地可推出

112 解 : （一） 例 15 、设 求 解 : ( 二 )

113 例 16 、求 解：

114 则有第二换元公式 二、第二换元法

115 例 17 、求 解： 一般地

116 例 18 、 求 解： 令 一般地 n 为各根指数的最小公倍数

117 例 19 、 求 解： 令

118 例 20 、 求 解：令

119 例 21 、求 解： 令

120 去除二次式的二次根号，借助的是三角代换，一般地： 令令 令 例 22 、求 解：令 但去除二次根式并非 一定要用三角代换。

121 例 23 、求 解：令 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 由例 22

122 例 24 、 求 解：： 令

123 补充积分公式补充积分公式

124

125 三、小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）根式代换、三角代换、倒代换 补充积分公式

126 思考题 求积分 答案答案

127 练 习 题 五（ 2 ） 一、填空题 1 、若则 2 、求时，可作 x = _________ 变换； 3 、求 时，可作 x = _________ 变换；

128

129 答案答案

130 思考题解答

131 练习题五（ 2 ）答案

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133 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数微 分微 分 高阶导数 一、主要内容

134 1 、导数的概念 2 、单侧导数 1、1、

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136 2 、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式）

137 3 、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则

138 (3) 复合函数的求导法则 (4) 对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 适用范围 :

139 (5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. (6) 参变量函数的求导法则

140 4 、高阶导数 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, ( 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 )

141 5 、 微分的定义 定义 ( 微分的实质 )

142 6 、导数与微分的关系 定理 7 、 微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.

143 基本初等函数的微分公式

144 函数和、差、积、商的微分法则 8 、 微分的基本法则 微分形式的不变性

145 二、典型例题 例1例1 解

146 例3例3 解 分析 : 不能用公式求导.

147 例4例4 解 两边取对数

148 例2例2 解

149 例5例5 解 先去掉绝对值

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151 例6例6 解

152 例7例7 解

153 测 验 题测 验 题

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160 测验题答案

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