第四章 向量组的线性相关性 §1 向量组及其线性组合 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 线性方程组的解的结构.

Presentation on theme: "第四章 向量组的线性相关性 §1 向量组及其线性组合 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 线性方程组的解的结构."— Presentation transcript:

1 第四章 向量组的线性相关性 §1 向量组及其线性组合 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 线性方程组的解的结构

2 教学重点 向量组的线性相关性 向量组的秩 线性方程组的解的结构 教学难点 向量组的线性相关性的判别 向量组的秩 线性方程组的解的结构

3 双语教学 线性组合：linear combination 向量组：vector quantity
线性相关：linearly dependent 线性无关：linearly independent

4 §1 向量组及其线性组合 一、 维向量的概念 定义1 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.

5 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第2个分量 第n个分量

6 二、 维向量的表示方法 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如：

7 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.

8 三、向量空间 向 量 解析几何 线性代数 坐标系 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向　　量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 坐标系 有次序的实数组成的数组 几何形象：　可随意 平行移动的有向线段 代数形象：　向量的 坐　标　表　示　式

9 空 间 解析几何 线性代数 坐标系 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
空　　间 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 坐标系 向量空间：向量的集合 几何形象：　空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 代数形象：　向量空 间　中　的　平　面 一　一　对　应

10 时， 维向量没有直观的几何形象． 叫做 维向量空间． 叫做 维向量空间　 中的 维超平面．

11 维向量的实际意义 　　确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角 机身的水平转角 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量

12 四、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如

13 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组．

14 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.

15 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．

16 五、向量组的线性相关性 定义１ 线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示．

17 证明：向量 能由向量组 线性表示，并求出表示式。
定理1 例1 设 ， ， ， 。 证明：向量 能由向量组 线性表示，并求出表示式。

18 证明：令 故方程 的解为

19 即 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价．

20

21 从而

22

23

24

25

26 定理2 向量组 能由向量组 线性表示 矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即
推论：向量组 与向量组 等价 例2 已知向量组A： B： 证明：向量组A与向量组B等价。

27 证明: 令 而 故 因此 即向量组A与向量组B等价。

28 定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则 证：记 由已知有 而 因此