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Schrodinger Wave Equation
Davos, Swiss 1925
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A total of five papers in 1926
薛丁格證明了波動力學與矩陣力學數學上是等價的！ 因此以波來描述電子成為最簡單方便的辦法。 第一步就是要猜出波動方程式。
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找物質波的波方程式如同解讀一個古老的失傳的語言
Rosetta Stone It was created in 196 BC, discovered by the French in 1799 at Rosetta
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找尋波方程式的線索 正弦波對應於一個不受力的自由粒子 粒子與波的翻譯表
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粒子與波的翻譯表 對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的： 因此，這個關係也就翻譯為波長與頻率的關係： 波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係： 對一般的波來說 一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？
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我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。
畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！ 一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。
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一般波如何得出色散關係？ 考慮正弦波 k 的二次方，翻譯為位置的二次微分 ω 的二次方，翻譯為時間的二次微分 代入波方程式即給出色散關係
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這個翻譯方式，對物質波卻行不通： 右方的ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分 我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！ 或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波 這個新函數，它的一次微分與自己成正比，但又必須振盪！ 需要一個函數又是指數函數又是三角函數！
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找一個函數，又是指數函數又是三角函數！ 要同時是指數與正弦函數，並不是不可能。 如果只看二次微分，可以假設：
此定義對一次微分不成立，但如果比較它們的一次微分，竟然也非常類似 一次微分將cos與sin互換 虛數指數函數的一次微分是自己乘上 i 將實數部及虛數部互換 何不假設 的實數部與虛數部分別是正弦與餘弦？
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正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。
正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。 此定義滿足指數函數所有重要性質！
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在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角
我們可以更進一步定義複數的指數函數： 在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角 Im θ Re 找到又是指數函數又是三角函數的函數了！
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? Schrodinger Wave Equation 考慮複數的波函數 如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比
時間微分翻譯為 ω，位置微分翻譯為 k 對電子波而言：色散關係： ? Schrodinger Wave Equation
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但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。
同樣的邏輯也是用於一般的波： 波方程式即給出色散關係 但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。
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以此指數三角函數來嘗試構造自由電子的波函數
波函數疊加時實數部虛數部分別疊加！ 實數部是破壞性干涉時，虛數部也是！ 因此干涉條紋與古典波類似！
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? 電子波波方程式 Schrodinger Wave Equation 如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？
此時動量與能量的關係要修改為： 電子波波方程式 ? Schrodinger Wave Equation
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Schrodinger Wave Equation
因為有虛數係數，波函數必須是複數！波函數的實數部與虛數部無法分開。 電子波函數必須是複數 波函數無法觀測，波強度正比於振幅平方，則是實數，應可觀測。
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時間為 t 時在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率
在 a 與 b 之間發現該粒子的機率
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雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！
但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！
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薛丁格方程式的解 固定能量解
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固定能量解 薛丁格方程式一般來說很難解，但在某些特殊情況下是可以解的：
我們通常對於能量為一定值 E 的解最有興趣，畢竟獨立系統都遵守能量守恆： 這些解因為能量固定，因此具有固定頻率： 以自由電子為例： 其與時間關係很簡單：波函數的變化率正比於波函數本身
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波函數的變化率正比於波函數本身 具有這個性質的波函數，其能量的測量，沒有不確定性！ 滿足此條件的波函數與時間的關係，可以很容易被解出來（指數函數）！ 代入薛丁格方程式，位置函數 ψ(x) 則滿足一常微分方程式： 解出位置函數 ψ(x) 整個波函數就都知道了！ 此常微分方程式有時也稱為與時間無關之薛丁格方程式。
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固定能量解正好描述穩定態 機率密度 與時間無關 可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！
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旅行波
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分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波
自由電子 當電子受力為零時，位能V 是一常數， 假設 動能 這方程式與簡諧運動相同，其解很簡單： 這正是德布羅意所猜到的波長與動量及能量的關係。 分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波 波速不是定值
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電子顯微鏡 以0.1c光速移動的電子 遠小於可見光，故鑑別度高於可見光顯微鏡！
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單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定：
與一般的波不同，它有虛數部！ 單一方向傳播的電子波機率密度為一常數 動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數 粒子總是有一些區域性，需要一系列的電子波的疊加：波包。
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動量不可能完全精確，若將波長有些微差距的兩個波疊加，結果振幅會出現忽大忽小的周期變化。
Beat
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如果進一步疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在一個區域之內，稱為波包。
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如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，寬度即是動量不準度。
波包的寬度 Δk 波強度的分布也會是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。 Δx 測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來
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波包波函數的實部與虛部
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波包不是固定能量態， 而是能量相近的固定能量波的疊加， 不是穩定態，所以波包會擴散！
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Δk Δx 波包即是一個位置與動量同時都有不準度的粒子狀態的波函數。
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粒子狀的態的波函數 x 波狀的態的波函數 兩者都是波包的極端情況
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階梯狀位能，反射與透射
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階梯狀位能
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反射與透射 入射波 透射波 反射波
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機率分布 反射的波與入射波疊加干涉！強度與位置有關。
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以波包來描述粒子的反射與透射！ 古典粒子會直接穿越，只是速度變慢。 電子卻有一個反射回來的波包！ 波包在撞擊位階後會分裂為二！透射與反射。 古典粒子碰到這樣的位能是不會有反射的！一個粒子分成兩個？
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這就是一維的散射，所以散射後測量該電子，有可能發現它往右運動，也有小部分機率會發現它往左，但發現是永遠是一顆電子。
如果式一束電子，波的強度就是電子數的分布！
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Tunneling effect 如果
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如果 E < V0 ，波數 為虛數， 古典的粒子根本不能存在這樣的區域， 然而在量子力學中，波函數還是有解， 只是此時不再是正弦波，而是指數函數 會往右一直增加，對左邊來的波是不可能的！ 指數遞減
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電子波會以指數遞減的程度滲入古典粒子無法進入的區域！
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能量較低的波包撞擊位階，波會滲入禁止區，
但長期而言，反彈如同古典粒子。
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但如果這位能只持續很小一個範圍，位能很薄，粒子便能滲透過去：
穿隧效應 Tunneling Effect
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穿牆人 Le Passe-Muraille Marcel Aymé, 1943
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Tunneling effect 在位壘中 機率密度 穿透機率
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Scanning Tunneling Microscope 穿隧顯微鏡 STM
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駐波
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有限範圍的駐波態振盪，頻率都不是連續的
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有邊界之自由電子 無限大位能井，在井中如自由電子 邊界條件：
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有邊界之自由電子形成駐波 駐波能量不傳播，為穩定態 穩定態
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能量量子化 基態的動量不為零 電子是靜不下來的！ 這是測不準原理的結果。
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能階躍遷 粒子狀態隨時間的演化即為能階穩定態之間的躍遷。 量子物理可以計算躍遷發生的機率！但無法預測何時確定會發生！
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節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！
機率密度 節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！ 節點 量子趨近古典
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有限大位能井 電子被拘限於一定區域時，能量為離散的能階 電子不被拘限於一定區域時，能量為連續
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氫原子中的電子狀態
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氫原子系統的電子穩定態能量
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這些標記粒子狀態的數多為整數或半整數，稱為量子數。
以極座標表示，波函數可分解為三個部分的乘積。 量子化條件 這些標記粒子狀態的數多為整數或半整數，稱為量子數。
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才有解 量子化 才有解
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能量只與 n 有關 每一個能階，包含多個能量相等的能態！
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Principal Quantum Number
決定能量 Orbital Quantum Number Orbital Magnetic Quantum Number
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週期表
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基態 Ground State
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Radial probability density
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n=2, l=0 有 1 個節點
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s pz py px
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量子數的物理意義 為角動量大小及z方向角動量的本徵態 本徴值 氫原子核對電子不作力矩，故電子的角動量守恒 能量的本徵態也會是角動量的本徵態
不過！…….
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