本章大綱 1.1 Review of Elementary Mathematics 1.2 Analytic Geometry解析幾何

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2 本章大綱 1.1 Review of Elementary Mathematics 1.2 Analytic Geometry解析幾何
1.3 Functions函數 1.4 The Trigonometric Functions三角函數 1.5 Induction數學歸納法

3 1.1.1 Notions and Notation 元素 在集合A中 元素 不在集合A中 描述法 表示 具有性質 例如： 即：若
A包含於B, , 則

4 = = 自然數集 整數集

5 有理數集 實數集 圖1.1

6 1.1.2 Order Property 次序關係 每個實數都可一一對應到數線上一個點。 在實數系 上可定義一個次序關係 ： 它有以下性質：
(1)Trichotomy(三一律)： (2)Transitive(遞移律)：

7 (3)Additive(加法性)： (4)Multiplicative(乘法性)： ； 有 有 ， 。

8 1.1.3 Intervals 區 間 (1)開區間 (2)閉區間 (3)半開區間 或 用符號 表示無上界， 表示無下界。

9 (4) (5) (6)

10 圖1.2

11 1.1.4 Inequalities 不等式 設 例題1. 解不等式 (1) (2) (3) 解： (1) (2) 在數線上標出1和
，以這兩點為分界點從右到左依序標上 圖1.3 本題 ( 所以取 ) ，故得 或 ， 若以區間表示則解集合為

12 (3)因為 這三點將數線分成 - + 即解集合為

13 1.1.5 Absolute Value絕對值 ，則 的絕對值 表示數線上 到原點 0的距離。 所以 且 它有下列性質： 則 設 (1) 或
(2) 或 (3) 圖1.4

14 若 則 (4) (5) (6) (7) 圖1.5

15 例題2. 解 由 (2) 知 解： (a)若 ，即 時，右式三項各乘上 得 或 由 ， 另外 顯然成立。 故 必須滿足 且 。 (b)若
，各乘上 後 “ ” 變為 ， 因此有 由 得 ； 但是 是絕不可能的，因此在這種情形下無解。 故解集合為 。

16 1.1.6 Basic Formulas　基本公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

17 1.2.1 Distance and Midpoint Formulas距離與中點公式
(1)距離公式：若 ，則 與 之間的距離為 (2) 中點坐標: 若 ，則 與 的中點坐標為 圖1.6

18 1.2.2 Lines直線 1. 平面上任兩點 、 恰可決定一直線 ，其斜率 若 ，則 軸，此時直線 的斜率無定義。 , 由點斜式知直線
的方程式為 2. 設直線 、 的斜率分別為 則 (1) (2)

19 例題1. 令 ，試求 (1) 及直線 的方程式。 (2) 通過點 且與直線 平行的直線 (3) 通過點 的直線 垂直 解：(1) 的斜率 ： (2) 的斜率為 (3) 的斜率為

20 1.2.3 Conic Sections圓錐曲線 利用截平面 與空間 中的一個圓錐面 的截角 與頂角 之間的關係可看出截痕 的圖形分別為
(a) 圓 (circle) (b) 橢圓 (ellipse) (c) 拋物線 (parabola) (d) 雙曲線 (hyperbola) 因此這四種曲線合稱為圓錐曲線。

21 圖1.7

22

23 (a) Circle圓: 以 為圓心， 為半徑的圓方程式為 (b) Ellipse 橢圓: 以 和 為焦點，焦半徑為 ，其中 圖1.8
的橢圓方程式為 ，其中 圖1.8

24 (c) Parabola拋物線: 以 為焦點， 為準線的 拋物線方程式為 (d) Hyperbola雙曲線: 以 及 固定值為 為焦點， 的雙曲線方程式為 其中 圖1.9

25 1.3.1 Domain and Range 定義域與值域
、 設 是非空集合，函數 是一個對應，它將 中的每一個元素 映到 中的某一個元素 ， 而且 是唯一的 ( 即不可一對多 )，集合 稱為 的定義域 (domain)，記做 ；集合 稱為對應域 (codomain)， 的前像 (preimage)， 稱為 的像 (image)， 稱為 的值域 (range)。

26 圖1.10

27 例題1. 設 定義為 ，試畫出函數圖形。 1 2 3 … 9 4 圖1.11

28 定義為 例題2. 設 ， 試畫出函數圖形。 0.9 1 2 3 4 5 0.1 1.414 1.732 圖1.12

29 1.3.2 Operations函數的運算 設 分別為 和 的定義域且 都是實數。 的對應域 若 則 (1) (2) (3) (4)

30 (5) 設 ， 為非空集合， 為 二函數，則 與 的合成函數 (composition) 。 定義為 圖1.13

31 例題3. 設 ， ，試求 與 解： 圖1.14

32 例題4. 設 ， 試求： 解： (1) (2) (3) 無意義 ( 因為 不存在 )

33 (4) (5) (6) (7)

34 1.3.3 Algebraic Functions 代數函數
(1) Polynomial多項式 ，其中 均為實數。 (2) Rational Functions 分式 其中 均為多項式。

35 例如：(a) 定義域為 值域為 它的圖形對稱於 (b) 定義域為 值域為 R。 (3) Irrational Function 根式 例如：(a) 它的定義域為 值域為 (b) 則定義域為R 值域也是R

36 1.3.4 Even and Odd Functions (1) 是一個偶函數 (even function) (2) 是一個奇函數
例如： (a) (b) 是偶函數，它的圖形對稱於 軸。 是奇函數，它的圖形對稱於原點。

37 1.4 The Trigonometric Functions三角函數
是直角座標系上一點，且 三角函數定義如下： ， 圖1.15 正弦函數 餘割函數 餘弦函數 正割函數 正切函數 餘切函數

38 1.4.1 Identities三角恆等式 (1) ， (2) ， (3) ( 由畢氏定理 得 ) ， (4) (5) (6)

39 (7) (8) odd (9) (10) (11) (12)

40 1.4.2 Graphs三角函數的圖形 平面上單位圓 上的點 的座標，都可寫成 ，其中 是 與正 軸的夾角。 圖1.16

41 (1)正、餘弦函數：已知徑度 ，正、餘弦的定義域都是 值域都是 圖1.17

42 (2)正、餘切函數： 正切的定義域 ，值域 餘切的定義域 ，值域 圖1.18

43 (3)正、餘割函數： 正割的定義域 ，值域 = 餘割的定義域 ，值域 = 圖1.19

44 1.4.3.設 是 的三邊長.則有 (1) 的面積 (2) 正弦律： (3) 餘弦律： A B C c b a

45 1.5 Induction數學歸納法 (1) Peano公設 (Peano Axiom) 自然數系 提供了一個強而有力的工具。
具有非常簡單的特性， 它為數系定理的證明 首先 若 且對任意 有 。 因為有這個性質，所以有數學歸納法。 符合Peano公設： (2) 數學歸納法 設 ， 是一個敘述。假設 (a) 是正確的且 (b)當 正確就可導出 也正確 則對任意 恆正確。

46 例題1. 試證 證明： 設 當 =1 時， 成立。 設 成立，則 因此對任意 ， 。

47 例題2. 試證 證明： 設 ，則 當 時， 若 ，則 因此，

48 例題3. 試證 證明： 設 (1) (2) 因此

49 例題4. 試證 是 6 的 倍 數 證明： 設 ，則當 時 是 6 的倍數 假設 因此 是6 的倍數。