第二部分 运算 —— 代数 第四章 字母与代数式 首都师范大学 王尚志. 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 字母替代数的作用 符号的分类与作用 多项式运算：代数和与合并同类项 乘积、公式、二项式定理 除、余数定理 —— 整除、方程、因式分解 如何确定 n 次多项式 —— 待定系数与 Lagrange.

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1 第二部分 运算 —— 代数 第四章 字母与代数式 首都师范大学 王尚志

2 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 字母替代数的作用 符号的分类与作用 多项式运算：代数和与合并同类项 乘积、公式、二项式定理 除、余数定理 —— 整除、方程、因式分解 如何确定 n 次多项式 —— 待定系数与 Lagrange 插值 齐次多项式 —— 韦达定理 代数基本定理 —— 方程理论

3 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 字母替代数的作用 把一类数学问题表示为一个数学问题 运用运算解决一类问题 —— 如何提高运算能力

4 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 符号的分类与作用 符号分类 表示一类对象： 自然数 ---N ，整数 ---Z ，有理数 ---Q ，实数 ---R ，复数 ---C ，等 集合符号：（ a ， b ） = { x ∈ R| a< x < b} ，等 表示一类关系： 运算关系、顺序关系、等量关系、不等关系、函数关系 例如， 公式、方程、不等式、函数、微分方程 特殊关系简化表示：求和、积分、极限等 表示一类结构： 代数结构 序结构 度量空间 拓扑空间 符号作用： 体现数学基本素养抽象概括、推理论证、数学建模、运算能力、几何直观、数据分析

5 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 多项式运算： 运算的第一步 代数和与合并同类项 单位再认识 去括号 等式性质 —— 移项 对初中数学：解方程第一步 —— 那个阶段解决合并同类项？

6 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 多项式乘法、公式、二项定理 —— 为什么说 “ 乘法对加法的分配律 ” 是中学数学最重要的法则？ —— 初中三个公式的推导：重视代数、几何？ —— 二项式定理与二项分布推导核心思路 —— 构造性证明 与中小学数学联系： 为什么初中数学学习的公式从七个到三个？

7 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 多项式整除、余数定理 —— 整除（二次三项式） ： 整除 、因式分解、方程根 —— 推广：余数定理 —— 待定系数（求解方程组）确定多项式函数 ——Lagrange 插值 —— 确定 n 次多项式函数 与中小学数学联系： 初、高中数学二次三项式的因式分解？ 小学、初、高中数学的探究规律？

8 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 对称多项式 —— 韦达定理 二次三项式的韦达定理及其证明 韦达定理推广 基本对称多项式与对称多项式 与中小学数学联系： 初、高中数学二次三项式的因式分解？

9 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 代数基本定理 在复数域，每一个 n 次复系数多项式函数有一个复数根。 推论：每一个奇次实系数多项式函数存在一个实数根。 推论：每一个实系数多项式函数都可以唯一分解为一次因子与二 次因子的乘积。

10 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 方程理论 一元一次方程 一元二次方程求根公式 一元三次方程求根公式 一元四次方程求根公式 阿贝尔定理：不存在五次及五次以上的方程求根公式。 伽洛瓦定理：五次及五次以上的方程存在求根公式的充要条件。

11 第四章 字母与代数式 字母与代数式的功能： 方程理论 一元一次方程 一元二次方程求根公式 一元三次方程求根公式 一元四次方程求根公式 与中小学数学联系： 四个二次问题（一元二次函数、方程、不等式、二次三项式）与配方 用函数认识四个二次问题

12 谢 谢！