8.1 不定积分的概念和基本积分公式  原函数和不定积分  基本积分公式表  不定积分的线性运算法则 第八章 不定积分.

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1 8.1 不定积分的概念和基本积分公式  原函数和不定积分  基本积分公式表  不定积分的线性运算法则 第八章 不定积分

2 例 定义 1 ： 一、原函数与不定积分的概念

3 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？

4 关于原函数的说明： （ 1 ）若 ，则对于任意常数 ， （ 2 ）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证

5 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则 其中 C 是任意常数，称为积分常数。 二、不定积分 定义 2 函数 f(x) 的所有原函数称为 f(x) 的不定积分，

6 不定积分的相关名称：  ——— 叫做积分号， f(x) —— 叫做被积函数， f(x)dx — 叫做被积表达式， x ——— 叫做积分变量。

7 例 1 ． 例 2 ． 例 3 ． 解：

8 O1 x y y=x 2 函数 f(x) 的原函数的图 形称为 f(x) 的积分曲线。 C1C1 y=x 2 +C 1 C2C2 y=x 2 +C 2 C3C3 y=x 2 +C 3 函数 f(x) 的积分曲线也 有无限多条。函数 f(x) 的不 定积分表示 f(x) 的一簇积分 曲线，而 f(x) 正是积分曲线 的斜率。 三、不定积分的几何意义

9 例 4 ．求过点 (1, 3) ，且其切线斜率为 2x 的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 y  f(x) ，则 y  f (x)  2x ， 即 f(x) 是 2x 的一个原函数。 因为所求曲线通过点 (1, 3) ， 故 3  1  C ， C  2 。 于是所求曲线方程为 yx22。yx22。 22 11 O12 x 22 11 1 2 y y  x 2 +2yx2yx2 (1, 3) ． 所以 y=f(x)  x 2  C 。

10 实例 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 四、 基本积分公式

11 基本积分表基本积分表 是常数 ); 说明： 简写为

12

13

14 例 求积分 解 根据积分公式（ 2 ）

15 例1．例1． 例2．例2． 例3．例3．

16 例4．例4．

17 例5．例5．

18 例6．例6． 例7．例7． 例8．例8． 例9．例9． 例 10 ．

19 例 11 ． 例 12 ．

20 解：因为总成本是总成本变化率 y 的原函数，所以 已知当 x  0 时， y  000 ， 例 13 ．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成 成本为 1000 元，求总成本与日产量的函数关系。 因此有 C =1000 ，

21 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 五 、 不定积分的性质

22 例 14 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.

23 解 所求曲线方程为

24 基本积分表 (1) 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 小结 作业： P181 ： 1,2,3,4,5(1) ~ (16).

25 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？