微積分精華版 Essential Calculus

微積分精華版 Essential Calculus
第 1 章極限及其性質

1.1 線性模型和變率 1.2 函數和函數圖形 1.3 反函數 1.4 指數和對數函數 1.5 以畫圖和數值方法求極限 1.6 以解析的方法處理極限 1.7 連續和單側極限 1.8 無窮極限

1.1 線性模型和變率直線的斜率非鉛直直線的斜率是指沿著這條直線從左向右行進時，每經過單位水平距離，該直線上升（或下降）的幅度。
1.1 線性模型和變率直線的斜率非鉛直直線的斜率是指沿著這條直線從左向右行進時，每經過單位水平距離，該直線上升（或下降）的幅度。考慮圖 1.1 中直線上的兩點（x1, y1）和（x2, y2），當我們沿著直線從左向右行進，對應於水平方向的變化。鉛直方向的變化是 p.1 第 1 章極限及其性質

圖 1.1 y = y2 – y1 = y 坐標的變化 x = x2 – x1 = x 坐標的變化 p.1 第 1 章極限及其性質

直線斜率的定義連接兩點（x1, y1）和（x2, y2）的非鉛直直線的斜率 m 是
當 x1 = x2 時，過（x1, y1）和（x2, y2）的直線是鉛直的，鉛直的直線不定義斜率。 p.1 第 1 章極限及其性質

圖 1.2 p.1 第 1 章極限及其性質

圖 1.2 (續) p.1 第 1 章極限及其性質

在一條非鉛直的直線上任取兩點，計算這兩點縱坐標的差和橫坐標的差的比值，可得此直線的斜率（圖 1.3）。
直線方程式在一條非鉛直的直線上任取兩點，計算這兩點縱坐標的差和橫坐標的差的比值，可得此直線的斜率（圖 1.3）。如果知道一條直線的斜率是 m，並且知道線上一點的坐標（x1, y1），則此直線上其他任何一點的坐標（x, y）必定滿足方程式此一涉及兩變數 x 和 y 的方程式可改寫為稱為該直線的點斜式（point-slope equation of a line）。 p.2 第 1 章極限及其性質

在非鉛直直線上任取兩點，利用 y 坐標的差和 x 坐標的差求比值，可以得到該直線的斜率。
圖 1.3 在非鉛直直線上任取兩點，利用 y 坐標的差和 x 坐標的差求比值，可以得到該直線的斜率。 p.2 第 1 章極限及其性質

例 1 求直線方程式求斜率為 3，過點（1, 2）的直線方程式。解 p.2 第 1 章極限及其性質

圖 1.4 斜率為 3，過點（1, 2）的直線。 p.2 第 1 章極限及其性質

比率和變率直線和斜率可以看成比率或變率。如果 x 軸和 y 軸代表相同單位的量，由於斜率是 Δy 和 Δx 的比率（ratio），因此不具單位。反之，如果 x 軸和 y 軸的單位不同，斜率就代表一種變率（rate of change）。 p.2 第 1 章極限及其性質

例 2 函數的連續性 a. 肯塔基州的人口在 1990 年和 2000 年分別是 3,687,000 人和 4,042,000 人，在這十年之間，人口的平均變率是如果在下一個 10 年，肯塔基州的人口以上述的變率持續成長，到了 2010 年，該州人口將達到 4,397,000 人（圖1.5）（資料來源：美國戶政部門）。 p.3 第 1 章極限及其性質

圖 1.5 1990 年和 2000 年肯塔基州的人口。 p.3 第 1 章極限及其性質

b. 滑水跳遠比賽中，有一個高 6 呎的坡道搭建在長 21 呎的浮橋上（圖 1.6），滑水坡道的斜率是指斜坡上升的高度和水平跑道長度的比值。
( ) 1呎 = 公尺 p.3 第 1 章極限及其性質

圖 1.6 滑水坡道的大小尺寸。 p.3 第 1 章極限及其性質

直線的斜截式 y = mx + b 代表與 y 軸的截距為（0, b）、斜率為 m 的直線，y = mx + b 稱為此直線的斜截式。
p.4 第 1 章極限及其性質

例 3 平面上直線的繪圖畫下列方程式代表的圖形 a. y = 2x + 1 b. y = 2 c. 3y + x – 6 = 0 解
例 3 平面上直線的繪圖畫下列方程式代表的圖形 a. y = 2x b. y = c. 3y + x – 6 = 0 解 a. 因為 b = 1，y 截距是（0, 1），又因為斜率 m 是 2，方程式代表的直線從左到右以水平方向每 1 單位、鉛直方向 2 單位的比率上升〔圖1.7(a)〕。 b. 因為 b = 2，y 截距是（0, 2），又因為斜率 m 是 0，方程式代表的直線是水平的〔圖 1.7(b)〕。 p.4 第 1 章極限及其性質

c. 先將方程式改寫為斜截式從斜截式中，可看出 y 截距是（0, 2），斜率 m 是 –1/3，方程式代表的直線從左到右以水平方向每 3 單位，鉛直方向 1 單位的比率下降〔圖 1.7(c)〕。 p.4 第 1 章極限及其性質

圖 1.7 (續) p.4 第 1 章極限及其性質

所有直線的方程式都可以寫成一般式（general form）
其中 A、B 不全為 0。以鉛直線 x = a 為例，一般式就是 x – a = 0。 p.4 第 1 章極限及其性質

直線方程式摘要 1. 一般式 Ax + By + C = 0 2. 鉛直線 x = a 3. 水平線 y = b
4. 點斜式 y – y1 = m(x – x1) 5. 斜截式 y = mx + b p.5 第 1 章極限及其性質

平行直線和垂直直線 1. 兩條非鉛直直線互相平行（parallel）的充要條件是斜率相等，亦即 m1 = m2。
2. 兩條非鉛直直線互相垂直（perpendicular）的充要條件是斜率互為負倒數，亦即 m1 = –1/m2。 p.5 第 1 章極限及其性質

例 4 求平行直線和垂直直線 a. 求過點（2, –1）並和直線 2x – 3y = 5 平行的直線的一般式。
例 4 求平行直線和垂直直線 a. 求過點（2, –1）並和直線 2x – 3y = 5 平行的直線的一般式。 b. 求過點（2, –1）並和直線 2x – 3y = 5 垂直的直線的一般式。解將 2x – 3y = 5 改寫成斜截式 y = 2/3 x – 5/3，方程式所定義的直線斜率是 2/3 。 a. 過點（2, –1）並且平行於直線 2x – 3y = 5 的直線斜率也是 2/3 ，所滿足的方程式為 p.5 第 1 章極限及其性質

b. 與斜率 2/3 的直線垂直的直線斜率 –3/2，同為直線，過點（2, –1），所以方程式為
注意上式與 2x – 3y = 5 只差一個常數。 b. 與斜率 2/3 的直線垂直的直線斜率 –3/2，同為直線，過點（2, –1），所以方程式為 p.5 第 1 章極限及其性質

圖 1.9 與 2x – 3y = 5 平行或垂直的直線。 p.5 第 1 章極限及其性質

1.2 函數和函數圖形函數和函數的記號函數是數學上常見的名詞，用以說明兩個量之間的關係。這兩個量，一個稱為自變量（數）（independent variable）通常以 x 表示，一個稱為應變量（數）（dependent variable）通常以 y 表示。 p.6 第 1 章極限及其性質

第一類：代數函數（包含多項式，根式函數，有理函數等）第二類：三角函數（包含正弦、餘弦、正切等函數）第三類：指數和對數函數
函數的分類早在 18 世紀末期，科學家和數學家就已經發現許多實際的現象可以用一組特定的函數來建立數學模型，這組函數稱為基本函數（elementary functions）。基本函數大體可以分成三類：第一類：代數函數（包含多項式，根式函數，有理函數等）第二類：三角函數（包含正弦、餘弦、正切等函數）第三類：指數和對數函數 p.7 第 1 章極限及其性質

多項式函數形如 f(x) = anxn + an – 1xn－ a2x2 + a1x + a0 的函數稱為多項式，記號 x 是多項式 f(x) 的變數，a0, a1, ... , an 是多項式 f(x) 的係數，其中 an 稱為領導係數（leading coefficient）或首項係數，a0 稱為常數項。多項式 f，f(x) = anxn + an – 1xn－ a2x2 + a1x + a0 的圖形在 x 軸的兩端升降的情形端視 f(x) 的次數（奇次或偶次）和領導係數 an 的正負而定（圖 1.10）。 p.7 第 1 章極限及其性質

圖 1.10 領導係數決定圖形在兩端的升降。 p.7 第 1 章極限及其性質

圖 (續) p.7 第 1 章極限及其性質

一個有理函數（rational function）是指兩個多項式函數的比值，有理函數也稱為有理式或分式，因此一個有理函數 f 的表示是
進行有限次的運算後所得到的函數統稱為代數函數（algebraic function）代數函數以外的函數，稱為超越函數（transcendental function）。 p.8 第 1 章極限及其性質

三角函數銳角的三角函數：三角函數的自變數是角度，假設 θ 是一個銳角〔圖 1.11(a)〕，我們將 θ 想成是直角三角形的一個角〔圖 1.11(b)〕圖 1.11 p.8 第 1 章極限及其性質

利用直角三角形三個邊長之間的比值，可以定出下列六個三角函數

圖 1.11(c) p.9 第 1 章極限及其性質

圖 1.11(d) p.9 第 1 章極限及其性質

圖 1.11(e) p.9 第 1 章極限及其性質

任意角的三角函數若令直角三角形中，角的斜邊，對邊，鄰邊之長分別為r，x，y；由於 r2 = x2 + y2，因此可以將上圖置於半徑為 r 的圓中，而將相關的三角函數以半徑和點（x, y）的坐標表達。 p.9 第 1 章極限及其性質

圖 1.12(a) p.10 第 1 章極限及其性質

由於三角函數的定義與直角三角形大小無關，不妨選擇半徑 r = 1 的圓（見圖 1.12(b)），此時，易見三角函數變成

圖 1.12(b) p.10 第 1 章極限及其性質

對任意角θ，不管θ的度數為何，都可以在單位圓（半徑為 1 的圓）上將θ標出（見圖 1
對任意角θ，不管θ的度數為何，都可以在單位圓（半徑為 1 的圓）上將θ標出（見圖 1.12(c)），其標定的方式是將θ扣掉或加上 360° 的適當倍數之後，表成 θ= n．360° +α， 0° ≤ α < 360° 然後再由 x 軸的正向逆時針旋轉α的角度以得θ，θ和α的關係稱為同位角。θ因此決定單位圓上一點（x, y），根據此點（x, y）的坐標，我們可以定義任意角的三角函數。 p.10 第 1 章極限及其性質

圖 1.12(c) p.10 第 1 章極限及其性質

角度的單位在微積分的討論中，採取另一個單位系統，稱為弧度量（或弳度量）。弧度量將直角定為π/2（π≈ 是圓周率），平角定為π，並將一周 360° 的弧度定為 2π。如此定義之下，在一個半徑為 r 的圓中，弧度量為θ的扇形，弧長 s 與θ的關係是 s = rθ ；換句話說，弧度量是弧長和半徑的比值，而在單位圓 r = 1 的情形，弧度量和弧長同義（圖 1.13）。 p.10 第 1 章極限及其性質

例 1 決定函數的定義域和值域 a. 函數　　　　的定義域是滿足 x – 1 ≥ 0 的所有 x 值，亦即 [1, ∞]。由於當 x – 1 ≥ 0 時，恆有，所以值域是 [0, ∞]，如圖 1.14(a) 所示。 b. 圖 1.14(b) 是正切函數的圖形，f (x) = tan x 的定義域是滿足不等式的所有 x 值。正切函數的值域是實數全體。 p.12 第 1 章極限及其性質

例 2 兩個方程式定義的函數決定函數的定義域和值域。解
例 2 兩個方程式定義的函數決定函數的定義域和值域。解　由於對 x < 1 和 x ≥ 1，f (x) 都有定義，因此定義域是實數全體。在 x ≥ 1 的這一部分，函數和例 1(a) 所定的一樣。而在 x < 1 時，函數值 1 – x 恆正，因此值域是 [0,∞]（圖1.15）。 p.12 第 1 章極限及其性質

圖 1.15 f 的定義域是 (–∞,∞)，值域是 [0,∞)。 p.12 第 1 章極限及其性質

函數 y = f (x) 的圖形是指在坐標平面上描出所有的點
函數的圖形函數 y = f (x) 的圖形是指在坐標平面上描出所有的點 (x, f (x))，其中 x 屬於函數 f 的定義域。在圖 1.16 中注意到 x = 到 y 軸的有向距離 f (x) = 到 x 軸的有向距離函數圖形和任何一條鉛直線最多相交一次，這個現象稱為鉛直線檢定。例如在圖 1.17(a) 中，由於有鉛直線和圖形交在兩點，所以圖形並非 x 的函數，而圖 1.17(b) 和 1.17(c) 的圖形均滿足鉛直線檢定，因此都是 x 的函數。 p.12 第 1 章極限及其性質

圖 1.16 函數的圖形。 p.13 第 1 章極限及其性質

圖 1.18 八個基本函數的圖形。 p.13 第 1 章極限及其性質

合成函數的定義如果函數 g 在 x 的值，g (x)，恰好落在函數 f 的定義域中，則 f 可以在 g (x) 取值，得到 f (g(x))，這樣得到的函數稱為 f 和 g 的合成函數，以 f。g 表示。f。g 的定義域是 g 的定義域中，使 f (g(x)) 有意義的 x 值。 p.13 第 1 章極限及其性質

圖 1.19 合成函數 f。g 的定義域。 p.13 第 1 章極限及其性質

例 3 求合成函數已知 f (x) = 2x – 3，g(x) = cos x，求 a. f。g b. g。f 解 p.14
例 3 求合成函數已知 f (x) = 2x – 3，g(x) = cos x，求 a. f。g b. g。f 解 p.14 第 1 章極限及其性質

偶函數和奇函數的檢定函數 y = f (x) 是偶函數的充要條件是 f (– x) = f (x)。

例 4 偶函數、奇函數和函數的根決定下列函數的奇、偶並求函數的根。
例 4 偶函數、奇函數和函數的根決定下列函數的奇、偶並求函數的根。 a. f (x) = x3 – x b. g(x) = 1 + cos x 解 a. 因為 f (– x) = (– x)3 – (– x) = – x3 + x = – (x3 – x) = – f (x) 所以 f (x) 是奇函數。解 f 的根如下 p.14 第 1 章極限及其性質

見圖1.20(a)。 b. 因為所以 g(x) 是偶函數。解 g 的根如下見圖 1.20(b)。 p.15 第 1 章極限及其性質

1.3 反函數反函數的定義如果函數 g 和函數 f 之間，對函數 g 的定義域中每一個 x 恆有 f (g(x)) = x
1.3 反函數反函數的定義如果函數 g 和函數 f 之間，對函數 g 的定義域中每一個 x 恆有 f (g(x)) = x 並且對函數 f 的定義域中的每一個 x 也恆有 g (f (x)) = x 我們就稱 g 是 f 的反函數（inverse function），以 f –1 表（英文讀作「f inverse」）。 p.16 第 1 章極限及其性質

圖 1.21 定義域 f = 值域 f –1 定義域 f –1 = 值域 p.16 第 1 章極限及其性質

例 1 驗證反函數求證 f (x) = 2x3 – 1 和互為反函數。解因為 f 和 g 的定義域和值域都是實數全體，因此它們的合成
例 1 驗證反函數求證 f (x) = 2x3 – 1 和互為反函數。解　因為 f 和 g 的定義域和值域都是實數全體，因此它們的合成函數到處都有定義，先作 g 再作 f 得到 p.17 第 1 章極限及其性質

因為 f (g(x)) = x 且 g( f(x)) = x，可知 f 和 g 確實互為反函數（圖 1.22）。

(a, b) 在函數 f 圖形上的充要條件是 (b, a) 在函數 f –1 的圖形上。
反函數的反身性質 (a, b) 在函數 f 圖形上的充要條件是 (b, a) 在函數 f –1 的圖形上。反函數的反身性質提供了一個利用函數圖形檢測有無反函數的方法，稱為反函數的水平線檢定（Horizontal Line Test）。反函數的存在一個函數具有反函數的充要條件是一對一。 p.18 第 1 章極限及其性質

圖 1.23 f –1 的圖形是 f 圖形對直線 y = x 的鏡射。 p.18 第 1 章極限及其性質

如果一條水平線和 f 的圖形有兩點相交，f 就不是一對一。
圖 1.24 如果一條水平線和 f 的圖形有兩點相交，f 就不是一對一。 p.18 第 1 章極限及其性質

例 2 反函數的存在下面哪個函數有反函數？ a. f (x) = x3 – 1 b. f (x) = x3 – x + 1 解
例 2 反函數的存在下面哪個函數有反函數？ a. f (x) = x3 – 1 b. f (x) = x3 – x + 1 解　 a. 從圖 1.25(a) 可看出 f 是一對一。進一步驗證如下，如果 f (x1) = f (x2)，則所以 f 是一對一，因此 f 具有反函數。 p.18 第 1 章極限及其性質

b. 從 1.25(b) 的圖形可以看出本函數無法通過水平線檢定，換句話說，它不是1 對1。例如，f 在 x = –1，0 和 1 有相同的值。
f (–1) = f (1) = f (0) = 1 非 1 對 1 因此，f 不可能有反函數。 p.18 第 1 章極限及其性質

求反函數的指導原則 1. 決定函數 y = f (x) 是否有反函數。如果有反函數的話
2. 從 y = f (x) 倒過來解 x，把 x 寫成 y 的函數。 x = g(y) = f –1(y)。 3. 將步驟 2 得到的 x = f –1(y) 中 x 與 y 的記號互換，而得到 y = f –1(x) 這個函數。 4. 將 f –1 的定義域定為 f 的值域。 5. 驗證 f (f –1(x)) = x 和 f –1(f (x)) = x。 p.19 第 1 章極限及其性質

例 3 求反函數求的反函數。解因為 f (x) 在整個定義域上都是遞增，所以 f (x) 有反函數
例 3 求反函數求的反函數。解　因為 f (x) 在整個定義域上都是遞增，所以 f (x) 有反函數（圖 1.26）。現在，令 y = f (x)，再以 y 來解出 x。 p.19 第 1 章極限及其性質

f 的值域 [0,∞) 就是 f –1 的定義域（ f 的定義域 [3/2,∞) 是f –1 的值域）。下面是對所求 f –1 的驗算。

圖 1.26 f –1 的定義域 [0,∞) 就是 f 的值域。 p.19 第 1 章極限及其性質

例 4 檢驗函數是不是一對一證明正弦函數 f (x) = sin x 在整個實數線上並非一對一，並說
例 4 檢驗函數是不是一對一證明正弦函數 f (x) = sin x 在整個實數線上並非一對一，並說明 f 在閉區間 [–π/2, π/2] 上是一對一。解　從很多不同的 x 值都可以得到相同的 y 值，例如 sin(0) = 0 = sin(π) 所以，f 很顯然不是一對一。進一步可以從圖 1.27，sin x 的圖形中看出函數在閉區間 [–π/2, π/2] 上是一對一的。 p.19 第 1 章極限及其性質

圖 1.27 f 在區間 [–π/2, π/2] 上一對一。 p.20 第 1 章極限及其性質

反三角函數的定義 p.20 第 1 章極限及其性質

例 5 計算反三角函數計算下列各題的值。解 a. 由定義，從可得 sin y = –1/2，在區間
例 5 計算反三角函數計算下列各題的值。解　 a. 由定義，從可得 sin y = –1/2，在區間 [–π/2,π/2] 中，y 的正確答案是 –π/6，因此 b. 由定義，從 y = arccos 0 可得 cos y = 0，在區間 [0,π] 中，y 的正確答案是 y =π/2，因此 p.21 第 1 章極限及其性質

(–π/2,π/2) 中，y 的正確答案是 y =π/3，因此
c. 由定義，從可得，在區間 (–π/2,π/2) 中，y 的正確答案是 y =π/3，因此 d. 以計算機求出 arcsin(0.3) ≈ p.21 第 1 章極限及其性質

反三角函數的性質 p.22 第 1 章極限及其性質

例 6 解方程式 p.22 第 1 章極限及其性質

例 7 利用直角三角形 a. 已知 y = arcsin x，0 ≤ y <π/2 ，求 cos y。 b. 已知，求 tan y。
例 7 利用直角三角形 a. 已知 y = arcsin x，0 ≤ y <π/2 ，求 cos y。 b. 已知，求 tan y。解　 a. 從 y = arcsin x，可知 sin y = x，所以以一個直角三角形表示 x 和 y 的關係，如圖 1.30 所示。（此結果亦適用於 –π/2 < y < 0）。 p.22 第 1 章極限及其性質

圖 1.30 y = arcsin x p.22 第 1 章極限及其性質

b. 以圖 1.31 中的直角三角形來看 p.22 第 1 章極限及其性質

1.4 指數和對數函數指數函數在一個指數函數（exponential function）的算式中，例如
1.4 指數和對數函數指數函數在一個指數函數（exponential function）的算式中，例如 f (x) = 2x，2 稱為底數，x 稱為指數，2x 代表 2 的 x 次方。當 x 是有理數時，2x 的意義很清楚，以 x = 0，2，–1 或 1/2 為例如果 x 是無理數，要定義 2x，必須利用一個逼近 x 的有理數數列。 p.24 第 1 章極限及其性質

指數律 p.24 第 1 章極限及其性質

例 1 運用指數律化簡下列各式 p.24 第 1 章極限及其性質

例 2 指數函數的圖形繪製下列函數的圖形。解畫圖時，先列出函數值表。根據表格，在坐標平面上描點，然後以平滑曲線連結。
例 2 指數函數的圖形繪製下列函數的圖形。解　畫圖時，先列出函數值表。根據表格，在坐標平面上描點，然後以平滑曲線連結。或者，也可以利用電腦繪圖（圖 1.32）。 p.25 第 1 章極限及其性質

指數函數的性質令 a 為大於 1 的實數 1. f (x) = ax 和 g(x) = a –x 的定義域都是 (–∞, ∞)。
3. f (x) = ax 和 g(x) = a –x 的 y 截距都是 (0, 1)。 4. 函數 f (x) = ax 和 g(x) = a –x 都是一對一。 p.25 第 1 章極限及其性質

例 3 自然指數函數的底數 e 繪製函數 f (x) = (1 + x)1/x 的圖形，並描述 x 靠近 0 時，函數的行為。
從表中可以看出，當 x 靠近 0 時，(1 + x)1/x 靠近 e。若要更精確的瞭解，嘗試以電腦繪圖，並放大靠近 x = 0 的區域如圖 1.34 所示，雖然 f (x) 在 x = 0 並無定義，但是只要 x 越來越接近 0，f (x) 的值就會越來越接近 e ≈ 。在 1.5 節學了極限以後，上述的結果可以寫成讀作，「當 x 趨近 0 時，(1 + x)1/x 的極限是 e」。 p.25 第 1 章極限及其性質

例 4 自然指數函數的圖形繪製函數 f (x) = ex 的圖形。解先列出 f (x) = ex 的函數值表，然後在坐標平面上描點。
例 4 自然指數函數的圖形繪製函數 f (x) = ex 的圖形。解　先列出 f (x) = ex 的函數值表，然後在坐標平面上描點。或者，也可以利用電腦繪圖，圖 1.35 顯示圖形在 –3 ≤ x ≤ 3 和 –1 ≤ y ≤ 3 的部分。 p.26 第 1 章極限及其性質

令 x 為正數，定 x 的自然對數函數 ln x 如下： ln x = b 若且唯若 eb = x
由於自然指數函數 f (x) = ex 是一對一，所以具有反函數， f (x) = ex 的反函數稱為自然對數函數（natural logarithmic function）。自然對數函數的定義域是所有的正數。自然對數函數的定義令 x 為正數，定 x 的自然對數函數 ln x 如下： ln x = b 若且唯若 eb = x p.26 第 1 章極限及其性質

自然對數函數的特質 1. g(x) = ln x 的定義域是 (0, ∞) 2. g(x) = ln x 的值域是 (–∞, ∞)
3. g(x) = ln x 的 x 截距是 (1, 0) 4. g(x) = ln x 是一對一 p.26 第 1 章極限及其性質

指數律將加法的運算 x + y 轉換成指數的乘法 exey = ex + y 對數是指數的反函數，因此所謂的對數律就是將乘法的運算
對數的性質指數律將加法的運算 x + y 轉換成指數的乘法 exey = ex + y 對數是指數的反函數，因此所謂的對數律就是將乘法的運算 xy 轉換成對數的加法 ln xy ln x ln y 令 x, y 為正數，z 為任意數，則 1. ln xy = ln x + ln y 2. ln x/y = ln x + ln y 3. ln xz = z ln x p.27 第 1 章極限及其性質

例 5 運用對數性質化簡下列各式 p.27 第 1 章極限及其性質

例 6 解指對數方程式解 a. 7 = e x b. ln(2x – 3) = 5 解 p.28 第 1 章極限及其性質

1.5 以畫圖和數值方法求極限介紹極限如果我們要畫 f (x) 的函數圖形
1.5 以畫圖和數值方法求極限介紹極限如果我們要畫 f (x) 的函數圖形只要 x ≠ 1，我們可以用一般的方式來畫，但是在 x = 1 的時候，情形不甚明朗（因為分母會是 0）。為了瞭解 f 在 x 靠近 1 時的行為，我們考慮兩組 x 值，一組從左邊趨近 1，一組從右邊趨近 1。當 x 從 c 的左、右方趨近 c 時， f (x) 可以與一個固定值 L 任意接近的話，我們就說當 x 趨近 c 時， f (x) 的極限（limit）是 L。 p.29 第 1 章極限及其性質

例 1 以數值方法估計極限在 x = 0 的附近選一些點來計算的函數值，再利用計算的結果來估計。
例 1 以數值方法估計極限在 x = 0 的附近選一些點來計算的函數值，再利用計算的結果來估計。解下表列出在 0 的附近一些 f (x) 的值從表列的結果，我們估計極限值應該是 2。圖 1.40 也支持這個結果。 p.30 第 1 章極限及其性質

圖 1.40 當 x 趨近 0 時，f (x) 的極限是 2。 p.30 第 1 章極限及其性質

例 2 求極限，求 x 趨近 2 時 f (x) 的極限。解因為除了 x = 2 以外，f (x) 永遠是 1，所以所求的極限是
例 2 求極限，求 x 趨近 2 時 f (x) 的極限。解因為除了 x = 2 以外，f (x) 永遠是 1，所以所求的極限是 1（圖 1.41）。因此雖然 f (2) 是 0，但是這件事和 x 趨近 2 時 f (x) 的極限是 1 無關，譬如：若 f (x) 的定義改成極限還是一樣，亦即。 p.30 第 1 章極限及其性質

例 3 從左、右兩邊趨近時，答案不一樣的情形求證不存在。
例 3 從左、右兩邊趨近時，答案不一樣的情形求證不存在。解畫 f (x) = 的函數圖形。圖 1.42 顯示，在 x > 0 時，，而在 x < 0 時。這表示，無論 x 多麼接近 0，總是會有正的 x 值或負的 x 值讓 f (x) 等於 1 或 –1。如果δ（希臘小寫字母，讀作 delta）是一個正數，則當 0 < |x| <δ時，的值會分成兩類。 p.31 第 1 章極限及其性質

因此，該極限無法存在。 p.31 第 1 章極限及其性質

圖 1.42 不存在。 p.31 第 1 章極限及其性質

例 4 沒有界限的情形討論。解令 f (x) = 1/x2，在圖 1.43 中，不論 x 從右邊或是從左邊
例 4 沒有界限的情形討論。解　令 f (x) = 1/x2，在圖 1.43 中，不論 x 從右邊或是從左邊趨近 0，f (x) 的值都會無限制的增大。這表示只要讓 x 與 0 靠得夠近， f (x) 要多大就有多大。比方說，只要 x 在 0 和 1/10 之間，f (x) 就會大於 100，亦即 p.31 第 1 章極限及其性質

因為當 x 趨近 0 時， f (x) 無法趨近一個固定的實數 L，因此該極限也不存在。

例 5 振盪行為討論是否存在？解圖 1.44 是 f (x) = sin 1/x 的函數圖形，可以看出當 x 趨近
例 5 振盪行為討論是否存在？解　圖 1.44 是 f (x) = sin 1/x 的函數圖形，可以看出當 x 趨近 0 時，f (x) 在 1 和 –1 之間振盪。無論正數δ取得多麼小，在 0 的左右δ範圍內都可以選到 x1 和 x2 使得 sin (1/x1) = 1， sin (1/x2) = –1，因此該極限無法存在，正如下表所示： p.32 第 1 章極限及其性質

極限不存在的幾個共通點 1. x 從 c 的左邊和右邊趨近 c 時， f (x) 趨近不同的值。
2. 當 x 趨近 c 時， f (x) 無限制的增加或減少。 3. 當 x 趨近 c 時， f (x) 在兩個定值之間振盪。 p.32 第 1 章極限及其性質

以電腦畫出但不能算是正確的 f (x) = sin(1/x)。
圖 1.45 以電腦畫出但不能算是正確的 f (x) = sin(1/x)。 p.32 第 1 章極限及其性質

圖 1.46 極限的ε–δ 定義。 p.33 第 1 章極限及其性質

極限的定義假設 f 是定義在一個包含 c 點的開區間上的函數（ f 在 c 點不見得要有定義）， L 是一個實數
此記號（或陳述）的意義是對於任意給定的正數ε> 0，都會有一個正數δ> 0，使得只要 0 < | x – c| <δ成立，就會有 | f (x) – L| <ε這個結果。 p.33 第 1 章極限及其性質

例 6 給定一個ε，找出δ 已知極限，請找一個δ，使得只要 0 < |x – 3|
例 6 給定一個ε，找出δ 已知極限，請找一個δ，使得只要 0 < |x – 3| <δ成立，就會有 |(2x – 5) – 1| < 0.01。解此題中，已經指定了ε，ε= 0.01，要求找出合適的 δ，注意到 |(2x – 5) – 1| = |2x – 6| = 2|x – 3| 由於不等式 |(2x – 5) – 1| < 0.01 和 2|x – 3| < 0.01 等價，所以可以選δ= ½(0.01) = 0.005。因為當 0 < |x – 3| < 0.005 的時候，自然得到 |(2x – 5) – 1| = 2|x – 3| < 2(0.005) = 0.01 （見圖 1.47）。 p.33 第 1 章極限及其性質

圖 1.47 當 x 趨近 3 時， f (x) 的極限是 1。 p.33 第 1 章極限及其性質

例 7 應用極限的ε–δ定義應用極限的ε–δ定義，求證。
例 7 應用極限的ε–δ定義應用極限的ε–δ定義，求證。解我們要對每一個ε> 0，都找出δ> 0，使得只要 0 < |x – 2| <δ，不等式 |(3x – 2) – 4| <ε就會成立。因為δ的選擇會因ε而異，所以要先把絕對值 |(3x – 2) – 4| 和 |x – 2| 之間的關係弄清楚。 |(3x – 2) – 4| = |3x – 6| = 3|x – 2| 所以，給定ε> 0，我們可以選δ=ε/3，這個選擇合於所求，理由如下：當 x 滿足時，可以得出 |(3x – 2) – 4| = 3|x – 2| < 3(ε/3) = ε，如圖 1.48 所示。 p.34 第 1 章極限及其性質

圖 1.48 當 x 趨近 2 時， f (x) 的極限是 4。 p.34 第 1 章極限及其性質

例 8 應用極限的ε–δ定義應用極限的ε–δ定義，求證。解我們必須對任一個ε> 0，都能找到一個δ> 0，使只要 x
例 8 應用極限的ε–δ定義應用極限的ε–δ定義，求證。解　我們必須對任一個ε> 0，都能找到一個δ> 0，使只要 x 滿足不等式 0 < |x – 2| <δ，不等式 |x2 – 4| <ε就會成立。我們從 |x2 – 4| = |x – 2||x + 2| 出發來找合適的δ。當 x 被限制在區間 (1, 3) 時，|x + 2| < 5，所以，看看ε/5 和 1 誰比較小，把它取作δ，因而，當 0 < |x – 2| <δ時，會有如圖 1.49 所示。 p.34 第 1 章極限及其性質

圖 1.49 當 x 趨近於 2 時， f (x) 的極限值為 4。 p.34 第 1 章極限及其性質

1.6 以解析的方法處理極限極限的性質當 x 趨近 c 時，f (x) 的極限與 f 在 c 的函數值無關，當然
1.6 以解析的方法處理極限極限的性質當 x 趨近 c 時，f (x) 的極限與 f 在 c 的函數值無關，當然也有可能此一極限就是 f (c)，如果是這種情形，自然以直接代值（direct substitution）就可以求出極限，也就是說我們稱這類行為良好的函數在 c 點連續（continuous at c）。 p.36 第 1 章極限及其性質

定理 1.1 一些基本的極限假設 b, c 是實數而 n 是正整數，則證明只看第二個性質：，我們要說明對任意
定理 1.1 一些基本的極限假設 b, c 是實數而 n 是正整數，則證明只看第二個性質：，我們要說明對任意給定的ε> 0，必能存在一個δ> 0，使得只要 0 < | x – c | <δ，就會有 |x – c| <ε，我們只需將δ定為ε即可（圖 1.50）。 p.36 第 1 章極限及其性質

例 1 計算基本極限 p.36 第 1 章極限及其性質

定理 1.2 極限的性質 b, c 為實數，n 是正整數，f 和 g 的極限存在，分別是和。 1. 伸縮倍數 2. 和或差 3. 乘積
定理 1.2 極限的性質 b, c 為實數，n 是正整數，f 和 g 的極限存在，分別是和。 1. 伸縮倍數 2. 和或差 3. 乘積 4. 商 5. 冪次 p.36 第 1 章極限及其性質

例 2 多項式的極限 p.37 第 1 章極限及其性質

定理 1.3 多項式函數及有理函數的極限如果 p 是多項式函數且 c 是一個實數，則，
定理 1.3 多項式函數及有理函數的極限如果 p 是多項式函數且 c 是一個實數，則，如果 r (x) = p (x) / q (x) ，p, q 是多項式並且 q (c) ≠ 0，則 p.37 第 1 章極限及其性質

例 3 有理函數的極值求的極值。解由於 x 以 1 代入時，分母不為 0 所以由定理 1.3 得出 p.37
例 3 有理函數的極值求的極值。解由於 x 以 1 代入時，分母不為 0 所以由定理 1.3 得出 p.37 第 1 章極限及其性質

定理 1.4 帶根號的函數的極限令 n 為正整數，如果 n 是奇數則如果 n 是偶數且 c > 0，仍然有 p.37
定理 1.4 帶根號的函數的極限令 n 為正整數，如果 n 是奇數則如果 n 是偶數且 c > 0，仍然有 p.37 第 1 章極限及其性質

定理 1.5 合成函數的極限 p.38 第 1 章極限及其性質

例 4 合成函數的極限 p.38 第 1 章極限及其性質

定理 1.6 超越函數的極限 c 是一個實數，我們可以直接代入來求極限。 p.38 第 1 章極限及其性質

例 5 超越函數的極限 p.38 第 1 章極限及其性質

定理 1.7 兩個函數除了一點之外完全重合 c 是一個實數，並且假設函數 f (x) 和 g (x) 在一個包含 c 的開
定理 1.7 兩個函數除了一點之外完全重合 c 是一個實數，並且假設函數 f (x) 和 g (x) 在一個包含 c 的開區間上對所有的 x ≠ c 函數值都相等。如果 x 趨近 c 時 g (x) 的極限存在，則 f (x) 的極限也存在，並且 p.39 第 1 章極限及其性質

例 6 求函數的極限求的極限。解令 f (x) = (x3 – 1) / (x – 1)，上、下約分後 f 可以寫成
例 6 求函數的極限求的極限。解令 f (x) = (x3 – 1) / (x – 1)，上、下約分後 f 可以寫成因此，只要 x ≠ 1， f 和 g 相合，如圖 1.51。由於存在，應用定理 1.7 可以得出 f 和 g 在 x = 1 的極限相等。 p.39 第 1 章極限及其性質

圖 1.51 f 和 g 除了一點完全重合。 p.39 第 1 章極限及其性質

求極限的策略 1. 先學會哪類極限問題可以直接代入來求（請見定理 1.1 到1.6）。
2. 如果 x 趨近 c 時， f (x) 的極限不能直接代入，想辦法找一個函數 g，與 f 除了 x = c 以外處處相等（g 要選成是可以直接代入 c 求極限的）。 3. 應用定理 1.7 分析推論。 4. 利用畫圖或列表以支持您的結論。 p.39 第 1 章極限及其性質

例 7 約分求的極限。解如果直接把 x 以 –3 代入，分母為 0，分子也為 0，得不
例 7 約分求的極限。解如果直接把 x 以 –3 代入，分母為 0，分子也為 0，得不出結果，但是分子和分母都有因式 x + 3，所以在 x≠–3 時，我們可以得到再利用定理 1.7 得出 p.40 第 1 章極限及其性質

上述結果在圖 1.52 中可以看出。注意 f 和 g 的函數圖形在 x ≠ 3 時重合，只是 f 的圖形缺了(–3, –5) 這一點。
在例 7 中，直接代入會得到 0/0 這個無意義的分數，這種0/0 的情形稱為不定型（indeterminate form），我們單從這種型式得不出極限。 p.40 第 1 章極限及其性質

圖 1.52 f 在 x = –3 沒有定義。 p.40 第 1 章極限及其性質

例 8 有理化求極限。解如果直接把 x 以 0 代入，會得到不定型 0/0。但是，我們可以藉著把分子有理化來改寫這個分式。
例 8 有理化求極限。解如果直接把 x 以 0 代入，會得到不定型 0/0。但是，我們可以藉著把分子有理化來改寫這個分式。 p.40 第 1 章極限及其性質

接著，再使用定理 1.7，我們可以得到極限如下：
列表或畫圖可以強化結論：極限確實等於 ½（見圖 1.53）。 p.41 第 1 章極限及其性質

圖 1.53 當 x 趨近 0 時，f (x) 的極限是 ½。 p.41 第 1 章極限及其性質

定理 1.8 夾擠定理已知在一個包含 c 點的開區間上，不等式 h (x) ≤ f (x) ≤ g (x)
定理 1.8 夾擠定理已知在一個包含 c 點的開區間上，不等式 h (x) ≤ f (x) ≤ g (x) 成立，但是 c 點可能例外。如果則不但存在，並且也會等於 L。 p.41 第 1 章極限及其性質

圖 1.54 夾擠定理。 p.41 第 1 章極限及其性質

定理 1.9 三個特別的極限 p.41 第 1 章極限及其性質

圖 1.55 定理 1.9 的證明中用了一個扇形來輔助推理。 p.42 第 1 章極限及其性質

例 9 有關三角函數的極限求極限。解直接代值會得到不定型 0/0，要解決這個困難，可以把
例 9 有關三角函數的極限求極限。解直接代值會得到不定型 0/0，要解決這個困難，可以把 tan x 以 sin x /cos x 代入，得到再從得到（見圖1.56）。 p.42 第 1 章極限及其性質

例 10 有關三角函數的極限求極限。解直接代值會得到不定型 0/0，要解決這個困難，可以將所求改寫為
例 10 有關三角函數的極限求極限。解直接代值會得到不定型 0/0，要解決這個困難，可以將所求改寫為再令 y = 4x，同時理解到 x → 0 等價於 y → 0，因此（見圖 1.57）。 p.43 第 1 章極限及其性質

圖 1.57 當 x 趨近 0 時，g (x) 的極限是 4。 p.43 第 1 章極限及其性質

1.7 連續和單側極限在一點和在一開區間上的連續性
1.7 連續和單側極限在一點和在一開區間上的連續性直觀而言，我們稱函數 f 在 x = c 連續通常是指 f 的函數圖形在點 c 之上無斷點，既不斷裂，也沒有洞；既不跳躍，也無間隙。圖 1.58 顯示三種 f 在某一點 c 不連續的情形，而在其他 (a, b) 上的點 f 都是連續（continuous）的。 p.44 第 1 章極限及其性質

圖 1.58 f 在 c 不連續的三種情形。 p.44 第 1 章極限及其性質

連續的定義在一點連續：函數 f 如果同時滿足下列三個條件，就稱 f 在 c 點連續（continuous at c）
2. 存在。 3. 在開區間上連續：如果f 在開區間 (a, b) 中的每一個點都連續，就稱 f 在 (a, b) 上連續（continuous on an open interval (a, b)）。如果 f 在每一個實數點都連續，我們稱 f 在 (–∞,∞) 上處處連續（everywhere continuous），記號 (–∞,∞) 代表實數全體。 p.45 第 1 章極限及其性質

設 c 是開區間 I 中一個點，函數 f 定義在 I 上，但是在 c 點不見得有定義，並且假設 f 在 c 不連續，我們就稱 f 在 c 點有不連續性。不連續性分成兩類：一類可以消除（removable）和另一類不可消除（nonremovable）。如果可以透過 f 對 c 點取值的重新定義而讓 f 連續的話，不連續性就可以消除。 p.45 第 1 章極限及其性質

例 1 函數的連續性討論下列四個函數的連續性：解
例 1 函數的連續性討論下列四個函數的連續性：解 a. f 的定義域是所有非零的實數，從定理 1.3 可知 f 在它的定義域中到處連續。在 x = 0， f 的不連續性無法消除，如圖1.60(a) 所示。換句話說，不管怎麼定 f (0)， f 在 x = 0 都不連續。 p.45 第 1 章極限及其性質

d. y 的定義域是所有的實數，從定理 1.6 可知正弦函數在整個定義域 (–∞,∞) 上連續，如圖 1.60(d) 所示。
b. g 的定義域是除 1 之外所有的實數，從定理 1.3 可知 g 在定義域中到處連續。在 x = 1 函數的不連續性可以消除，如圖 1.60(b) 所示。如果定 g(1) 為 2，那麼這個「新定的函數」就會在所有的實數上連續。 c. h 的定義域是所有的實數。h 在 (–∞, 0) 和 (0,∞) 上連續，又因為，h 在整條實數線上都連續，如圖 1.60(c) 所示。 d. y 的定義域是所有的實數，從定理 1.6 可知正弦函數在整個定義域 (–∞,∞) 上連續，如圖 1.60(d) 所示。 p.45 第 1 章極限及其性質

同理，我們可以定義左極限（limit from the left），x 從小於 c 的一方趨近 c（如圖 1.61(b)），得到的極限記成
單側極限與閉區間上的連續性在 c 點的右極限（limit from the right）是指當 x 從 c 的右方，或從大於 c 的一方，趨近於 c（如圖 1.61(a)），這樣得到的極限記成同理，我們可以定義左極限（limit from the left），x 從小於 c 的一方趨近 c（如圖 1.61(b)），得到的極限記成單側極限（one-sided limit）至少會用在討論根式的極限。 p.46 第 1 章極限及其性質

例 2 單側極限求 x 從 –2 的右方趨近時，的極限。解從圖 1.62 看出，當 x 從 –2 的右方趨近 –2 時，。
例 2 單側極限求 x 從 –2 的右方趨近時，的極限。解從圖 1.62 看出，當 x 從 –2 的右方趨近 –2 時，。 p.47 第 1 章極限及其性質

當 x 從 –2 的右方近 –2 時，f (x) 的極限是 0。
圖 1.62 當 x 從 –2 的右方近 –2 時，f (x) 的極限是 0。 p.47 第 1 章極限及其性質

[[x]] ＝小或等於 x 的最大整數最大整數函數例如：[[2.5]] = 2，[[–2.5]] = –3，[[2]] = 2。
單側極限也可以用來考察階梯函數（step function）的行為，一個常見的階梯函數是最大整數函數（greatest integer function） x，它的定義是 [[x]] ＝小或等於 x 的最大整數最大整數函數例如：[[2.5]] = 2，[[–2.5]] = –3，[[2]] = 2。 p.47 第 1 章極限及其性質

例 3 最大整數函數求 x 從 0 的左、右方趨近 0 時，f (x) = [[x]] 的單側極限。
例 3 最大整數函數求 x 從 0 的左、右方趨近 0 時，f (x) = [[x]] 的單側極限。解如圖 1.63，可以看出，而。由於在 0 點的左，右極限不相等，所以最大整數函數在 0 點不連續，同理，可以看出這個函數在任意的整數點都不連續。 p.47 第 1 章極限及其性質

圖 1.63 最大整數函數。 p.47 第 1 章極限及其性質

定理 1.10 有關極限的存在性 f 是一個函數而 c 和 L 是實數，當 x 趨近 c 時， f (x) 的極限
定理有關極限的存在性 f 是一個函數而 c 和 L 是實數，當 x 趨近 c 時， f (x) 的極限是 L 若且唯若和同時成立。 p.47 第 1 章極限及其性質

在閉區間上連續的定義一個函數如果在開區間 (a, b) 上連續並且同時滿足
亦即 f 從右邊看來在 a 連續（continuous from the right），從左邊看來在 b 連續（continuous from the left），我們就稱 f 在閉區間 [a, b] 上連續（見圖 1.64）。 p.47 第 1 章極限及其性質

圖 1.64 閉區間上的連續函數。 p.47 第 1 章極限及其性質

例 4 閉區間上的連續性討論的連續性。解函數 f 的定義域是閉區間 [–1, 1]，在開區間 (–1, 1) 上，
例 4 閉區間上的連續性討論的連續性。解函數 f 的定義域是閉區間 [–1, 1]，在開區間 (–1, 1) 上，由定理 1.4 和 1.5 可知 f 連續，又因為並且我們可以結論 f 在閉區間 [–1, 1] 上連續，如圖 1.65 所示。 p.48 第 1 章極限及其性質

圖 1.65 f 在 [–1, 1] 上連續。 p.48 第 1 章極限及其性質

例 5 查理定律和絕對零度絕對零度是凱氏溫度計上的零度，記成 0 K，雖然在實驗室
例 5 查理定律和絕對零度絕對零度是凱氏溫度計上的零度，記成 0 K，雖然在實驗室中已經可以降到近似 K，但從來無法達到真正的絕對零度。實際上，證據顯示絕對零度是永遠達不到的，那麼，科學家究竟如何把 0 K 定成是物質溫度的最下限呢？對照攝氏溫度計，絕對零度應該是攝氏幾度？解絕對零度的標定工作始於法國物理學家 Jacques Charles （1746∼1823）。Charles 發現在等壓之下，氣體的體積與溫度成正比（見下表），表中列出一個莫耳的氫在一大氣壓下，溫度與體積的關係，體積 V 的單位是升，而溫度 T 以攝氏表示。 p.48 第 1 章極限及其性質

圖 1.66 上的點對應於表中相關的 T 和 V 值，不難算出 T 和 V 之間以一個線性方程聯結
令氣體的體積趨近於 0（但是絕不等於 0，也不小於 0）來作推論，可以標出最小可能的溫度是 p.48 第 1 章極限及其性質

因此絕對零度（0 K）近似於攝氏 –273.15。 p.49 第 1 章極限及其性質

圖 1.66 氫的體積與溫度相關。 p.48 第 1 章極限及其性質

定理 1.11 連續的性質已知 f 和 g 在 x = c 連續，b 是一個實數，則下列各函數都在 c 點連續。
定理連續的性質已知 f 和 g 在 x = c 連續，b 是一個實數，則下列各函數都在 c 點連續。 1. 倍數：bf 和差： f ± g 3. 乘積： fg 商： p.49 第 1 章極限及其性質

例 6 連續性質的應用由定理 1.11，我們知道下列各函數在自己的定義域中連續。 p.50 第 1 章極限及其性質

定理 1.12 合成函數的連續性已知 g 在 c 連續，而 f 又在 g(c) 連續，則合成函數
定理合成函數的連續性已知 g 在 c 連續，而 f 又在 g(c) 連續，則合成函數 (f。g)(x) = f (g (x)) 也會在 c 點連續。 p.50 第 1 章極限及其性質

例 7 連續性的檢驗描述下列各函數連續的區間。解 a. f (x) = tan x 在 x = π/2 + nπ（n 為整數）無定義
例 7 連續性的檢驗描述下列各函數連續的區間。解 a. f (x) = tan x 在 x = π/2 + nπ（n 為整數）無定義而在其他所有的點 f (x) 都連續，所以 f (x) 在開區間 p.50 第 1 章極限及其性質

c. 函數 h 與函數 g 有點類似，只是 h 的振盪被 x 這個因子減幅，利用夾擠定理得到
b. 因為 y = 1/x 在 x = 0 以外的點都連續，加上正弦函數又到處連續，所以 y = sin (1/x) 在 x = 0 以外也到處連續。在 x = 0，g(x) 的極限不存在（見 1.5 節，例 5），所以 g 在區間 (–∞, 0) 和 (0, ∞) 上連續，見圖 1.67(b)。 c. 函數 h 與函數 g 有點類似，只是 h 的振盪被 x 這個因子減幅，利用夾擠定理得到所以有因此，h 在整個實數線上連續，見圖 1.67(c)。 p.50 第 1 章極限及其性質

定理 1.13 介值定理如果 f 在 [a, b] 上連續，而實數 k 介於 f (a) 和 f (b) 之間，則
定理介值定理如果 f 在 [a, b] 上連續，而實數 k 介於 f (a) 和 f (b) 之間，則至少存在一個 c，c 介於 a, b 之間，並且 f (c) = k。注意介值定理只告訴我們至少有一個 c 存在，但是並沒有說如何求出 c 來，這種類型的定理一般稱為存在定理（existence theorems）。 p.51 第 1 章極限及其性質

f 在 [a, b] 上連續（存在三個 c，都滿足 f(c) = k）。
圖 1.68 f 在 [a, b] 上連續（存在三個 c，都滿足 f(c) = k）。 p.51 第 1 章極限及其性質

f 在 [a, b] 上不連續（不存在 c，使得 f(c) = k）。
圖 1.69 f 在 [a, b] 上不連續（不存在 c，使得 f(c) = k）。 p.51 第 1 章極限及其性質

例 8 介值定理的應用利用介值定理說明多項式 f (x) = x3 + 2x – 1 在 [0, 1] 上有根。
例 8 介值定理的應用利用介值定理說明多項式 f (x) = x3 + 2x – 1 在 [0, 1] 上有根。解注意到 f 在 [0, 1] 上連續，又因 f (0) = –1 和 f (1) = 2 所以 f (0) 和 f (1) 異號，因而從介值定理，可以推得至少在 0, 1 之間 f (c) = 0 有解，見圖 1.70。 p.52 第 1 章極限及其性質

f 在 [0, 1] 上連續並且 f(0) < 0，f(1) > 0）。
圖 1.70 f 在 [0, 1] 上連續並且 f(0) < 0，f(1) > 0）。 p.52 第 1 章極限及其性質

圖 1.71 放大圖形找 f(x) = x3 + 2x – 1 的零根。 p.52 第 1 章極限及其性質

1.8 無窮極限無窮極限已知函數 f 定為從圖 1.72 和下表可以看出，當 x 從左方趨近於 2 時，f (x) 無
1.8 無窮極限無窮極限已知函數 f 定為從圖 1.72 和下表可以看出，當 x 從左方趨近於 2 時，f (x) 無止境的減小，而當 x 從右方趨近於 2 時，f (x) 無止境的增大，我們記成 p.54 第 1 章極限及其性質

當 x 趨近 2 時，f(x) 無止境的增大及減小。
圖 1.72 當 x 趨近 2 時，f(x) 無止境的增大及減小。 p.54 第 1 章極限及其性質

無窮極限的定義設函數 f 在一個含 c 的開區間上處處都有定義，但是 c 點可能例外，敘述
表示，對任何 M > 0，相應的會存在一個δ> 0，使得只要 0 < |x – c| <δ ，f (x) > M 就會成立（圖 1.73）。同理，敘述 p.55 第 1 章極限及其性質

代表對任何的 N < 0，必會存在一個δ> 0 使得只要 0 < |x –c|
<δ，f (x) < N 就會成立，至於定義左無窮極限（infinite limit from the left），只要以 c –δ < x < c 代替 0 < |x – c| <δ，定義右無窮極限（infinite limit from the right）只要以 c < x < c +δ 代替 0 < |x – c| <δ即可。 p.55 第 1 章極限及其性質

圖 1.73 無窮極限。 p.55 第 1 章極限及其性質

例 1 從圖形決定無窮極限利用圖 1.74 決定在 x 趨近於 1 的左極限和右極限。解 p.55 第 1 章極限及其性質

圖 1.74 每一個圖形在 x = 1 都有漸近線。 p.55 第 1 章極限及其性質

鉛直漸近線的定義當 x 從 c 的左方或右方趨近 c 時，如果 f (x) 趨近無窮大（或負無窮大），我們就稱 x = c 是 f 函數圖形的一條鉛直漸近線（vertical asymptote）。注意如果函數 f 在 x = c 有鉛直漸近線的話， f 在 c 不可能連續。 p.56 第 1 章極限及其性質

定理 1.14 鉛直漸近線已知 f 和 g 在含 c 的一個開區間上連續。如果 f (c) ≠ 0，
定理鉛直漸近線已知 f 和 g 在含 c 的一個開區間上連續。如果 f (c) ≠ 0， g(c) = 0 並且在一個含 c 的開區間上，除了 c 之外，g(x) 都不為 0，則的函數圖形在 x = c 有鉛直漸近線。 p.56 第 1 章極限及其性質

例 2 求鉛直漸近線求下列各函數圖形的鉛直漸近線。解 a. 當 x = –1 時，的分母為 0，而分子不為
例 2 求鉛直漸近線求下列各函數圖形的鉛直漸近線。解 a. 當 x = –1 時，的分母為 0，而分子不為 0，因此，從定理 1.14 可以得出 x = –1 是鉛直漸近線，見圖 1.75(a)。 b 同理可得在 x = 1，和 x = –1 各有一條鉛直漸近線，見圖1.75(b)。 p.56 第 1 章極限及其性質

c. 由於，因此在 sin x = 0，但是 cos x ≠ 0 處都有鉛直漸近線，如圖 1
c. 由於，因此在 sin x = 0，但是 cos x ≠ 0 處都有鉛直漸近線，如圖 1.75(c) 所示。cot x 的函數圖形有無窮多條鉛直漸近線，發生在 x = nπ，n 是任意整數（從 sin x = 0 自然會得出 cos x ≠ 0）。 p.57 第 1 章極限及其性質

圖 1.75 函數圖形有鉛直漸近線。 p.57 第 1 章極限及其性質

例 3 可以約分的有理函數求所有的鉛直漸近線。解先做約分如下：
例 3 可以約分的有理函數求所有的鉛直漸近線。解先做約分如下：除了 x = 2，f (x) 的圖形和 g(x) = (x + 4)/(x + 2) 的圖形重合，對函數 g 應用定理 1.14，在 x = –2 可得一條鉛直漸近線（圖 1.76），又從圖可以看出 p.57 第 1 章極限及其性質

當 x 趨近 –2 時，f(x) 會無限制的增大和減小。
圖 1.76 當 x 趨近 –2 時，f(x) 會無限制的增大和減小。 p.57 第 1 章極限及其性質

例 4 求無窮極限求下列極限。解由於在 x = 1 處，分母為 0，分子不為 0，所以的函數圖形在 x = 1 有鉛直漸近線，這代表
例 4 求無窮極限求下列極限。解由於在 x = 1 處，分母為 0，分子不為 0，所以的函數圖形在 x = 1 有鉛直漸近線，這代表所求的極限是∞或 –∞，畫圖有助於判定 ±∞。從圖 1.77 可以看出從 x = 1 的左方過來，圖形趨近 ∞，而從右方過來，圖形趨近 –∞ ，亦即 p.57 第 1 章極限及其性質

圖 1.77 f 在 x = 1 有鉛直漸近線。 p.58 第 1 章極限及其性質

定理 1.15 無窮極限的性質 c 和 L 是實數而 f 和 g 的相關極限是類似的性質對單側極限或的情形都會成立。 p.58
定理無窮極限的性質 c 和 L 是實數而 f 和 g 的相關極限是類似的性質對單側極限或的情形都會成立。 p.58 第 1 章極限及其性質

例 5 判定極限 p.58 第 1 章極限及其性質

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