663 Chapter 14 Integral Transform Method Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform  kernel Laplace transform is one of the integral transform 本章討論的 integral.

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1 663 Chapter 14 Integral Transform Method Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform  kernel Laplace transform is one of the integral transform 本章討論的 integral transform: Fourier transform

2 664 Fourier Transform: (1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成  j  Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合 換成 (2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形 並且將 叮嚀： Chapter 14 的公式定義眾多，且非常相近，要注意彼此之間 的差異以及適用情形，以免混淆

3 665 Section 14.3 Fourier Integral 14.3.1 綱要 (1) Fourier integral: ( 和 Fourier series 的定義比較 )

4 666 (2) complex form 或 exponential form of Fourier integral 比較： Fourier integral 原本的定義

5 667 (3) Fourier cosine integral 或 cosine integral (4) Fourier sine integral 或 sine integral 適用情形： (1) odd 或 (2) interval: [0,  ) (5) Others 名詞： absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683) 特殊公式： 適用情形： (1) even 或 (2) interval: [0,  )

6 668 14.3.2 From Fourier Series to Fourier Integral 複習： Section 11-2 的 Fourier series:

7 669 令 When p ,  0 ( 即 週期  )

8 670 When p ,  0 ( 積分的定理 ) 0   2   3   4  

9 671 14.3.3 Fourier Integral Fourier integral 存在的 sufficient condition: converges 若這個條件滿足， f(x) 為 absolutely integrable Fourier Integral:

10 672 嚴格來說，當 f 1 (x) 和 f(x) 未必相等 但一般還是寫成

11 673 Theorem 14.3.1 Condition for convergence When (1) f(x) 為 piecewise continuous (2) f (x) 為 piecewise continuous (3) f(x) 為 absolutely integrable The Fourier integral of f(x) ( 即上一頁的 f 1 (x)) converges to f(x) at a point of continuity. At the point of discontinuity, f 1 (x) converges to

12 674 Example 1 (text page 521) Find the Fourier integral representation of f(x)

13 675 Example 1 的解的另一種表示法 ( 別忘了複習三角函數的公式 )

14 676 14.3.4 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的 算法 由 Example 1 When x = 1, since f(x) = 1

15 677 補充： sinc function 的定義： 常用在 sampling theory, filter design, 及通訊上

16 678 14.3.5 Fourier Cosine and Sine Integrals (A) Fourier cosine integral 或 cosine integral 類比於 cosine series 適用情形 : (1) f(x) is even, f(x) = f(−x) (2) 只知道 f(x) 當 x > 0 的時候的值 ( 類似於 Section 11.3 的 half-range expansion, 而且假設 f(x) = f(−x) ) 注意：有三個地方和 Fourier integral 不同 (1) (2) (3)

17 679 (B) Fourier sine integral 或 sine integral 類比於 sine series 適用情形 : (1) f(x) is odd, f(x) = −f(−x) (2) 只知道 f(x) 當 x > 0 的時候的值 ( 類比於 Section 11.3 的 half-range expansion, 而且假設 f(x) = −f(−x) )

18 680 Example 3 (text page 523) (a) by a cosine integral (b) by a sine integral Suppose that (a) Represent Solution: ( 其實，有一個取巧的快速算法，用 Laplace transform)

19 681 cosine integral: (b)

20 682 Fig. 14.3.4 (a) (b)

21 683 14.3.6 Partial Integral partial integral for Fourier integral partial integral for cosine integral partial integral for sine integral ( 用 b 取代  )

22 684 For Example 3 Fig. 14.3.5 (b = 5) (b = 20) (a) F 5 (x)(b) F 20 (x)

23 685 14.3.7 Complex Form complex form or exponential form of Fourier integral remember:

24 686 Proof: 由講義 page 671 Fourier integral 的定義 注意：對  而言是 even function

25 687 From ( 因為 對  而言是 odd function)

26 688 14.3.8 Section 14.3 需要注意的地方 (1) 公式積分的外面，要乘 或 (Fourier integral) (Complex form of Fourier integral) 或 (cosine integral, sine integral) (2) 一些積分的計算會常常用到 算法： 算法：假設解為 或者用 Laplace transform 的公式, s = 1

27 689 Section 14.4 Fourier Transforms 14.4.1 綱要 Fourier transform ，其實就是 complex form of Fourier integral 本節著重於 (1) 定義 (2) 性質 (3) Solving the boundary value problem (pages 703-713) 公式： 學習方式：多和 Laplace transform 比較 有一點複雜，且常考，要勤於練習 代表 Fourier transform

28 690 (1) Fourier transform (2) inverse Fourier transform (3) Fourier sine transform (4) inverse Fourier sine transform (5) Fourier cosine transform (6) inverse Fourier cosine transform (A) 六大定義 注意：除了 e j  x 變成 cos(  x) 以外 還有三個地方和 Fourier transform 不同

29 691 (B) 微分性質 (7) for Fourier transform (9) for Fourier sine transform (8) (10) (11) for Fourier cosine transform (12) 不同

30 692 (13) 可考慮用 Fourier transform 的情形 (C) Problems with boundary conditions ( 多練習 ) (14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形 when x = 0 (15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形 (D) 名詞 transform pair (page 693) heat equation (page 705) 另外，要熟悉 page 704 的計算流程

31 693 14.4.2 Transform Pair 則 A 和 B 形成一個 transform pair 若 甲 A 乙乙甲 B Transform pair 的定義：

32 694 Fourier transform pair 和之前 complex form of Fourier integral 相比較 只不過把 C(  ) 換成 F(  ) 為何要取兩個名字 ??? 14.4.3 Fourier Transform Fourier transform 存在的條件 (1)(absolutely integrable) (2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

33 695  Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係： 把 s 換成 −j  Laplace:

34 696 Fourier sine transform pair Fourier cosine transform pair Fourier sine / cosine transform 存在的條件 (1) (absolutely integrable) (2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous 14.4.4 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

35 697 Fourier sine / cosine transform 的意義： 等於 0 for Fourier cosine transform (1) 當 f(x) 為 even Fourier transform Fourier cosine transform

36 698 由於對 Fourier cosine transform 而言 (even function ) (2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform ( 由前頁 ) 等於 0

37 699 Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形。當 f(x) 為 even ， Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 odd 的情形。當 f(x) 為 odd ，  然而，若 f(x) 只有在 x  [0,  ) 之間有定義，也可以用 Fourier cosine / sine transform ( 類似於 Section 11.3 的 half-range expansion)

38 700 14.4.5 微分性質 微分性質做了一些假設： f(x) = 0 when x   and x   比較：對 Laplace transform 對 Fourier transform s  −j , without initial conditions 以此類推 (1) Fourier transform 的微分性質

39 701 注意： (1) Fourier sine, cosine transforms 互換 (2)  正負號不同 (3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition (2) Fourier sine transform 的微分性質 (3) Fourier cosine transform 的微分性質

40 702

41 703 14.4.6 Solving the Boundary Value Problem (BVP) (Condition 1) interval 為  < v <  時 : 用 Fourier transform (Condition 2) interval 為 0 < v <  ， 有 “u(v, …..) = 0 or a constant when v = 0” 的 boundary condition 時 : 用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 < v <  ， 有 “ or a constant when v = 0” 的 boundary condition 時 : 用 Fourier cosine transform ※ 概念複雜，要特別加強練習

42 704 使用 Fourier transform, Fourier cosine transform, Fourier sine transform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或 IVP 的解法流程 (Step 1) 以 page 703 的規則，來決定要針對 哪一個 independent variable ，做什麼 transform (Fourier, Fourier cosine, 或 Fourier sine transform) (Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform, 則原本的 PDE 變成 針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE) (Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來 (Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants ，可以對 initial conditions ( 或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出 ( ※ 和 Step 1 所做的 transform 一樣，只是 transform 的對象變成 是 initial 或 boundary conditions ，見 pages 705, 708 的例子 ) (Step 5) 最後，別忘了做 inverse transform ( 畫龍點睛）

43 705 heat equation: Example 1 (text page 528) subject to where Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform Step 2 原本對 x, t 兩個變數做偏微分 經過 Fourier transform 之後， 只剩下對 t 做偏微分

44 706 對於 t 而言，是 1 st order ODE 這邊的 c 值，對 t 而言是 constant ， 但是可能會 dependent on  ( 特別注意 ) 根據 u(x, 0) = f(x) 將 c 解出 Step 3 Step 4 和 Step 1 一樣，也是針對 x 做 Fourier transform 只是對象改成 initial condition 因為

45 707 比較係數 未完待續，別忘了最後要做 inverse Fourier transform 不易化簡，課本僅依據 對  而言是 even function 將 u(x, t) 化簡為 Step 5 解出

46 708 Example 2Laplace’s equation Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform Step 2 對於 x 的 2 nd order ODE from

47 709 Step 3 注意：雖然也可將解表示成 但是表示成 較容易處理 boundary value condition

48 710 Step 4 由 來解 c 1, c 2 分別代入 和 Step 1 一樣，也是針對 y 做 Fourier cosine transform 只是對象改成 boundary conditions ( 可以用 Laplace transform 的「取巧法」 ) (1) (2) (1) (2)

49 711 Step 5 inverse cosine transform ( 算到這裡即可，難以繼續化簡 )

50 712 14.4.7 Section 14.4 需要注意的地方 (1) 微分公式當中， Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會 有互換的情形。 (See pages 701, 702) (2) 公式會有很多小地方會背錯 ( 特別注意綱要的公式中紅色的地方 ) (3) 在解 boundary value problem 時，要了解 何時用 Fourier transform ， 何時用 Fourier cosine transform, 何時用 Fourier sine transform (see page 703) (4) 解 boundary value problem 流程雖複雜，但只要記住， 方法的精神，在於： 運用 transform ， 將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE ， 變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

51 713 (5) 在解 partial differential equation 時，往往只針對一個 independent variable 做 Fourier transform, 另一個 independent variable 不受影響，如 Examples 1 and 2, pages 705 and 708 的例子 計算過程中，自己要清楚是對哪一個 independent variable 做 Fourier transform ※ 本人習慣用下標做記號 ( 建議同學們使用 ) (6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做 同一種 transform ，只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706, 710) (7) 注意 page 709, 有時我們會用 來取代 ，以方便計算

52 714 附錄八：其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義 在其他書上，常常把 Fourier transform 的定義寫成 考試時還是用課本上的定義 ( 見 page 694) 或者

53 715 祝同學們期末考順利！ 期末考 (1) 由於內容眾多，各位對於所學的東西，一定要有系統化 的整理與比較。 (2) 公式、定理、名詞、解法甚多，若要背公式就早一點背 公式 (3) 保持最佳狀態，腦筋多轉彎

54 716 Exercise for Practice Section 14-3 2, 3, 7, 10, 14, 15, 17, 19, 20 Section 14-4 1, 2, 3, 9, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 26 Review 14 2, 7, 8, 11, 15, 16