2006---2007高考复习 第二轮能力专题: 三种典型力学模型的分析 2007、3.

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1 高考复习 第二轮能力专题: 三种典型力学模型的分析 2007、3

2 三种模型及其概要 专题解说 1．碰撞模型: 三种模型是指：碰撞模型、人船模型、子弹打木块模型 碰撞过程中所产生的形变能够完全恢复的 弹性碰撞
碰撞过程中没有机械能损失的 弹性碰撞 按形变恢复情况分 碰撞的分类 按机械能损失情况 碰撞过程中所产生的形变不能够完全恢复的 碰撞过程中有机械能损失的 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞 碰撞过程中所产生的形变完全不能够恢复的 碰撞过程中机械能损失最多的

3 碰撞过程的力学特征： 专题解说 弹性碰撞特例：
经历的时间极短，所经历的时间在整个力学过程中可以忽略；碰撞双方相互作用的内力往往是远大于外力，系统在碰撞前后遵从总动量守恒定律，且碰撞前后能量不会增加 弹性碰撞特例： 遵从碰撞前后系统的总动量守恒定律,即 m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2 m1、v1 m2、v2 m1、u1 m2、u2 遵从碰撞前后系统的总动能相等,即 ½m1υ12+½m2υ22=½m1u12+½m1u22 由此可得碰后的速度 且碰撞前后,双方的相对速度大小相等,即u2－u1=v1－v2

4 完全非弹性碰撞特例： 专题解说 2．人船模型 遵从碰撞前后系统的总动量守恒定律,即 m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2
m1、v1 m2、v2 m1、m2、u 具备碰撞双方碰后的速度相等的特征，即 碰撞过程中机械能损失最大 △E=½m1υ12+½m2υ22―½m1u12―½m2u22 =½m1υ12+½m2υ22－ 2．人船模型 “人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零，即系统在运动过程中总动量守恒。

5 专题解说 原型： 长为L、质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人立在船头。若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，水平方向上动量守恒，人走动过程中的每时每刻它们的总动量都是零。设人的速度为v人，船的速度为v船，人经t秒从船头到船尾，人相对岸的位移为s人，船相对岸的位移为s船. S人 S船 L 由动量守恒定律得： mv人=Mv船 由于运动过程中任一时刻人，船速度 大小v人和v船均满足上述关系， 所以运动过程中，人、船平均速度大小， 和 也应 满足相似的关系。即 两边同乘以运动时间t，则 即 ms人=Ms船 而 s人+s船=L，所以有：

6 专题解说 3．子弹打木块模型 原型:如图所示，一颗质量为m的子弹以速度v0射入静止在光滑水平面上的木块M中且未穿出。设子弹与木块间的摩擦为f。子弹打进深度d相对木块静止，此时木块前进位移为s。 M m S d 对系统，由动量守恒有： mv0=（M＋m）v ① 对子弹由动能定理有： ② 对木块由动能定理： ③ 将②③相加可得 ④ 相互作用的力f与相时位移的大小d的乘积，等于子弹与木块构成的系统的动能的减少量，亦即产生的内能。

7 专题解说 专题聚焦 1．碰撞模型 由①和④可得动能的损失值： 故打入深度
明确:当构成系统的双方相对运动出现往复的情况时,公式中的d应就理解为“相对路程”而不是“相对位移的大小”. 专题聚焦 A B PA PB 1．碰撞模型 例1 甲、乙两球在光滑水平轨道上向同方向运动，已知它们的动量分别是p甲=5kg·m/s，p乙=7 kg·m/s。甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10kg·m/s，则两球质量m甲与m乙的关系可能是下面的哪几种？ （ ） A.m甲＝m乙 B.m乙＝2m甲 C.m乙＝4m甲 D.m乙＝6m甲

8 专题聚焦 从题中给出的选项看，m甲、m乙是倍数关系，这样可用km甲来表示m乙， 解析：
A B PA PB 设碰前甲、乙两球的速度为v甲、v乙，碰后甲、乙两球的速度为v/甲、v/乙。 因甲从后面追上乙发生碰撞，则在碰前甲的速度应大于乙的速度，即v甲>v乙。 由已知m甲v甲=5，m乙v乙=7，则有 ＞ ① 由动量守恒定律可知，碰后甲的动量为2kg·m/s，又因碰后，乙的速度大于等于甲的速度，v/乙≧v/甲， 则同理也有 ≧ ② 在碰撞的过程中，未说动能有无损失，这样可列出动能的不等式为

9 专题聚焦 将已知量代入，并分别解上述不等式； A.m甲＝m乙 ＞ 式得k＞7/5 B.m乙＝2m甲 C.m乙＝4m甲 D.m乙＝6m甲 由
≥ 式得k≤5 式得k＞51/21 A.m甲＝m乙 B.m乙＝2m甲 C.m乙＝4m甲 D.m乙＝6m甲 由 由此可知，只有选项C正确。 例2 如图所示．质量为m的滑块静止在光滑的水平桌面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块飞来，设小球不会越过滑块，求滑块能获得的最大速度？此后小球做什么运动?

10 专题聚焦 解析：小球m在滑块M上先上升再下落，整个过程中M一直在加速，故M的最大速率出现在m与M分离时刻，整个相互作用的过程中系统动量守恒、机械能守恒。即 由方程可以看出，属于弹性碰撞模型，故 V1=0,小球做自由落体运动 例3 如图所示，水平光滑轨道宽和弹簧自然长度均为d。m2的左边有一固定挡板。ml由图示位置静止释放，当m1与m2相距最近时m1速度为v1，求在以后的运动过程中m1的最小速度和m2的最大速度。 m1与m2相距最近时m1的速度v1为其最大速度，在以后的运动中，m1先减速，m2先加速； 解析：

11 专题聚焦 当两者速度相等时，相距最远，此后m1将继续减速，而m2将继续加速。当它们距再次相距d时，m1减速结束，而m2加速结束，此时m1与m2的速度v1/、v2/即为所求。以后m2将减速运动，而m1将加速运动，…… 此即弹性碰撞模型，则 例4：如图,弧形斜面质量为M,静止于光滑水平上，一质量为m的小球以速度VO向左运动，小球最多能升高到离水平面h处，求该系统产生的热量。 解：小球减少的动能转化为小球的重力势能和产生的热量，即ΔEK=Q+ mgh 由完全非弹性碰撞模型知ΔEK= 所以Q=ΔEK－mgh= －mgh.

12 专题聚焦 例5:如图.质量为m的小车静止在光滑的水平轨道上,长为L的细线一端固定在小车上,另一端拴一质量也为m的小球.现给小球一初速度V,求其能上升的最大高度为多少? 解：当小球上升到最高点时,二者具有共同速 度,符合上述模型的条件.系统减少的动能 ΔEK全部转化为小球的重力势能ΔEP=m球gh, 例6：如图,在光滑的水平上,依次有质量分别为m、2m、3m、…10m的10个小球,排成一直线,彼此有一定的距离.开始时,后面的9个小球是静止的,第一个小球以初速度VO向着第二小球碰去,结果它们先后全部粘合在一起向前运动,由于连续地碰撞,系统损失的机械能为多少？ 把后面的9个小球看成一个整体，由完全非弹性碰撞模型,有 解：

13 专题聚焦 2．人船模型 例7:载人气球原来静止在空中，与地面距离为h ，已知人的质量为m ，气球质量（不含人的质量）为M。若人要沿轻绳梯返回地面，则绳梯的长度至少为多长？ L h 解：取人和气球为对象，系统开始静止且同时开始运动，人下到地面时，人相对地的位移为h，设气球对地位移L，则根据推论有 ML=mh 地面 得L = h m M 因此绳的长度至少为L+h= (M+m)h M

14 专题聚焦 例8.一个质量为M,底面边长为 b 的劈静止在光滑的水平面上，见左图，有一质量为 m 的物块由斜面顶部无初速滑到底部时，劈移动的距离是多少？ S1 S2 b M m θ 解：劈和小球组成的系统水平方向 不受外力，故水平方向动量守恒，且初始时两物均静止，故由推论知ms1=Ms2,其中s1和s2是m和M对地的位移，由上图很容易看出：s1=b-s2代入上式得，m(b-s2)=Ms2, 所以 s2=mb/(M+m)即为M发生的位移。

15 专题聚焦 拓展：如图所示，三个形状不同，但质量均为M的小车停在光滑水平面上，小车上质量为m的滑块，由静止开始从一端滑至另一端，求在此过程中，小车和滑块对地的位移是多少？ b a R L

16 专题聚焦 拓展:如图所示，质量为M，半径为R的光滑圆环静止在光滑水平面上，有一质量为 m 的小滑块从与环心O等高处开始无初速下滑到达最低点时，圆环发生的位移为多少？ 解:滑块与圆环组成相互作用的系统，水平方向动量守恒。虽均做非匀速运动，但可以用平均动量的方法列出动量守恒表达式。 s o R R-s o R 设题述过程所用时间为 t，圆环 的位移为s，则小滑块在水平方向上对地的位移为（R-s），如图所示. 取圆环的运动方向为正，由动量守恒定律得 即 Ms=m(R－s)

17 专题聚焦 例9.如图所示，宽为d、质量为M的正方形木静止在光滑水平面上，一质量m的小球由静止开始沿“Z”字通道从一端运动到另一端，求木块-和小球的对地位移. 把小球和木块看成一个系统,由于水平方向所受合外力为零,则水平方向动量守恒. 解： d 设小球的水平速度为v1、木块的速度为v2，则有 mv1=Mv2 若小球对地位移为 s1、木块对地位移为s2，则有 ms1=Ms2 且 s1+s2=d 解得

18 专题聚焦 例10. 质量为M的船静止于湖水中，船身长L,船头、船尾分别站着甲、乙两人，甲的质量为m1，乙的质量为m2，且m1＞m2，求当甲、乙两人交换位置后，船身位移的大小是多少？ S人 S船 M+2m2 m1－m2 船及甲、乙两人组成的系统水平方向不受外力作用，故水平方向动量守恒，系统每时每刻总动量为零，符合人船模型的条件。 解析： 甲、乙两人互换位置相当于质量为（ml－m2）的人在质量为M＋2m2的船上，从甲的位置走到乙的位置，如图所示。 可以应用人船模型的结论,得船的位移：

19 专题聚焦 例11、质量为M=4.0kg的平板小车静止在光滑的水平面上，如图所示，当t=0时，两个质量分别为mA=2kg、mB=1kg的小物体A、B都以大小为v0=7m/s。方向相反的水平速度，同时从小车板面上的左右两端相向滑动。到它们在小车上停止滑动时，没有相碰，A、B与车间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2,求： （1）A在车上刚停止滑动时，A和车的速度大小 （2）A、B在车上都停止滑动时车 的速度及此时车运动了多长时间。 （3）在给出的坐标系中画出小车 运动的速度——时间图象。 O t/s v/m.s-1 1 2 3 4 5 A B v0

20 专题聚焦 解:(1)当A和B在车上都滑行时，在水平方向它们的受力分析如图所示： v0 由受力图可知，A向右减速，
B向左减速，小车向右加速，所以首先是A物块速度减小到与小车速度相等。 fB fA f车 设A减速到与小车速度大小相等时，所用时间为t1，其速度大小为v1，则： v1=v0-aAt μmAg=mAaB ① v1=a车t μmAg-μmBg=Ma车 ② 由①②联立得：v1=1.4m/s t1=2.8s ③ （2）根据动量守恒定律有： mAv0－mBv0=(M+mA+mB)v ④ v=1m/s ⑤ 总动量向右， 当A与小车速度相同时，A与车之间将不会相对滑动了。

21 专题聚焦 设再经过t2时间小物体A与B、车速度相同，则： －v=v1－aBt2 ⑥ μmBg=(mA＋m车)aB ⑦
由⑥⑦式得：t2=1.2s A B v0 所以A、B在车上都停止滑动时，车的运动时间为t=t1+t2=4.0s ⑧ O t/s v/m.s-1 1 2 3 4 5 （3）由（1）可知t1=2.8s时，小车的速度为v1=1.4m/s，在0~t1时间内小车做匀加速运动。在t1~t2时间内小车做匀减速运动，末速度为v=1.0m/s,小车的速度—时间图如图所示

22 专题聚焦 3．子弹打木块模型 例12 如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的盒子，盒子中央有一质量为m的小物体（大小可忽略），它与盒底部的摩擦系数为μ。盒子内部长L，现给物体m以水平初速v0向右运动。设物体与壁碰撞时无能量损失。求：（1）物体相对盒子静止时，盒的速度大小； （2）物体m与盒壁碰撞的碰撞次数。 m v0 L 由m以v0开始运动到m与M 相对静止的全过程中，系统动量守恒，符合子弹打木块模型。即 解析： mv0=（M＋m）v 由 可得 所以

23 专题聚焦 例13、如图所示,倾角θ＝370的固定斜面AB长L=12m,质量为M=1kg的木块由斜面上的中点C从静止开始下滑,0.5s时被一颗质量为m=20g的子弹以v0=600m/s沿斜面向上的速度正对木块射入并穿出,穿出时速度u=100m/s.以后每隔1.5s就有一颗子弹射入木块,设子弹射穿木块的时间可忽略不计，且每次射入木块对子弹的阻力都相同。已知木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25。(g取10m/s2，sin370＝0.60，cos370＝0.80)，求： ⑴第一颗子弹从木块中穿出时木块的速度大小和方向。 ⑵木块在斜面上最多能被多少颗子弹击中。 ⑶在木块从C点开始运动到最终离 开斜面的过程中，子弹、木块和 斜面这一系统所产生的总热量是 多少。 A B C M v0 θ

24 专题聚焦 解： （1）木块开始下滑时: Mgsinθ—μMgcosθ=Ma1 a1 = g(sinθ—μcosθ) = 4m/s2
B C M v0 θ （1）木块开始下滑时: Mgsinθ—μMgcosθ=Ma1 a1 = g(sinθ—μcosθ) = 4m/s2 解： 0.5秒时下滑位移： m 末速度　　v1 = a1t1 = 2m/s 设第一颗子弹穿过木块时木块的速度大小为V1/,方向沿斜面向上：　 由动量守恒定律: mv0－ Mv1 = mu + Mv1/ ∴ v1/ =　8m/s 方向沿斜面向上 (2）木块沿斜面上滑时： 对木块:由 －Mgsinθ－μMgcosθ=Ma2 ∴a2=－8m/s2 上滑时间： 上滑位移： ∵t2<1.5s ，∴第二颗子弹击中木块前，木块上升到最高点P1后又会下滑0.5秒。

25 专题聚焦 故木块到A点的最大距离为： 木块从P1再次下滑0.5s秒后被第二颗子
B C M v0 θ 故木块到A点的最大距离为： 木块从P1再次下滑0.5s秒后被第二颗子 弹击中，与第一颗子弹击中后过程完全相同，故再次上滑的位移仍为4m – 0.5 = 13m ＞ 12m 由此可知，第二颗子弹击中木块后，木块将滑出斜面。故共有两颗子弹击中木块。 （3） 全过程系统所产生的热量可分两部分： ①两颗子弹穿过木块所产生的内能为： 6940 J ②木块在斜面上滑行时所产生的内能： ∵木块在斜面上滑行的总路程为:s= = 8m 那么产生的内能为：ΔU2 = μMgcosθs = 16 J ∴总全过程系统所产生的热量为:ΔU=ΔU1 +ΔU2 =6956J

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例14：如图甲,一质量为0.4kg足够长且粗细均匀的绝缘细管置与水平地面上,细管内表面粗糙,外表面光滑有一质量为0.1kg电量为0.1C的带正电小球沿管以水平向右的速度进入管内，细管内径略大于小球直径,已知细管所在位置有水平方向垂直于管向里的匀强磁场,磁感应强度为1特g取10m/s2) (1)当细管固定不动时,在乙图中画出小球在管中运动初速度和最终稳定速度的关系图象（取水平向右为正方向 （2）若细管不固定,带电小球以v0=20m/s的初速度进入管内,且整个运动过程中细管没有离开地面,则系统最终产生的内能为多少? vt/ms-1 V0/ms-1 乙 v 甲

27 专题聚焦 解： f v 带正点的小球受力如图 洛仑磁力随速度的变化而变化，导致支持力、摩擦力的变化。
qvB FN f 当洛仑磁力等于重力时摩擦力为0.此时, 小球 和细管的速度保持不变。达到稳定的运动状 态.则：当qvB=mg时v=mg/qB=10m/s v 甲 mg （1）当初速度小于10m/s时，支持力方向向上，并随速度的减小增大。所以最终小球速度为0。 当初速度大于10m/s时支持力方向向下，并随速度的减小而减小，当速度减小为10m/s时，支持力、摩擦力都为0，速度保持不变。 小球在管中运动初速度和最终稳定速度的关系图象如图所示 vt/ms-1 V0/ms-1 （2）因为初速度大于10m/s所以小球的最终速度是V1=10m/s.设此时小球和细管速度分别为V1、V2 ,由动量守恒定律 mv0=mV1+MV2 ,解得：V2=2.5m/s 系统产生的热能Q=½mV 02－½mV12－½MV 22=13.75J

28 专题聚焦 例15.如图所示,在光滑的水平面上静止着两小车A和B，在A车上固定着强磁铁，总质量为5 kg,B车上固定着一个闭合的螺线管.B车的总质量为10 kg.现给B车一个水平向左的100 N·s瞬间冲量,若两车在运动过程中不发生直接碰撞,则相互作用过程中产生的热能是多少? 由于感应电流产生的磁场总是阻 碍导体和磁场间相对运动,A、B两 车之间就产生排斥力,以A、B两车 为研究对象,它们所受合外力为零.动量守恒,当A、B车速度相等时,两车相互作用结束,据以上分析可得： 解： A B I=mBvB=(mA+mB)v,vB=I/mB=100/10 m/s=10 m/s, 从B车运动到两车相对静止过程，系统减少的机械能转化成电能，电能通过电阻发热，转化为焦耳热.根据能量转化与守恒：Q=½mBvB2－½ (mA+mB)v2 =½×10×102－½×15×(100/15)2 J=166.7 J