高等数学教学课件 分部积分法 湄洲湾职业技术学院 傅仙发. 换元积分法是一种重要的积分法，可以求许多函数 的积分。但还有一些积分无法计算，如 等，像以上这样的积分都不能利用基本积分表和换元积 分法计算。本节将从函数乘积的微分公式出发，导出另 一种基本积分法 —— 分部积分法 。 回忆：函数乘积的微分运算法则？

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1 高等数学教学课件 分部积分法 湄洲湾职业技术学院 傅仙发

2 换元积分法是一种重要的积分法，可以求许多函数 的积分。但还有一些积分无法计算，如 等，像以上这样的积分都不能利用基本积分表和换元积 分法计算。本节将从函数乘积的微分公式出发，导出另 一种基本积分法 —— 分部积分法 。 回忆：函数乘积的微分运算法则？ 设函数， 具有连续导数。则

3 移项 积分 即 或 上式称为不定积分的分部积分公式。这一公式说明，若计算积分 较困难，而积分 易于计算，则可以使用分部积分法 计算。应用分部积分公式求积分的方法称为分部积分法。

4 为方便记忆和应用，可将分部积分公式列表： 积分 （＋） （－） 微分 分部积分列表法的算法：左列函数依次求微分，右 列函数依次求积分，横向函数相乘再积分，斜向函数相 乘不积分，符号选择依次取正负。 正负交错，左微右积，斜向相乘，横向积分。

5 例1例1 求 解 设 ， 则，。 ， 所以

6 例2例2 求 两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。 若取 ， ， 则 ， 显然， 选择不当，积分更难进行。 解 改取 ， 则 ， ，

7 应用分部积分法求积分时，一般需要将被积函数的 一部分 “ 凑微分 ” ，并当作 ，剩余部分当作函数 ，因 此分部积分法的关键在于适当地选取 和 。 和 的选取应注意： 易于由 直接求得，而 比 更易于计算。当分部积分法熟练后，可不必明确地设出 和 ，而直接应用公式。 分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。

8 例3例3 求 解

9 例4例4 求 解

10 有时，在一些较复杂的积分问题中，有可能需要多次 应用分部积分法，这时使用分部积分列表法更方便。 例5例5 求 解

11 若用分部积分列表法，可直接写出结果： （－） （＋） （－）

12 例6例6 求 解 有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解 此方程求出积分。 注意循 环形式

13 例7例7 求 解

14 应用分部积分法的常见积分形式及 和 的选取方 法： ⑴ ， ， ， 一般可设 ，被积表达式的其余部分设为 。 ⑵ ， ， ， 一般可设 ，被积表达式的其余部分设为 。 上述情况 换为多项式时仍然成立，常数也视为幂 函数。 ⑶ ， ，既可设 ，也可 设 。但一经选定，再次分部积分时，必须仍按 原来的选择。

15 例8例8 求 解 先用换元积分法。令 ，则 ， 。 所以 （再用分部积分法） 可见，有的积分问题需要同时用到换元积分法和分部积分法。

16 不定积分的方法较多，思路也比较开阔，各种解法都有自己的 特点，学习中要注意不断积累经验。 应该注意：虽然初等函数在其定义区间内一定存在原函数族， 但有些原函数族不是初等函数，无法用解析式表达。即初等函数在 其定义区间内一定可积，但有些初等函数的积分却无法表达。 如 ， ， 等。 换元积分法、分部积分法只能解决一些简单的不定积分。在实际 应用中，如果遇到较复杂的不定积分，需要借助积分表查出积分结 果，或借助数学软件在计算机上求出积分结果。但初学者还应要求 掌握积分方法，并能利用不同的积分方法求简单的不定积分。

17 回去回顾分部积分法，并做完 课后作业加以巩固