國民小學數學課程的改變 國立台南師範學院數學教育系 謝 堅.

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1 國民小學數學課程的改變 國立台南師範學院數學教育系 謝 堅

2 64 年8月：國民小學課程標準 82 年9月：國民小學課程標準 90 年1月：頒布九年一貫暫行綱要 91 年10月：改編之未公告版 92 年11月：頒布九年一貫課程修 訂綱要(數學學習領域)

3 ６４年:國民小學課程標準 民國６４年頒布國民小學數學課程標準，民國６５年開始逐年實施（６５～８９） 。 壽命最長的課程標準。 全國都使用國立編譯館編製的課本(統編本) 。

4 經過相當大規模的實驗之後，才確定正式的數學課本(板橋模式) 。
全國教師為了這套數學課程，至各師範院校研習二週。 多數家長和老師都是學習這套數學課程長大的，因此對它有親切的感覺，也透過這套課程的編寫方式來審視現在的課本 。

5 ８２年:國民小學課程標準 民國８２年頒布國民小學數學課程標準，民國８５年開始逐年實施。（８５～９３） 編寫課程的方式和64年課程差異極大，社會上稱之為建構式數學。

6 開放民間出版社編寫教科書。 ４家出版商及國立編譯館編製國小數學課本 (部編、南一、翰林、康軒、新學友) 。 因為開放的時間急迫，幾乎沒有經過實驗就送審，通過後直接使用。 產生版本銜接的問題。

7 各縣市辦理低中年級新課程研習 各科合計 3 至 5 天，數學科大約 2 至 4 小時(各縣市不儘相同)。 精省後沒有繼續辦理研習，五､六年級老師都沒有參加研習(部份縣市中年級研習只辦理一年)。 民間出版社大量的辦理研習。

8 64 年課程部編本的主任委員是 台大數學系 黃敏晃 教授
82 年課程部編本的主任委員也是 黃敏晃 教授 先編寫人人稱讚的數學課本 再編寫人人喊打的數學課本 黃敏晃教授可能是賣台者!

9 九年一貫數學課程 民國九十年頒布九年一貫課程數學領域暫行綱要，自民國９０年九月開始分四年全面實施。 國立編譯館不再編寫國民中、小學數學課本。 版本銜接的問題依然存在，新增加了課程銜接的問題。

10 教育部在91年10月公佈九年一貫各領域的課程綱要，但是數學領域課程綱要延至92年11月才公佈。
為什麼九年一貫課程數學學習領域綱要會有這麼多變化?

11 ９０年１月：暫行綱要版 九年一貫國民中、小學編寫數學課本的依據。 除了國小六年級以及國中三年級，都使用依據暫行綱要版編寫的數學課本。

12 ９１年１０月３１日： 改編之未公告版 為了配合九年一貫課程綱要正式公布，原來編寫課程綱要的委員，針對暫行綱要版做修改，但是因為某些原因，沒有隨其他領域的課程綱要一起公布。

13 ９２年４月：修訂草案初版 部份學者專家認為九年一貫數學課程造成學生數學能力低落，其中以演算能力降低的問題最為顯注，有鑑於此，９２年２月１５日，教育部組成數學領域綱要修訂小組，期能於九十四年度自國小一年級及國中一年級開始同時逐年級實施。

14 92年11月14日，教育部正式公布九年一貫數學領域課程綱要。
教育部發表要增加數學課程時間的聲明，但是沒有正式的公文。 教育部再次編寫部編本。 民間版本仍然繼續存在。

15 修訂的課程標準進度比較快，學生再一次面臨國小學的比較少，進度比較慢的課程銜接問題。
修訂的課程標準有分年指標(約定每一個年級要教什麼)，可以降低版本銜接的影響。

16 課程銜接 vs 版本銜接 課程銜接:教育部課程標準實施不當所引出的銜接問題。 版本銜接:開放一綱多本，各校換版本所引出的銜接問題。

17 版本銜接 九年一貫數學課程綱要能力指標 至3 年級規劃為第一階段， 至5 年級規劃為第二階段， 至7 年級規劃為第三階段， 至9 年級規劃為第四階段， 沒有各個年級的分年指標。

18 82年課程標準開放民間版本，產生了版本銜接問題，九年一貫課程讓版本銜接的影響變的更嚴重，以容量教材而言，可能甲版本二年級出現，而乙版本三年級才出現。
數學領域四個階段的區分方式，讓低､中､高年級教材的銜接，產生更多額外的問題。

19 如何因應版本銜接的問題 由各出版社負責，編寫銜接該出版社的銜接教材。 由教師負責，自編版本銜接教材。 要注意以前漏教了什麼? 也要注意教材引入方式的差異?

20 82年課程 vs 九年一貫課程 課程銜接 四年內，一至九年級全面實施九年一貫課程所引起的課程銜接問題。 小三升小四產生課程銜接問題。
小六升國一產生課程銜接問題。

21 小三銜接小四: 九年一貫課程第一階段的進度，比82年課程慢，因此部份教材重複出現，浪費學童學習的時間。
小六銜接國一: 九年一貫課程進度比82年課程快，因此漏教部份教材，尤其以分數四則最為嚴重。

22 82年課程 九年一貫課程 三升四 比較快 比較慢 六升國一 比較慢 比較快 九年一貫課程，四年級開始時的進度比82年課程慢，但是升國中時，九年一貫課程的進度變成比82年課程快，也就是說，高年級教師將面臨課程教不完的困境。

23 82年課程 vs 九年一貫課程的課程銜接問題的風暴已經過去，只剩下今年小六升國一的學童面臨銜接問題。
1至5 年級(含大班)的學童又將面臨新的數學課程銜接問題。

24 新的數學課程銜接: 九年一貫課程 vs 九年一貫課程 只有數學領域有課程銜接問題。 94年起，國小學童升國中時，都會面臨(連續六年)的課程銜接問題。

25 如何因應九十四年要實施的數學課程標準? 課程綱要教材的內容以及進度有那些差異? 課本的編輯理念及編寫方式有那些差異? 如何透過體制內或體制外來因應?

26 九十四年要實施的數學課程綱要和九年一貫課程綱要教材內容及進度的差異:
1至4年級的進度，比九年一貫的教材快很多。 5至6年級的進度，和九年一貫的教材差不多。但是，多了一些不好處理的教材。

27 整數概念: 1至3年級引入1萬以內的數。 4年級引入所有的整數。

28 整數的四則運算: 四年級處理完所有整數的四則運算及其關係。 ４年級能作整數四則混合計算（兩步驟），並引入併式記錄。

29 加減問題: ２年級熟練二位數加減直式計算。 ３年級熟練四位數加減直式計算。 ４年級能熟練整數加減乘除的直式計算。 沒有引入電算器。 

30 乘法問題: ３年級能熟練三位數乘以一位數的乘法直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題。 ４年級能熟練整數加減乘除的直式計算。 沒有引入電算器。 

31 除法問題: ２年級能進行分裝與平分的活動。 ３年級能熟練三位數除以一位數的直式計算。 ４年級能熟練整數加減乘除的直式計算。 沒有引入電算器。

32 能用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數，並利用概數做簡單的估算。
概數: ３年級能作三位數以內的加減估算，用來檢驗答案的合理性。  能用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數，並利用概數做簡單的估算。

33 分數: ３年級解決同分母分數的比較及加減問題。 ４年級能作假、帶分數的加減。 ４年級能理解等值分數，進行異分母的比較，簡單分數與小數的互換 ４年級能理解分數之整數相除的意義（等分除）。

34 ５年級能理解分數之整數相除的意義（包含除）。
５年級能透過約分，擴分求等值分數。 ５年及能理解通分的意義，解決簡單異分母加減問題。 ５年級能理解乘數為分數的意義及計算方法。

35 小數: ３年級引入一位小數（整數部份兩位數），並作比較與加減計算 ４年級能認識二、三位小數。 ４年級能用直式處理三位小數的加減及整數倍問題。 ４年級能作整數除以整數，商數是三位小數的計算。

36 ５年級能認識多位小數。 ５年級能用直式處理小數乘以小數的計算。 ５年級能將小數標記在數線上。

37 六年級增添的教材: 正比及反比的概念。 認識質數、合數，作質因數分解。理解最大公因數，最小公倍數，互質的意義。 能理解等量公理。 能透過列表的方式認識變數。 能繪製圓形圖。

38 可能因應的方式: 在國小課程全部教完後，再找時間將不足的教材一次教完。 由各個年級開始趕上進度，在國小畢業前將所有教材教完。 幼稚園大班到五年級的學童，追趕進度的時間都不相同。

39 體制內可能的因應方式(前提是必須增加數學課程的時間):
教師自編教材。 追趕課本的進度，例如三年級下學期就開始教四上的教材。

40 體制外可能的因應方式: 出版社編寫一套進度超前的參考書(不必送審)，上課不使用課本，改用參考書教學。 送到安親班或補習班，教過的教材在學校會再教一次。

41 教育部､各師範院校(含有國小教育學程的大學)或各縣市輔導團可能的因應方式:

42 64年:頒布國民小學課程標準 82年:頒布國民小學課程標準 90年1月：暫行綱要版 92年11月：修訂綱要版 這些課程標準以及依據這些課程標準編寫的數學課本，它們的編輯理念及編寫方式有那些異同處?

43 教科書的角色： 以教師為主角的數學課本。 以學童為主角的數學課本。 可以自學的數學課本。 課堂活動的摘要。

44 課本的例題是否呈現完整或固定的解題策略。
教師布題 教師解題 學童模仿 教師布題 學童解題 質疑辯證 學童布題 學童解題 質疑辯證

45 教師： 您喜歡那一種編寫方式?為什麼? 學童： 那一種編寫方式對學童有幫助? 那一種編寫方式學童可以自學? 家長： 那一種編寫方式可以讓加長輔助學童學習數學?

46 每一個單元都有多種類型的問題。 將加減法(乘法或除法)全部集中在一個單元一次教完，與分散在幾個單元，讓學童有沉澱的機會。 單元式教學適合中､低､高年級或國中､高中的學童?

47 教師： 您喜歡那一種編寫方式?為什麼? 學童： 那一種編寫方式對學童有幫助? 那一種編寫方式學童可以自學? 家長： 那一種編寫方式可以讓加長輔助學童學習數學?

48 教學指引都有兩套教案， 一套是課本配合頁，期望老師花最少的時間，就能夠掌握上課的內容與重點。 一套是詳細的教案，當老師希望瞭解教材編輯理念，教材的銜接或詳細的教學內容時，可以參考。
詳案是否要書寫詳細的教學時間?

49 社會上對建構式數學的質疑! 台大數學系黃敏晃教授，先編寫人人稱讚的數學課本，再編寫人人喊打的數學課本。 經過二十年反省所編寫的新課程，是否有一些改變是合理的?是對學童有幫助的?

50 很多人質疑： 每一個問題，都需要學童想出多種不同的解題方式嗎？ 要求學童想出多種不同的解題策略，對學童學好數學有幫助嗎？ 那些問題適合要求學童想出多種不同的解題策略?

51 解題多樣化的意義: 要求每一位學童在解數學問題時，都要想出很多種不同的解法。 不限制解題策略，讓每一個學童都有自己的想法，因此，全班合起來會有很多不同的解法。

52 透過自己上台報告(透過反省，將解題活動摘要成報告)，觀察別人的報告(提供不同的解法)，與課堂上的質疑辯證，幫助學童提升解題效率，並養成討論與反省的習慣。
不斷的討論與反省，是學好數學最有效的方法。

53 課本或教學指引中常出現很多種 不同的解法。
課本中為什麼會出現不同的解法? 學童必須學會這些不同的解法嗎? 老師必須教會這些不同的解法嗎?

54 很多人質疑： 　 為什麼要學童用笨方法解題？ 為什麼不直接教學童最有效率的解題策略？ 讓學童用笨方法解題的目的是什麼？

55 引入加、減、乘、除等運算時， 應該「只學習唯一算則」？　 或「先接受學童法，等待認知發展成熟後才引入算則」？
學童法：學童自己可以發展出來的解題策略。 算則：某年代、某地區，大多數人所使用最有效率的解題策略。

56 「38＋25＝( )」 點數策略。 先分解再合成策略。 加法算則。

57 點數策略 分別做出 被加數「」 及加數「」 再點數合起來是多少。 學童可以發展出這種策略嗎? 學童可以提升解題的效率嗎?

58 只做出加數「」，再由38（被加數）開始往上點數，38，48，58， 59，60，61，62，63 得到答案。
學童可以發展出這種策略嗎? 學童可以提升解題的效率嗎?

59 當學童能使用手指頭當做加數的計數器時，就可以省略第二次的做數活動。
利用手指頭幫忙算算看: 38＋25＝( ) 738＋275＝( ) 998＋25＝( )

60 先分解再合成策略(先將原問題分解成好算或已經背起來的數字，再一步一步算出答案)。
３８＋２５ ＝３０＋２０＋８＋５ ＝５０＋１３

61 ３８＋２５ ＝３５＋２５＋３ ＝６０＋３ ３８＋２５ ＝４０＋２５－２ ＝６５－２

62 讓學童有使用學童法解題的經驗,對理解加法的意義是否有幫助?
讓學童對大數字比較有感覺。 讓學童比較有數感。 讓學童更能掌握加法的解題活動類型(簡易的數學模型) 。

63 解題活動類型（簡易數學模型） 在國小階段，我們算了很多的加法問題，為什麼這些情境不同的問題，都可以使用加法運算來解決問題？ 這些使用加法解題的問題有那些共同特徵？

64 成人常提示，當題目中有關鍵字「共」的時候，就可以使用加法來解決問題。
成人為什麼要提示關鍵字？　　　提示關鍵字的目的是什麼？　　　可以使用其它的方式來替代嗎？ 統計學的觀點。 解題活動類型的觀點。

65 有兩個已知個數的集合，這兩個集合沒有共同的元素，當要確定這兩個集合的個數合起來是多少個時，就可以使用加法來替代點數解決問題。
數學上給加法的定義： Ａ∩Ｂ＝Φ，ｎ（Ａ）＝ａ，　　　　　ｎ（Ｂ）＝ｂ，ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。

66 甲帶一瓶２０公克重、溫度是２０度ｃ的水，乙帶一瓶３０公克重、溫度是３０度ｃ的水。
將兩瓶水倒在同一個瓶中，請問水重多少公克？溫度是多少度ｃ？ 兩瓶水合起來， 為什麼水的重量可以相加？ 為什麼水的溫度不能相加？

67 成人的經驗(64年課程): 整數､分數､小數加減乘除的方式都一樣(只教算則)。 像『如何解題』部份的題目，才會出現很多不同的解法。

68 現在的課本: 引入整數､分數､小數加減乘除時，也接受學童法。 算則是學童不可能自己發展的解題策略，太早引入算則，學童可能會混淆運算的意義。

69 教師應該分辨: 課本何時開始引入算則? 學童法不必精熟，引入的目的是幫助學童理解加減乘除的意義，算則才需要精熟。 能分辨一個問題應該使用那種運算方式，與能夠快速的算出答案，那種能力比較重要？

70 加、減法的教學模式 第一種: 在教師的協助下，學童自己發展加減運算，只要能夠成功解題即可（必須發展出較有效率的點數策略或先分解再合成策略），不強求學童必須使用加減算則解題（提供學童學習加減算則的機會，但不強制要求學會）。

71 第二種: 在教師的協助下，先讓學童自己發展加減運算，讓學童有主動成功解題的經驗，等待認知發展成熟或形成解題活動類型後，再幫助學童發展加減算則，並要求學童學會。

72 第三種: 只幫助學童發展出加減算則，並要求學童學會。

73 64年教材，採用的是第三種模式，82年教材，採用的是第二種模式，但部份教師誤以為是第一種模式。
九年一貫的教材,採用的是那一種模式? 九十四年開始實施的教材，採用的是那一種模式?

74 ６４年課程編輯模式（只學習唯一算則)(以加法運算為例）：
為什麼６４年課程強調 具體物操作  半具體物操作  形式運算

75 ６４年課程透過下列三步驟，引入加減問題的教材。
步驟一: 先布一、二個文字題，再利用數學上同構的概念，透過具體物操作，半具體物操作，形式（符號）操作的方式，解釋加法運算每一個步驟的意義。

76 步驟二: 教師舉例示範計算規則，並布大量的計算題（純數字題），要求學童熟練此計算規則，以作為解題工具之用。
你以前花了多少時間在熟練計算?

77 步驟三: 教師先舉例示範如何應用加法計算來解決加法問題，再給予學童一些文字題（應用問題），期望學童能把計算規則應用在加法問題的情境之中。
以前稱之為應用問題，現在稱之為文自題或情境題。

78 ６４年課程如何透過同構解釋加法運算的意義 課程編寫者先思考解決加法問題可能有那些策略，再思考這些解題策略中，那一種是最有效率的，那一種是社會上大多數人所使用的，最後選定最有效率的算則，當做學童學習唯一的方法。

79 選定要教學的唯一解題策略後，課程編寫者先分析這種特殊解法（算則）的結構，思考學童必須有那些先備經驗後，才能學習算則。
一位加一位的加法。 合十與拆十。 位值概念(個位與十位)。 逢十進一的原則。

80 這些先備經驗只是為了引入算則舖路，學童可能無法理解算則的意義，課程編寫者透過同構的概念落實在具體操作層次，再透過畫圖像半具體物的方式，幫助學童看到操作吸管和畫圖像間滿足同構關係，希望學童能將這種同構關係類推到圖像（吸管）和直式計算上。

81 38 +25 13 +5 63 請分析每一個運算步驟的意義:

82 拿出３８（２５）根吸管，每１０根綁成１綑（３綑８根）。 先算零散的吸管有１３根，１０根綁成１綑，合起來是１綑３根。 再算３綑和２捆合起來是５綑，加上多出的１綑共有６綑。 6綑是60根，得到６綑和３根合起來是６３根。

83 直式算法，和操作具體物的方式，是否滿足同構的關係?
課程編寫者再透過畫圖像的方式，幫助學童看到操作吸管和畫圖像滿足同構的關係，希望學童能將這種同構關係，類推到圖像（吸管）和直式計算上。

84 使用同構的概念幫助解題，是一種很重要的數學能力，教師應如何幫助學童發現並掌握兩種解法間的同構關係？
國小數學教材中,有那些教材滿足同構關係?

85 兔子1分鐘跑8公尺， 獵犬1分鐘跑10公尺， 兔子先跑5分鐘後獵犬追之， 問獵犬幾分鐘後能追上兔子？
４點到５點間，時針和分針兩針何時會重疊？ 這兩個問題，滿足同構關係嗎？ 你能透過同構關係解題嗎？

86 8x5=40 (兔子在獵犬前面的距離) 40 ÷(10-8)=20(獵犬何時追上兔子) 30x4=120(時針在分針前面的角度) 120 ÷(6-0.5)=(時針何時追上分針) 每分鐘分針轉6度，時針轉0.5度。

87 時 分 / / 這三個問題是否滿足同構關係?

88 ６４年課程的省思： 只教一種特殊解法（成人算則），是否讓學童產生數學一定要教過才會的迷思？ 將計算視為解決應用問題的工具，是否影響學童選擇正確運算方式的能力？

89 透過同構的方式，學童學到的可能偏向計算能力，對概念的掌握是否能落實？
學童不理解算則的意義，但是能模仿成人依序算出答案，和按計算器解題有何不同？

90 當計算器具不普遍時，將學童訓練成會走路的計算機，算的又快,又準,又狠是合理的。當計算器具使用方便且普遍時，還需要算的又快,又準,又狠嗎?
遇到大數字時使用計算器具，但是當沒有計算器具時，也能夠慢慢的算出答案。

91 算則引入的方式有兩種: 第一種: 學童能掌握計算流程的意義，並能類推到大數字的計算(例如能算一百位乘以一百位的乘法)，但是無法說清楚為什麼可以這樣算出答案的理由。

92 第二種: 學童能理解計算流程的意義，能清楚的說出每一步為什麼可以算出答案的理由，學童也能類推到大數字的計算，並說明可以類推的理由。
你可以清楚說出二位乘以二位乘法算則每一步的意義嗎?

93 64年課程是第一種引入方式，82年課程是第二種引入的方式，82年課程為了幫助學童理解算則，多引入了一些教材(成人認為沒有必要)，為了等待學童認知法展成熟，讓引入的時間延後，引發許多的民怨。

94 有一種能夠掌握的學童法後，是否可以將算則視為記算器使用。
只會算則，但是又不理解算則的意義，對學童學好數學有幫助嗎? 國小階段: 培養數學的能力或成就 養成良好數學學習的方法與態度

95 國小階段有需要引入計算機嗎？ 何時引入較恰當？
學童不理解算則的意義，但是能模仿成人依序算出答案，和按計算器解題有何不同？

96 很多人質疑： 數學是一門化繁為簡的科學， 為什麼課本的記法常化簡為繁？
引入記錄格式時，應該「直接要求成人使用最精簡的紀錄格式」？ 或「先要求較詳細的紀錄，等待學童掌握細部解題活動後，才接受較摘要的紀錄」 ？

97 x x 3 1401 你喜歡較摘要的記法嗎? 為什麼你喜歡簡單省略的記法?

98 47x69=( ) 你喜歡記成四行的記法嗎？ 你喜歡記成二行的記法嗎？ 你喜歡記成一行的記法嗎？ 為什麼你不喜歡記成四行? 為什麼你不喜歡記成一行?

99 解題活動的步驟可以省略嗎？ 記錄活動的步驟可以省略嗎？ 1 先學左邊的記法， 對學童或教師， 有任何幫助嗎？ 需要引導學童學會 簡便的記法嗎？

100 47x69=( ) 為什麼可以記成二行？ × 為什麼不能記成一行？ 423 有那些能力後,就可以摘 要地記成一行? 有需要記成一行嗎?

101 10 ) 3 4 2 ) ) 5 ) 

102 用短除法求〔15，20，30〕時，可以先提公因數10嗎？
10）15，20，30 3）15， 2， 3 5， 2， 1 最小公倍數是10 ×3 ×5 ×2

103 ３）１５，２０，３０ ５）５，２０，１０ ２）１， ４， ２ １， ２， １ 最小公倍數是３ ×５ ×２ ×２

104 先乘除後加減,是詳細明白的說法,還是省略的說法?
48 ÷3 ×4 = 48 ÷12 = 這樣算的學童,符合先乘除後加減的語意嗎?

105 先乘除後加減 由左往右算 括號先算 是三個獨立的口訣嗎?

106 括號先算是數學上的約定。 先乘除後加減,由左往右算 是省略擴號的約定。

107 29-48 ÷3 ×4 +(3 ×4-7)=? 請用一段話(不要提到數字), 告訴學童運算的先後順序。 將你的話錄音起來,再放給自己或別人聽聽看! 懂得人,可能猜出你說的意思 不懂的人,應該還是不懂。

108 很多人都質疑： 課本不要求學童背九九乘法表， 課本不要求學童背乘法表嗎？ 請思考: 何時可以開始背乘法表？ 何時必須熟記乘法表？ 如何幫助學童熟記乘法表？

109 如果你是課本的編寫者，你會假設學童已經會背乘法表嗎？
你會安排一些幫助學童熟記乘法表的活動嗎？ 如果班上學童的先備經驗，和編者的假設不一致時，你如何處理？

110 3+3= x2=6 6+3= x3=9 9+3= x4=12 12+3= x5=15 15+3= x6=18 18+3= x7=21 21+3= x8=24 24+3= x9=27

111 3x7=21, 3x8=24, 3x9=27 3x8=24, 3x9=27 不會背 ,可以再透過加法解決問題。

112 3x2=6 3x3= 3x4= =3×7=21 3x5=15 3x6=18 33x7=21 你喜歡那一種記法？為什麼？ 教師應該思考不同記法的目的。

113 3x8=( ) x12=( ) 9x4=( ) x4=( ) 47x60=2820 47x59=( ) 47x62=( )

114 分佈練習: 將要記憶或熟練的東西,分散在較長的時間來練習。
我們以前是怎樣背乘法表？ 需要強迫學童這樣背乘法表嗎？

115 引入數學概念或工具時，應該 「直接定義數學符號或直接引入公式，再說明其意義」？ 或「先有相關的解題活動後，再引入數學符號，或幫助學童自己發現公式」？

116 為什麼「５＋３＝８」? 5+3不等於8,難道答案是9嗎? 你看！這裡有5個蘋果,那裡有3個蘋果,合起來數數看,是不是有8個蘋果,5個蘋果和3個蘋果合起來共有8個蘋果,所以5+3=8 。

117 應該先引入 5+3=8,然後再向學童說明其義意。 學童先有解決問題的活動,　再使用 5+3=8 紀錄解題活動。

118 一定要記成5+3=8嗎 ？ 5 ］→ ，3☉→8 3 學童先發展出自己能掌握的記法，再連結文化傳統的記法。

119 為什麼多數台灣的學生， 年紀愈大，數學成就愈差？
考試之前,替學童過度複習有用嗎? 如果學童實力只有60分,結果考了90分,多出來30分,有哪些盲點? (可以透過延後測檢查)

120 如果學童以為他的實力是90分, 家長老師也以為他的實力是90分,有爭議的30分,將是無法彌補的大黑洞,經年累月累積下來,學童可能放棄數學。

121 建議教師或家長,數學應該累積考,至少有一定的比例考前面學過的。
前面的概念不清楚,不會算,但是後面的題目很會算,是否代表學童在背數學? 考試後,記得檢查學童是否真正的理解,數學成績,不一定等於數學實力。