质点 平动 质点系 平动 整体的运动趋势.

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1 质点 平动 质点系 平动 整体的运动趋势

2 转动问题 刚体

3 刚体力学

4 刚体 多个相互联系的质元 质元与质元之间的相对距离不变 特殊的质点系 是一个理想模型

5 刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质元间的距离始终保持不变。
(1)是一个质点组 特点 (2)是一个特殊的质点组.

6 研究方法 把刚体分成无数个质元 质点力学 质点组力学

7 本章共讲七个问题 §3.1 刚体运动的分析 理解 §3.2 欧勒角 了解 §3.3 刚体运动方程与平衡方程 重点 §3.4 转动惯量 理解
§3.5 刚体的平动与绕固定轴的转动 理解 §3.6 刚体的平面平行运动 重点 §3.7 刚体绕固定点的运动 重点

8 §3.1 刚体运动的分析 一、自由度 确定力学体系位置的所必须的独立变量的个数。 自由质点 S=3 质点被限制在平面上运动 S=3-1=2

9 质点组3n个变量

10 确定刚体在空间的位置，需要几个变量？ 方法一 B A C 6个变量可以确定刚体位置

11 方法二 3个 2个 3个 1个 6个

12 方法三 2个 欧勒角 3个 1个 6个

13 刚体最简单的 运动形式 二.刚体运动的分类 1.刚体的平动
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。 刚体最简单的 运动形式

14 世界最大的摩天轮—“伦敦眼”

15 刚体的平动过程 b c a

16 刚体的平动过程 b c a

17 刚体的平动过程 b c a b

18 刚体的平动过程 b c a

19 刚体的平动过程 b c a

20 刚体的平动过程 b c a

21 刚体的平动过程 b c a

22 结论：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、
特点 取参考点O O 结论：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、 加速度及相同的轨迹

23 平动时刚体内所有点都有相同的速度和加速度.
通常用质心的运动来代表刚体整体的运动。 因此平动的独立变量为三个

24 刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周
2.刚体的定轴转动 刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周 运动，且在相同时间内转过相同的角度。

25 (1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平 面内(转动平面)做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
定轴转动的特点 (1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平 面内(转动平面)做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上. (2)刚体上各质元的速度、加速度大小方向不相同； (3)刚体上各质元的角速度、角加速度大小方向相同； 用角量描述 定轴转动的独立变量只有一个

26 3.刚体的平面平行运动 刚体运动过程中，其内任意一点始终在平行于某一固定平面上的平面内运动。

27

28 平面问题 空间问题

29 1 3 1 3 3 A A

30 刚体的平面平行运动可以看随某一点的平动与相对于该点并垂直于平面的轴的转动的叠加。
2 1 S=3 随质心的平动和绕质心轴的转动的叠加

31 4.刚体的定点转动 刚体在运动过程中，只有一点固定不动，整个刚体绕着通过定点的某一瞬轴转动。

32 刚体的定点转动的特点 1.转轴是随着时间变化的，称为 瞬时转轴 2. 各质元绕着瞬时转轴做圆周运动

33 转动瞬轴的方向 两个 确定其绕轴转动的角度 一个 定点转动的独立变量有三个

34 5.一般运动（自由刚体）

35 平动 3 转动瞬轴 2 绕转动瞬轴转过的角度 1 平动 +定点转动 刚体一般运动的独立变量有六个

36 判断运动类型

37 平动 从简单到复杂 掌握 定轴转动 刚体 平面运动 定点运动 一般运动

38 非常重要的物理量 角速度 矢量 标量

39 三、 角速度矢量？ 1.矢量 有大小、有方向、且遵守平行四边形加法所应遵循的对易律的物理量。

40 角速度是描述角位移变化快慢的物理量 角位移矢量 角速度矢量 角速度不是矢量 角位移不是矢量 角位移 ？

41 2.角位移 (1)有限转动

42 y 1-3 2-4 5-6 2 3 6 6 3 2 1 2 5 x 绕y轴逆转90度 绕x轴顺转90度 6 3 2 1 2 5 2 6 3 绕x轴顺转90度 绕y轴逆转90度

43 结论： 角位移的有限转动不是矢量，它不满足 矢量加法对易律

44 (2)无限小转动 证明 位移矢量 平面

45 若 是矢量它应当满足矢量加法交换律 1）转动前： 2）转动 后： 3）再转动 后：

46 不计二阶微量，则有 交换转动次序，则有 已知对线位移，有 可得 即 无限小转动是矢量，它满足矢量加法交换律

47 结论 角位移微小转动的合成是可以对易的，即无限小角位移 是一个矢量。

48 3.角速度矢量

49 §3.3 欧勒角 1.欧勒角 章动角 自转角 Z轴位置由θ， 角决定 节线ON 进动角

50 O-xyz逆时针转一个角度 活动坐标系绕oN转 活动坐标轴绕z轴转

51 2.欧勒运动学方程 在直角坐标系

52 欧拉角表示刚体的运动 欧拉角.avi

53 总结： 3 平动 定轴转动 1 3 平面运动 3 定点运动 6 一般运动

54 角位移的有限转动不是矢量 角位移的无限小转动是矢量

55 谢谢

56 复习： 3 平动 定轴转动 1 3 平面运动 3 定点运动 6 一般运动

57 角位移的有限转动不是矢量 角位移的无限小转动是矢量

58 §3.3 刚体运动方程与平衡方程 刚体不同于质点，作用力的作用点不是一个点，因此在研究刚体的运动或平衡时，常常对这些力进行简化。基本思路如下： 讨论刚体的运动与平衡 复杂力系 简单力系

59 一.力系的简化 1.基本概念 （1）共点力系：作用点在同一点上或作用线相交于一点的力系。 （2）平行力系：作用线相互平行的力系。
（3）平面力系：作用线分布在同一平面上的力系。 （4）一般力系：不符合上述条件的力系。 （5）等效力系：作用效果相同的力系。 （6）零力系：刚体处于平衡状态，若对其施加力系的作用，刚体仍处于平衡状态，则称所加力系为零力系。

60 2.两个公理 （1）一对大小相等、方向相反、共线的力系是最简单的力系。 （2）力系加零力系与原力系为等效力系。

61 3.力的可传性定理 力的可传性原理:作用在刚体上的力所产生的力学效果，全靠力的量值与作用线的地位和方向，而与力的作用点在作用线上的地位无关。
力的作用线不能随意移动 力的可传性原理:作用在刚体上的力所产生的力学效果，全靠力的量值与作用线的地位和方向，而与力的作用点在作用线上的地位无关。 滑移矢量，它可沿作用线向前或向后移动而其作用效果不变。

62 4.力系的简化 （1）共点力系的简化 平行四边形法则 （2）共面非平行力系的简化 力的可传性原理+平行四边形法则

63 （合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸分力对同一轴线力矩的代数和相等） （3）平行力系的简化
合力的量值和方向由代数和确定； 合力的作用线用力矩关系确定； 设合力作用线到o点的距离为d

64 （3）空间一般力系的简化 既不平行又不汇交的力

65 ①力偶 作用在刚体上的一对力，大小相等，方向相反，作用线不在一条直线上，这对力叫力偶

66 力偶的作用效果： 无平动效果 力偶对o点的力矩（力偶矩）： 有转动效果

67 2.由于o点的选择是任意的，故力偶矩可以“随意”移动，是一个自由矢量。
说明： 1.力偶矩可以由一个垂直于力偶面过0点的矢量来表示，其方向用右手螺旋定则来判断的； 2.由于o点的选择是任意的，故力偶矩可以“随意”移动，是一个自由矢量。

68 空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩
②空间力系的简化 既不平行又不汇交的力 空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩

69 空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩
主矢决定刚体的平动效果 主矩决定刚体的转动效果 简化中心可以任意选择，在刚体力学中，我们一般选择质心为简化中心。外力决定刚体的平动状态；外力对质心的力矩 决定刚体绕通过质心的轴线的转动状态。

70 二. 刚体运动微分方程 思路 将作用在刚体上的力简化为过质心的力 及对质心的力矩。 质心运动定理 对质心的动量矩定理
思路 将作用在刚体上的力简化为过质心的力 及对质心的力矩。 质心运动定理 对质心的动量矩定理 质心的运动规律与固定点的一样

71 6个方程正好确定刚体的6个独立变量 动能定理可作为辅助方程 若刚体受力为保守力，机械能 守恒定律也可作为辅助方程

72 三. 刚体平衡方程 怎样才算平衡 静止 匀速直线运动 刚体平衡条件 刚体内任一点

73

74 对共面力系有三种情况（若力均位于X，y平面内）：
因此只要 一矩式

75 刚体平衡时，诸力对任一轴的力矩的矢量和都等于零。
在平面上任选两个参考点 只要 再加上 二矩式 或 注意： 与 连线不可与x轴正交。

76

77 只要 三矩式 刚体就处于平衡状态 注意： 三点不能选在同一直线上

78 解刚体平衡问题应注意的问题： 1.坐标轴的选取原则：尽量是坐标轴与已知力平行或垂直； 2.圆心o的选取原则：尽量选在未知力的交点上；
3.三力平衡汇交定理：如果刚体在三力作用下处于平衡状态，则三力定交于一点。

79 例 题 一根均匀的棍子，重为P，长为 。今将其一端置于粗糙地面上，又一其上的c点靠在墙上，墙离地面的高度为h,当棍子与地面的角度 为最小值 时，棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。 解： 是共面力系的平衡问题

80 解出

81 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为
例 题

82 解： 均质棒受到碗的弹力分别为 棒自身重力为 棒与水平方向的夹角为 设棒的长度为 轴和 轴的和外力为零 ① ② 。
由于棒处于平衡状态，所以棒沿 轴和 轴的和外力为零 ① ②

83 沿过 点且与 轴平行的合力矩为0。即： ③ 由①②③式得： ④ 又由于 ⑤ 将⑤代入④得：

84 总结： 1.力系基本概念 （1）共点力系：作用点在同一点上或作用线相交于一点的力系。 （2）平行力系：作用线相互平行的力系。
（3）平面力系：作用线分布在同一平面上的力系。 （4）一般力系：不符合上述条件的力系。 （5）等效力系：作用效果相同的力系。 （6）零力系：刚体处于平衡状态，若对其施加力系的作用，刚体仍处于平衡状态，则称所加力系为零力系。

85 2.力系的简化 力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩 3. 刚体运动微分方程 质心的运动定理 对质心的角动量定理

86 辅助方程 4. 刚体平衡方程

87 对共面力系有三种情况（若力均位于X，y平面内）：
一矩式 二矩式 三矩式

88 质量 转动惯量

89 §3.4 转动惯量 一. 刚体的动量矩 刚体对O点的动量矩

90 比较： 刚体平动动量矩 坐标原点选在转动平面内 刚体定轴转动动量矩 刚体的动量矩 说明：动量矩一般不与角速度共线。

91 分量式：

92

93 令 有

94 二. 刚体的转动动能

95 三. 转动惯量 是转动时物体的一个属性，代表物体在转动时惯性的量度，和平动时的m相当。 转动惯量 至转动瞬轴的垂直距离 刚体上某一质元的质量

96 转动惯量的计算： 质量分立分布 质量连续分布 平行轴定理 垂直轴定理 组合定理

97 类比质心 在计算上有相似之处

98 刚体对轴线的回转半径： 刚体按一定规律分布的质量，在转动中等效于集中在某一点上的一个质点的质量，此质点离某轴线的垂直距离为k，则刚体对该轴线的转动惯量与该等效质点对此同一轴线的转动惯量相等即 或 式中的k叫做刚体对该轴线的回转半径。

99 转动惯量的决定因素： 物体的形状（或质量分布的情况） 转动轴的位置

100 四. 惯量张量和惯量椭球 对质量连续分布的刚体，转动惯量 轴转动惯量 惯量积 注意 刚体绕不同轴转动，转动惯量不同 是否有简单的计算公式？

101 因为 由 可得

102 三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物理量
对o点的惯量张量

103 上式也可用惯量张量表示

104 将坐标系固定在刚体上，使惯量系数为常数。进一步选择坐标轴取向，来消去惯量积。
在转动轴上取线段 Q点的坐标

105 Q点的轨迹方程 利用 得 中心在o点的二次曲面方程 惯量椭球方程

106 惯量椭球的作用： 1.求出转动惯量 画出椭球后，根据 由某轴上矢径R的长，求出刚体绕该轴的转动惯量。 2.消去惯量积

107 五. 惯量主轴及其求法 一般坐标系下的惯量椭球 一般坐标系下的惯量椭球

108 每一椭球都有三条相互垂直的主轴。 若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量椭球。 椭球三主轴称为惯量主轴；
对主轴的惯量称为主转动惯量。

109 主轴坐标系下的惯量椭球 动能和角动量简化为

110 解析几何法：椭球与主轴交点的位矢R的方向和 椭球上该点法线的方向重合。
惯量主轴的求法 解析几何法：椭球与主轴交点的位矢R的方向和 椭球上该点法线的方向重合。 线性代数法：求本征值的方法。 对称性方法

111 x轴对称 Ixx=Iyy旋转椭球体 (x为主轴) Ixx=Iyy=Izz椭球体 xy面对称 x轴对称 xy面对称 (z为主轴)

112 例 均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。 解 （A）直接用定积分

113 解

114 解 （C）取惯量主轴为坐标轴

115 §3.5 刚体的平动与绕固定轴的转动 1. 刚体平动 2. 定轴转动 定轴转动时只有一个变量， 用角位移就可以确定刚体位置。

116 定轴转动动力学方程 转动方程 机械能守恒

117 例题：设质量为m的复摆绕通过某点o的水平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动周期，并加以讨论。
思路: 根据转动定律 求出振动动力学方程 求其运动方程及其振动周期

118 解 运动微分方程 由转动方程 周期

119 与单摆所具有的形式很类似，所以说单摆是复摆的一个特例。
周期 与单摆所具有的形式很类似，所以说单摆是复摆的一个特例。

120 O θ l mg 例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很 舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去
例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很 舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去 膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。 解 选取均匀杆模型进行估算， 则自然步频率等于杆的固有频 率时（共振）最舒服，如图： O mg l θ 由转动方程 取l为1米，则步频率 为1.62秒

121 3.定轴转动轴上的附加力 刚体作定轴转动，可看作是 AB两点不动的约束运动，去掉 约束代之以约束反力，就可以 动量定理和动量矩定理求运动 和约束反力。

122

123

124 如果刚体不转

125 相差很大 动平衡 若刚体变速转动 动力反作用力 NA 和NB 如果刚体不转 静力反作用力 NA 和NB 若刚体转动时不产生附加压力
是制造和安装机器时最主要的问题之一 动平衡

126 刚体的动量矩 总结 说明：动量矩一般不与角速度共线。 转动惯量 对质量连续分布的刚体，转动惯量

127 解析几何法：椭球与主轴交点的位矢R的方向和 椭球上该点法线的方向重合。
1.求出转动惯量 2.消去惯量积 惯量主轴的求法 解析几何法：椭球与主轴交点的位矢R的方向和 椭球上该点法线的方向重合。 线性代数法：求本征值的方法。 对称性方法

128 刚体的平动与绕固定轴的转动 转动方程 机械能守恒

129 3.6 刚体的平面平行运动 刚体运动过程中，其内任意一点始终在平行于某一固定平面上的平面内运动。

130 3.6 刚体的平面平行运动 刚体运动过程中，其内任意一点始终在平行于某一固定平面上的平面内运动。

131

132 平面问题 空间问题

133 1 3 1 3 3 A A

134 刚体的平面平行运动可以看做基点的平动与相对于通过基点并垂直于平面的轴的转动的叠加。
平面平行运动 = 基点平动 + 绕基点的转动

135 三、运动学 1.速度的公式求法 平面平行运动 = 基点平动 + 绕基点的转动

136 相对于o-xy系 相对于系

137 加速度表达式 P点对O点的绝对加速度 P点相对A点加速度 A点相对O点加速度 在固定参考系的表示

138 2. 瞬心法求速度 求速度非常简便的方法 什么是瞬心？ 刚体角速度不为零时，在任一时刻恒有一点的速度为零，该点称为转动瞬心。

139 瞬心的确定： 方法一 对实验室坐标系

140 对固着刚体坐标系

141 转动瞬心的求法二 利用转动瞬心C与刚体上 任一点连线与其速度方向垂直，可以用几何法求瞬心 A C B

142 对于刚一运动的某些情况，可根据刚体与邻近物体的关系确定瞬心。
转动瞬心的求法三 对于刚一运动的某些情况，可根据刚体与邻近物体的关系确定瞬心。 例如：车轮和圆木在地面上滚动，则车轮和圆木在任一瞬时与地面的接触点为瞬心。 c

143 如何利用瞬心来求速度？ 若选瞬心为基点，任一点的速度即为绕瞬心轴的转动速度 大小 垂直于角速度和pc确定的平面 方向

144 与所选基点无关，是描写整个刚体的运动学量，对任意质元都不变
转动瞬心C在固定平面 xy上的轨迹称为空间极迹， 而在薄片上（动平面）的轨 迹称为本体极迹。 注意：刚体的运动是本体极迹 在空间极迹上的无滑滚动。 例如车轮在轨道上的滚 动。 与所选基点无关，是描写整个刚体的运动学量，对任意质元都不变 瞬心的速度为零，但该点的加速度不为零。

145 3.速度投影定理求速度 刚体上任意二点的速度在二点连线上的投影相等。

146 例题 长为 的直杆，A端搁在水平地面上，B端靠在墙上，已知A端的水平速度为 ，求杆与竖直方向成 角时B端的速度和杆的角速度。 解： 瞬心法： 方向y轴负方向

147 基点法求速度

148 [例1] 试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。
y 解： C为瞬心 C M B A vB vA x o

149

150 C的坐标为（x,y) 空间极迹 本体极迹

151 总结 速度的求法 公式法

152 瞬心法 大小 垂直于角速度和pc确定的平面 方向 速度投影法 刚体上任意二点的速度在二点连线上的投影相等。

153 加速度的求法

154 作业 3.15 3.16

155 总结 速度的求法 公式法

156 瞬心法 大小 垂直于角速度和pc确定的平面 方向 速度投影法 刚体上任意二点的速度在二点连线上的投影相等。

157 加速度的求法

158 四. 平面平行运动动力学 平面平行一般分解为绕过质心C点的轴的转动和质心C的平动。 质心运动 方程 绕过质心轴的转动方程
若只在保守力作用下，刚体的机械能守恒 绕质心轴转动动能 质心平动动能

159 C O’ mg N f O y xC 例 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。 解 （A）机械能守恒定律 动能 势能 机械能 不能求约束反力
求微商，得 不能求约束反力 空心圆柱体 实心圆柱体

160 解 （B）运动定理 C O’ mg N f O y xC 质心C点的平动方程： 绕质心C点的转动方程： 联立方程可求得：

161 复习 速度的求法 公式法

162 瞬心法 大小 垂直于角速度和pc确定的平面 方向 速度投影法 刚体上任意二点的速度在二点连线上的投影相等。

163 加速度的求法

164 质心运动 方程 动力学 绕过质心轴的转动方程

165 纯滚动 约束条件 是静摩擦力 条件 都可以作为判断是否纯滚动的条件

166 例：长为2a的均值棒AB，以铰链悬挂于A点上，如起始时，棒子水平位置无初速度的运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒称为自由体，试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？ 分析： 定轴转动 平面运动 yc= yc(xc)

167 解：均匀棒机械能 守恒，即：

168 在杆脱离悬点后， 即杆将绕质心作匀速转动 ： C vC 抛物线

169 例题：半径为r的质量为M的均质圆轮用绳子绕过定滑轮和质量为m的重物相连，令圆轮在粗糙的水平面上作纯滚动，忽略绳子和定滑轮的质量，试求：轮心的加速度；物体的加速；绳子的拉力。
平面运动 平动

170 受力分析如图： 对圆柱体 由质心运动定理和动量矩定理知： 注意方向 对于滑块 又因

171 以C为基点： 解以上各式得

172 为什么会停下来？

173 K叫滚动摩擦系数，等于N的作用点到通过质心的竖直线的垂直距离，其大小和圆柱体及地面的物理性质有关，即和圆柱体压入地面的程度有关。
五.滚动摩擦 产生原因： 物体与地面接触处的形变所引起的。 滚动摩擦力矩 K叫滚动摩擦系数，等于N的作用点到通过质心的竖直线的垂直距离，其大小和圆柱体及地面的物理性质有关，即和圆柱体压入地面的程度有关。

174 滚动摩擦一般小于滑动摩擦

175 §3.7刚体绕固定点的运动 一般运动 刚体定点转动的例子 陀螺 常平架

176 一.刚体定点转动运动学 定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。 每一质元在每一瞬时都做圆周运动
速度公式

177 加速度公式 向轴加速度 转动加速度

178 二.刚体一般运动运动学 随基点平动 + 绕基点的定点转动 速度公式

179 加速度公式 向轴加速度 平动加速度 转动加速度

180 又因为点O和点N的速度为0，所以ON即为瞬时轴。 设ON与地面成夹角 ，由于 沿瞬时轴方向，所以：
3.30 碾磨机碾轮的边缘沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则 以匀角速度ω绕铅垂轴OB转动．如OA＝c，OB＝b，试求轮 上最高点M的速度及加速度的量值。 解：这是定点转动问题，它应该满足： 又因为点O和点N的速度为0，所以ON即为瞬时轴。 设ON与地面成夹角 ，由于 沿瞬时轴方向，所以：

181 合

182 合

183 [例] 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形
轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联线和沿垂线成 θ角时，B点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度AB ＝l，螺 旋桨自身旋转的角速度为ω1。 解：这个是一般运动问题 因此，B点的速度为：

184 B点的加速度为： 为恒矢量 所以

185

186 二.刚体定点转动动力学方程 基本方程 将坐标系固着于刚体，则 但 为什么？ 取惯量主轴为坐标轴，有

187 1.用固着在刚体上的动坐标系，使惯量系数都是常数；
欧勒动力学方程 两个简化： 1.用固着在刚体上的动坐标系，使惯量系数都是常数； 2.取用o点上的惯量主轴为动坐标系的坐标轴，消去惯量积。

188 ,就能得到三个对欧勒角为二阶的常微分方程。从理论上讲，就能得出欧勒角和时间t的关系，因而也就确定了刚体的运动情况。
欧勒运动学方程 一共六个非线性常微分方程。 从上面的方程组中消去 ,就能得到三个对欧勒角为二阶的常微分方程。从理论上讲，就能得出欧勒角和时间t的关系，因而也就确定了刚体的运动情况。

189 可用它来代替上面的一个式子，来解决定点转动问题。
辅助方程 机械能守恒 可用它来代替上面的一个式子，来解决定点转动问题。

190 总结 运动学 动力学 定点转动 一般运动

191 课后作业 3.19 3.20

192 谢谢！