第七章 多變數微積分 課程目標 多變數函數 偏微分 多變數函數的極值 受制型極值與拉氏乘子法 最小平方法 全微分 二重積分.

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2 第七章 多變數微積分 課程目標 多變數函數 偏微分 多變數函數的極值 受制型極值與拉氏乘子法 最小平方法 全微分 二重積分

3 多變數函數 本章之前所討論的函數都只有一個自變數，其格式為 y = f(x) 。許多函數可能含有若干個自變數，例如長途電話費就與三個變數有關：距離、通話時段與通話時間。 首先介紹兩個變數的函數，函數 f 與二個變數 x，y 有關，則寫成 z = f(x, y)，f(x, y) 的定義域為函數有定義的所有有序對 (x, y) 的集合。值域則為所有函數值的集合。 7-1 多變數函數

4 求定義域與函數值 設 ，求(a)定義域 (b) f(9, -2) 。
設 f(x, y) = exy - lny ，求(a)定義域　(b) f(2, 1) 。 7-1 多變數函數

5 成本函數與生產函數 求成本函數 Cobb-Douglas生產函數
某公司生產腳踏車與直排輪鞋，其每週的固定成本為120000元。其變動成本分別為腳踏車2200元，直排輪鞋700元。 (a)求其成本函數。 (b)求生產200台腳踏車與300雙直排輪鞋的總成本。 Cobb-Douglas生產函數 經濟學家用來描述資本財與勞動力兩者間的關係稱為Cobb-Douglas生產函數，其形式如下： 其中 K 表示資本財的單位，L 表示勞動力的單位。通常資本財則包括建築物、設備與原物料，勞動力都以工時為單位。若 P(K, L)=100K1/4L3/4，求 P(150, 220) 。 7-1 多變數函數

6 三個或更多變數的函數 求體積與面積 一個上面有開口的箱子，中間有隔板均分成二部分如下圖所示。求箱子的體積 v 與箱子所需的紙板面積 M。
解: v = xyz M = yz + 2xy + 3xz 7-1 多變數函數

7 描繪函數圖形 式為 z = f(x, y) 的函數，欲描繪 z = f(x, y) 的圖形需要使用三維空間才能描出點 (x, y, z) 。例如點 (2, 3, 4) 與 (-2, -2, 3) 描繪於右圖。 通常函數 z = f(x, y) 的圖形為三度空間的曲面 (surface) 。繪製含有二變數的函數圖形需應用到三度空間的圖，是一件不容易的事。 7-1 多變數函數

8 描繪函數圖形 繪出 f(x, y) = x2 + y2 的圖形。
解:先令 z = x2 + y2 。然後選擇若干個 x 與 y 的值。當 x = y = 0 ，得 z = = 0 ，表示點 (0, 0, 0) 。當 x = 1 與 y = 1 ，得 z = = 2 ，表示點 (1, 1, 2) 。當 x = 0 與 y = -2 ，得 z = 0 + (-2)2 = 4 ，表示點 (0, -2, 4) 。其完整的圖形如右圖。 7-1 多變數函數

9 相對極點 定義7-1: 曲面 z = f(x, y) 上的點 (a, b, c) ，若對 (a, b) 周圍某個區域內的所有 (x, y) 均有 f(a, b)≧f(x, y)，稱為相對極大點。 定義7-2: 曲面 z = f(x, y) 上的點 (a, b, c)，若對 (a, b)周圍某個區域內的所有 (x, y) 均有f(a, b)≦ f(x, y)，稱為相對極小點。 7-1 多變數函數

10 鞍 點 我們有時也會以相對極點(relative extreme point)來統稱相對極大點與相對極小點這兩種極點。曲面上可能會有若干個相對極點，甚至沒有極點。 另外下圖的點稱為鞍點(saddle point)，從曲面的一個曲線來看鞍點是最高點，從另一條曲線來看這個最高點卻又變成最低點，所以鞍點不是相對極點。 7-1 多變數函數

11 偏微分 對於單一變數的函數 f(x) ，其導數 f'(x) 是用來度量當獨立變數 x 產生變化時，函數值 f(x) 的變化率。
對於超過一個變數的函數 y = f(x1, x2, … , xn) 我們當然也可以問當獨立變數 xi改變時 f(x1, x2, … , xn) 的變化為何？ 多變數函數有多個導數，每個單一變數對應一個導數，這個導數我們稱為偏導數 (partial derivative)，其過程稱為偏微分 (partial differentiation)。 偏導數是用來度量當其中一個變數變動而其餘固定不變時，多變數函數值的變化率。 7-2 偏微分

12 偏導數 定義7-3: 1. 函數 f(x, y) 對 x 的偏導數為 在 ，y 維持固定不變。
2. 函數 f(x, y) 對 y 的偏導數為 7-2 偏微分

13 偏導數 求偏導數 偏導數常以寫在函數下的足標來表示，足標為 x 表示對 x 的偏微分，足標為 y 表示對 y 的偏微分。即
若 f(x, y) = 5x3 - 3x2y4 - 6y3，求 fx(x, y)，fy(x, y) 。 若 f = exln y ，求 fx，fy。 若 f = (xy3 + 2)3，求 fx。 7-2 偏微分

14 偏導數 求偏導數 偏導數的意義 若 ，求 gy。 若 f(x, y) = ln(x3+y3)，求 fy(x, y)。
求 。 偏導數的意義 偏導數只對其中的一個變數微分，其餘的維持不變，因此偏導數可解釋為一次只針對一個變數的瞬時變化率。 fx(x, y) = (當 y 固定時，函數 f 對 x 的瞬時變化率) fy(x, y) = (當 x 固定時，函數 f 對 y 的瞬時變化率) 7-2 偏微分

15 偏導數的意義 設Cobb-Douglas生產函數為 P(K, L) = 20K0.3L0.7。求 PK(150, 120) 及 PL(150, 120) ，並解釋其意義。 解: PK = 6K-0.7L0.7, PK(150, 120)= 6(150)-0.7(120)0.7  5.13 意義: PK = 5.13 表示當資本財額外增加一單位時，產能約增加 5.13 單位。這稱為資本財的邊際生產量。 解: PL=14K0.3L-0.3, PL(150, 120)=14(150)0.3(120)-0.3  14.96 意義: PL = 表示當勞動力額外增加一單位時，產能約增加 單位。這稱為勞動力的邊際生產量。 這兩個值表示在 K = 150 與 L = 120 單位時，欲增加生產量增加勞動力一單位的效果約等於增加一單位資本財的3倍。 7-2 偏微分

16 偏導數的意義 就如同導數一樣，偏導數也可以解釋成邊際函數。令 C(x, y) 為生產 x 單位產品 A 與 y 單位產品 B 的成本函數，則
Cx(x, y) = (產品 A 的邊際成本函數，當產品 B 的產量維持不變時) Cy(x, y) = (產品 B 的邊際成本函數，當產品 A 的產量維持不變時) 同理，對收入與利潤函數上述之定義同樣適用。偏微分只定義一個變數的邊際函數，這時其他的變數均維持不變。 7-2 偏微分

17 求邊際利潤函數 某公司每日由生產 x 台電腦與 y 台鍵盤所得的利潤為 P(x, y) = 6x3/2 + 4y3/2 + xy。求其邊際利潤函數，計算 Py(225, 400) 並解釋其意義。 解: Px(x, y) = 9x1/2 + y, Py(x, y) = 6y1/2 + x Py(225, 400) = 6(400)1/ = 345 意義: 當產量為 225 台電腦與 400 台鍵盤時，這時鍵盤的產量由 y = 400 增為 y = 401 時，利潤約增加345元。 7-2 偏微分

18 偏導數就是斜率 函數 f(x, y) 在三度空間上表示成曲面，偏導數則是曲面上不同方向的斜率： 表示曲面上 P 點在 x 方向的斜率， 表示曲面上 P 點在 y 方向的斜率，如圖所示。 在右圖中，想像由點 P 往 y 軸的方向前進這時是上坡還是下坡呢？這時是上坡的方向，因為 。由點 P 沿 x 軸的方向前進則是下坡，因為 。 7-2 偏微分

19 偏導數就是斜率 某公司每週生產電視與收音機的數量分別表示為 x 與 y 。其利潤函數 P(x, y) = 40x - x2 + 80y - y2 ，求此函數圖形 z = P(x, y) 在點 (20, 40, 2000) 往 x 軸與 y 軸方向的斜率。 解: Q = (20, 40, 2000) 為圖形 z = P(x, y) 的最高點，這時正是二個方向斜率均為0之時。 7-2 偏微分

20 偏導數在經濟學的應用 偏導數可用來描述二種商品彼此為互相競逐型還是互補型。
二種商品稱為彼此競逐型，當一種商品的需求增加時伴隨的結果是另一種商品需求的減少。咖啡與茶葉就是最古典的競逐型商品的範例，還有如國產汽車與進口汽車的競爭、自用車通勤與大眾運輸工具通勤、白米與麵粉的消費。 互補型商品表示二種商品間有同向的關係，當一種商品的需求增加時，另一種商品的需求也跟著增加。例如高爾夫球桿與高爾夫球鞋、刮鬍刀與刮鬍泡等。 7-2 偏微分

21 商品互為競逐型與互補型 假設有二種商品 A 與 B。x 與 y 分別表示商品 A 與 B 每單位的價格。令函數 f(x, y) 表示商品 A 的需求函數，函數 g(x, y) 表示商品 B 的需求函數。此函數恆有下列關係： :因為商品 A 的價格 x 上升，則商品 A 的需求會下降。 兩商品在價格 (x0, y0) 時為競逐型 :表示當商品 B 的價格上升時，商品 A 的需求增加；知 B 的價格上升時，商品 B 的需求減少；商品 B 的需求減少導致商品 A 的需求增加。 兩商品在價格 (x0, y0) 時為互補型 :表示某商品價格的上升必使另一商品的需求減少，就是二者需求均減少。 7-2 偏微分

22 競逐型與互補型 兩種商品 A 與 B，當其價格分別為 x 與 y 時的需求函數為
f(x, y) = x2 + 10y2 (A的需求函數) g(x, y) = x - 2y (B的需求函數) 試問這兩種商品為競逐型還是互補型？ (A的需求函數) (B的需求函數) 7-2 偏微分

23 高階偏導數 重複執行偏微分於多變數函數上將產生高階偏導數 (higher order partial derivative)。因這時會遇到混合的偏微分，要注意其符號的用法，就是先針對某個特定變數做偏微分，然後再對其他變數執行偏微分。 我們將二階偏導數的符號及意義表列如下： 7-2 偏微分

24 fxy = fyx，這表示調換偏微分的先後次序並無不同。
求二階偏導數 求函數 f(x, y) = x2y3 + e2x lny 的四個二階偏導數。 解: 首先求 fx = 2xy3 + 2e2x lny 然後再求 fxx 與 fxy : 再回到 f = x2y3 + e2x lny，我們求 fy : 然後再計算 fyx 與 fyy : fxy = fyx，這表示調換偏微分的先後次序並無不同。 7-2 偏微分

25 多變數函數的極值 函數 f(x, y) 的圖形可看成曲面，這個曲面就像地表的地形有相對極大點(山峰)與相對極小點(谷底)以及鞍點。
以函數的觀點而言，函數在這些點產生相對極大值與相對極小值或者兩者皆不是。本節將討論如何求出臨界點及使用二階導數判別法來判別函數的相對極值。 山丘的最高點的斜率(或稱坡度)，不論從那個方向看都是0。這時可以將一枝旗桿水平放在最高點上(如圖)。偏導數 fx 與 fy 分別表示 x 與 y 方向的斜率，所以在相對極大點與極小點上這二個偏導數應該均為0。我們就稱此點為臨界點 (critical point)。 7-3 多變數函數的極值

26 臨界點 定義7-4: 若 fx(a, b) = 0 且 fy(a, b) = 0 ，則稱點 (a, b) 為函數 f(x, y) 的臨界點。
求臨界點 求函數 f(x, y) = 6x + 3y - x2 - y2 – xy 的臨界點。 7-3 多變數函數的極值

27 D 判別法 D 判別法: 若點 (a, b) 為函數 f(x, y) 的臨界點，令 D
D = fxx(a, b)．fyy(a, b) - [fxy(a, b)]2 1. 若 D > 0 且 fxx (a, b) < 0，則 f(a, b) 為函數 f(x, y) 的相對極大值。 2. 若 D > 0 且 fxx (a, b) > 0，則 f(a, b) 為函數 f(x, y) 的相對極大值。 3. 若 D < 0，則 (a, b) 為函數 f(x, y) 的鞍點。 使用 D 判別法應注意以下事項： D > 0 並不足以保證該臨界點為相對極大值或相對極小值。需再檢查二階導數的正負(即檢查 fxx 或 fyy 均可)，才能判定為相對極大或相對極小。 D < 0表示臨界點是鞍點，不必考慮 fxx 的正負。 D = 0 表示 D 判別法無法判別，這個臨界點可能是相對極大、相對極小或鞍點。 7-3 多變數函數的極值

28 利用 D 判別法求極值 利用 D 判別法求極值 求相對極值 求最大利潤
求函數 f(x, y) = 6x + 3y - x2 - y2 – xy 的極值。 求相對極值 求函數 的相對極值。 求最大利潤 某汽車廠生產小型與中型轎車，小型車的價格函數為 p(x) = x，x ≦ 7；中型車的價格函數為 q(x) = y，y ≦ 20 ，價格以萬元為單位，生產量 x 與 y 則表示每小時的產量。若該車廠的生產成本為 C(x, y) = 52x + 64y - 8xy + 20萬元。求車廠追求最大利潤的最佳生產量與售價為何？並求其最大利潤。 7-3 多變數函數的極值

29 求相對極值 求最大利潤與最佳售價 求相對極值
某超商有白色蛋和棕色蛋可供顧客選購，這兩種蛋互為競逐型商品，其銷售量依售價互相消長。假設該超商已知當白色蛋每斤 x 元，棕色蛋每斤 y 元時，白色蛋每日的銷售量為W(x, y) = x + 6y (斤) 。棕色蛋每日的銷售量為 B(x, y) = y + 4x (斤) 。求超商每日售蛋的最大收入，最佳售價 x 與 y 分別為何？ 求相對極值 求函數 f(x, y) = x2 + y3 - 8x - 27y 的相對極值。 7-3 多變數函數的極值

30 獨佔事業與偶佔事業 最後我們介紹法國經濟學家Antoine Cournot 於1938年比較獨佔事業 (monopoly，市場只有一家供應商)與偶佔事業 (duopoly，市場有二家競爭的供應商)的差異。這個比較方法，應用多變數函數求極大值的技巧，得到相當有趣的結果。 獨佔事業：假設劉先生擁有一口良質的礦泉，使用自有的泉源生產礦泉水且為小鎮的唯一供應商，因為生產成本極低，此處不予計算。如果他的價格函數為 p = x，x≦6000，其中 p 表示每日可以賣出 x 公升的價格。故王先生的收入函數為 R(x) = ( x)x = 60x x2。要使收入最大，求 R'(x) 並令其等於0： 因此劉先生每日售出3000公升，售價則為 p = ( 300) = 30 (元/公升) 。最大收入為(因為二階導數為負) R(3000) = 60． (3000)2 = 90000。 7-3 多變數函數的極值

31 偶佔事業 偶佔事業：劉先生的鄰居陳先生發現賣水還頗有賺頭，也開了一口泉井生產起礦泉水和劉先生競爭。這時劉先生與陳先生需爭食同一塊市場。設陳先生每日售出 y 公升。這時兩人的價格函數為 p = (x + y) = x y 這兩人的收入仍是價格乘以數量： (劉的收入) = p．x = ( x y)x = 60x x xy (陳的收入) = p．y = ( x y)y = 60y xy y2 兩人都想追求最大收入，故取偏導數並令其為0： 所以每人每日都賣出2000公升。售價則為 p = ( ) = 60 – 40 = 20 (元/公升) 。每個人的收入則為40000元。 7-3 多變數函數的極值

32 獨佔事業與偶佔事業 我們列一個表比較獨佔與偶佔的差異如下：
由上表可知偶佔的情況生產較多的礦泉水，且售價也降低了。 Cournot 下結論認為競爭的狀態較獨佔的狀態對消費者有利。但是，聰明的商人最後終究瞭解其收入40000元小於90000元的一半，這會趨使他們走向合作，共享市場，最後變成獨佔的狀態。這種狀態稱為聯合壟斷 (collusion)。這就是當市場僅有極少數的供應商時，最後會趨向聯合壟斷而不是完全競爭的理由。 7-3 多變數函數的極值

33 受制型極值與拉氏乘子法 許多商業上的應用，希望找到多變數函數的最大值與最小值，並且這些變數需滿足某些限制式 (constraint)。例如，公司想要獲取最大利潤並使其花費在原定預算之內，或者某酒廠想要設計一個鋁罐希望所使用的材料最小但容量正好為500cc。 這類受制型極值的問題可使用拉氏乘子法 (Lagrange multiplier method)求解，這方法是法國數學家Joseph Louis Lagrange ( )所發明的。 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

34 求受制型的最大利潤 某家電公司，希望訂定最適當的標準型與豪華型洗碗機的生產數量，以獲取最大的利潤。若已知其利潤函數為 P(x, y) = 40x + 20y - x2 - y2 ,(元)，其中 x 與 y 分別表示標準型與豪華型洗碗機的每日產量。該公司每日的產能為20台洗碗機。 每日的產能為20台，可以寫成 x + y = 20 。在例中我們欲求 P(x, y) 的最大值，此 P(x, y) 稱為目標函數 (objective function)。產能受制於 (subject to, s.t.), x + y – 20 = 0 的限制式。問題可以寫成 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

35 拉氏乘子法 我們利用單變數函數的方法求得最大利潤。現在我們利用多變數函數的方法來求解。首先，我們引入一個新的變數 l，將此問題改寫成函數 L(x, y, l) 稱為拉氏函數 (Lagrange function)，為目標函數加上 l 乘以限制式： 拉氏函數有三個變數 x 、 y 與 l，我們分別對這三個變數求偏導數並令其為0： 聯立方程式解為 x = 15，y = 5， l = -10 因此 P(15, 5) 即為最大利潤。所引進的變數 l 稱為拉氏乘子 (Lagrange multiplier) 。 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

36 拉氏乘子法 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

37 拉氏乘子法 當利用拉氏乘子法找出臨界點後，這方法並未保證所找到的臨界點即為目標函數的最大值或最小值。
D 判別法， D = fxxfyy - (fxy)2，只適用於非受制型的極值問題，在解受制型的極值問題並不適用。 遇到受制型的極值問題時，我們必須確認最大值或最小值確實存在，也就是確定問題有答案，則解答必在由拉氏乘子法所求出的臨界點之中。 要如何確認所求的問題有解呢？事實上，大部分合理的應用問題都有解。 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

38 拉氏乘子法求最大面積 農夫想要沿著房子的一面牆圍一座矩形的畜欄，靠牆的這邊不需要柵欄，如果他只準備80公尺的柵欄，請問如何圍出最大的面積？
解:問題變為: 先寫出拉氏函數 求拉氏函數的偏導數令其為0： 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

39 拉氏乘子法求半徑與高 製罐公司設計容量為五公升的圓柱型鐵罐，希望使用最少的材料，求此鐵罐的半徑與高。
解:為使鐵罐所使用的材料為最少，就是要求鐵罐有最小的表面積。令半徑為 r ，高為 h ，則鐵罐的表面積為 A = 2p r2 + 2p rh 體積則為 V = p r2 h 。所以原問題變成： 拉氏函數為 求拉氏函數的偏導數令其為0： 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

40 拉氏乘子法求最大產能 某工廠預估其生產函數為 P(K, L) = 100K1/4 L3/4，其中 K 與 L 分別代表資本財與勞動力的單位數量。每單位的資本財成本為200元，每單位的勞動力成本為100元。若每小時所能使用的資本財及勞動力限制為8000元，求資本財與勞動力的配置數量使產能為最大。 解:原問題變成 令其偏導數為0： 拉氏函數為 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

41 拉氏乘子的意義 拉氏乘子 l 有極重要的意義，若我們將目標函數的單位稱為「目標單位」，限制式所使用的單位稱為「限制單位」，則 l 的意義如下。 |l| = 每增加額外一單位的限制單位可增加的目標單位的數量。 觀察農夫圍畜欄的例子，農夫總共有80公尺的柵欄，這是他的預算。因此 l 為每增加1公尺的材料畜欄所增加的面積。該例題的l = -20 ，表示每增加1公尺的材料則畜欄約增加20平方公尺。 設農夫現有81公尺的材料，他可以將長度 y 增加1公尺，用掉多出來的1公尺，面積就多出20平方公尺；他也可以將寬度增加0.5公尺，多出來的面積還是20平方公尺；但是如果我們以材料81公尺，使用拉氏乘子法重解，所得的答案為 x = 20.25，y = 40.5 ，A = (20.25)(40.5) = 其所增加的面積應為20.125平方公尺，這是我們前面解釋 l 時均宣「約」的原因。 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

42 受制型極值的幾何意義 求 解:拉氏函數為 L(x, y, l) = 16 – x2 – y2 + l(x + y – 2)
Lx = -2x + l = 0 Ly = -2y + l = 0 Ll = x + y – 2 = 0 目標函數 f(x, y) = 16 - x2 - y2 為開口向下的拋物面， 其最大值出現在 (0, 0, 16)。 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

43 求最大值與最小值 求函數 f(x, y) = 4xy 滿足 x2 + y2=50 的最大值與最小值。
解:拉氏函數為 L(x, y, l) = 4xy + l(x2 + y2 – 50) Lx = 4y + 2lx = 0 Ly = 4x + 2ly = 0 Ll = x2 + y2 – 50 = 0 即 y2 = x2，所以 y = x。代入 Ll = 0 ，得2x = 0。因此， x = 5，y = 5。 x = 5 與 y = 5 的組合，共可組成四個臨界點，如下表： 7-4 受制型極值與拉氏乘子法

44 最小平方法 本書使用許多數學模型描述利潤函數、生產函數與成本函數等函數。這些函數如何得到的？
例如Cobb-Douglas生產函數 P = aKbL1-b。如何決定 a 與 b 的值？這個問題稱為擬合曲線 (fitting curve)，就是尋找一個函數，使該函數的圖形與所收集資料呈現的圖形非常地擬合。 最簡單的問題為直線擬合 (fitting a straight line)，就是給予一組資料點 (x1, y1) , (x2, y2) , … , (xn, yn) 找到最「擬合」的直線方程式 y = ax + b ，最常使用的方法為 最小平方法 (method of least squares)。所求出的直線可用來描述資料的趨勢或作預測。 7-5 最小平方法

45 最小平方法 例如某公司三年的年銷售額(百萬元)，如下表所示。
如何找一條直線來擬合這三點。當然這三點並非完全在一條直線上，我們希望求出直線 y = ax + b 使之與這三點非常地接近。對於圖上的每個點 (xj, yj) 我們定義 ej 為其與直線的誤差，即 ej = yj – (axj + b) 使誤差平方和最小的直線，這直線就稱為最小平方直線 (least squares line)或迴歸線 (regression line)。 7-5 最小平方法

46 最小平方法 設有 n 個資料點 (x1, y1) , (x2, y2) , …, (xn, yn) ，且最佳擬合直線為 y = ax + b，則誤差的平方和為 首先，令 ，得 接著，令 ，得 7-5 最小平方法

47 最小平方法 由 可得 將 b 的表示法代入第一式，得 7-5 最小平方法

48 最小平方直線 給定 n 個資料點 (x1, y1) , (x2, y2) , …, (xn, yn) 其最小平方直線(迴歸線)為 y = ax + b ，其中 a 與 b 分別為 7-5 最小平方法

49 求最小平方直線 給定資料如下表： 求最小平方直線。 解: 7-5 最小平方法

50 求最小平方直線 某公司人事處統計該公司過去五年加入員工互助計畫的比例如下表： (a) 以最小平方法求最小平方直線。
(b) 利用此直線模型預測2002年與2004年參加的比率。 解:(a)首先我們將年度之值轉成1到5。 7-5 最小平方法

51 呈現曲線形態的資料點 最小平方法除了能擬合直線外也能擬合形式為 y = BeAx 的指數曲線，其曲線顯示於圖 。將 y = BeAx 兩邊取自然對數得 ln y = ln(BeAx) = ln B + ln eAx = ln B + Ax 我們令新變數 Y = ln y 與 b = ln B ，則 ln y = ln B + Ax 可改寫成 Y = Ax + b。 我們要擬合的直線是針對資料點 (x1, ln y1), (x2, ln y2) , … , (xn, ln yn) 。因此最小平方法仍能適用於此處的情形。 7-5 最小平方法

52 呈現曲線形態的資料點 自1960年以來的世界人口如下表，找出最適合這些資料的指數曲線，並預測2010年的世界人口數。
解:首先將年轉成1至4來表示。 1.列出 x 與 y 的值。 2.將 y 的值取自然對數 Y = ln y。 3.求 xY。 4.求 x 的平方。 5.取每欄的和( y 欄除外) 。 6.使用最小平方法公式計算 A 與 b。 7. 計算B = eb (因為 b = ln B )。 7-5 最小平方法

53 全微分 本節我們將定義多變數函數的全微分 (total differential)，用此全微分來估計獨立變數改變時，函數值改變的近似值。
單變數函數 f(x) 的微分 df ，其定義為 df = f '(x)dx。 定義7-5: 函數 f(x, y) 的全微分為 df = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy 這個全微分的定義也可以用  的記號表示： 當函數表示成 z = f(x, y) 時，全微分亦可寫成 7-6 全微分

54 求全微分 求函數 f(x, y) = 5x3 - 4xy + 2y2 的全微分。 解: 函數的偏導數為 所以全微分為
求函數 z = ln(x4 + y2) 的全微分。 解: 函數的偏導數為 所以全微分為 7-6 全微分

55 全微分近似公式 函數 f(x, y) 的值會隨著 x 與 y 的變動而改變，這個變動量 Df 可以經由改變後的值與原值相減而得：
Df = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) 對於獨立變數 x 與 y ，使用 D 或 d 表示這個變動，就是 Dx = dx 與 Dy = dy 但是，對於應變數，「D」與「 d 」所代表的意義並不同：D表示實際的變動，而 d 表示全微分。某些函數，計算實際的變動相當複雜。利用全微分可以很容易求出實際變動的近似值。 全微分近似公式: Df = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)  fx Dx + fy Dy = df 7-6 全微分

56 求變動量與全微分 設函數 f(x, y) = x3+ 5xy + y2，當 x = 2 與 y = 3，Dx = 0.1，D y = -0.2。求(a) Df (b) df。 解: (a)首先計算 x + Dx = 2.1，y + Dy = 2.8 實際變動量為 (b)全微分為 7-6 全微分

57 求近似值 利用全微分求 的近似值。 解:首先令 ，為求 f(3.02, 3.97) 的近似值，我們令 x = 3 ， y = 4 ，很容易計算f(3, 3) = 5 。 令Dx = 0.02，Dy = -0.03，可得 f(x + Dx, y + Dy) = f(3.02,3.97)。全微分為 利用df  Df，可得 7-6 全微分

58 Df 與 df 的幾何意義 函數 f(x, y) 的圖形在三度空間上是一個曲面，函數的變動量 Df 表示沿著曲面 P 移至另一點 Q 時高度的變動量，如圖所示。 全微分 df 表示沿著 P 點的某個平面移動至 R 的高度變化量，如圖。這個平面稱為曲面上 P 點的切面 (tangent plane)。 7-6 全微分

59 相對誤差與百分誤差 任何的測量都無法保證正確無誤。如果我們能預估出每個測量值的最大誤差，就可以用全微分來估算出最後計算值的誤差。這個誤差可以直接算出其實際誤差或表示成百分誤差 (percentage error)或相對誤差(relative error)。 若近似值表示成 ，真實值表示成 f(x, y)，則 近似值的百分誤差為 百分誤差= 近似值的相對誤差為 相對誤差= 7-6 全微分

60 估計百分誤差 計算圓柱體的體積需測量其半徑 r 與高 h，若這些測量值的最大誤差為1%，估計圓柱體體積的百分誤差。
解:半徑與高的誤差為1%表示 Dr = 0.01r Dh = 0.01h 圓柱體的體積 V = pr2h ，其全微分為 結果為 dV = 0.03V ，表示若半徑與高有1%的誤差，則體積的誤差可達3%。 7-6 全微分

61 估計誤差與相對誤差 一個紙箱的長寬高分別為30、26與12英吋。若其製造上的最大誤差分別為0.3、0.2與0.1英吋，估計其體積的誤差與相對誤差。 解:紙箱的體積為 V = xyz 。依題意求當 x = 30，y = 26 與 z = 12 在Dx = 0.3，Dy = 0.2，Dz = 0.1 時體積變動的近似值。V 之全微分為 體積誤差為243.6。 相對誤差= 。 7-6 全微分

62 「拉氏乘子」l 的意義 求目標函數 f(x, y) 的極值同時滿足限制式 g(x, y) = 0 。這個方法令函數 L(x, y, l) = f(x, y) + lg(x, y) 的偏導數為零然後解聯立方程式求出 x , y 與l 的值。首先令 L 的偏導數為0，得 若我們將 x 與 y 增加Dx 與Dy ，則目標函數的變動量可用全微分來近似之： 「拉氏乘子」l 的意義：每額外增加一單位的限制式單位可增加的目標單位的數量。 7-6 全微分

63 二重積分 單變數函數的定積分，定義為「近似和的極限」。當 f(x)  0 時這個近似和就是 xy 平面上圖形 y = f(x) 下的矩形面積和。 我們將定積分的定義推廣至兩個變數的情形稱為二重積分 (double integral)。同理二重積分也可視為曲面 z = f(x, y) 下的體積。 平面上，所有點 (x, y) ，a  x  b，c  y  d ，構成一個矩形區域 (rectangular region) R ，如右圖。 7-7 二重積分

64 二重積分 設 z = f(x, y) 為定義於 R 上的非負函數，其下方的圖形如上圖。
繪製平行於 x 軸與 y 軸距離為Dx 與Dy 的平行線將 R 分割成小矩形，想像小矩形延伸至曲面 z = f(x, y) 的長方體，利用這些長方體來近似曲面下的體積。 對於 xy 平面上每個矩形的點 (xi, yj) 而言，長方體的高為 f (xi, yj) ，所以長方體的體積為 f (xi, yj)DxDy (高乘長乘寬)如圖下所示。將這些長柱體的體積加起來即可得曲面下體積的近似值： 7-7 二重積分

65 二重積分 定義7-6: 設函數 f(x, y) 在矩形區域 R 連續，其二重積分為
由定義計算二重積分是非常困難的工作。二重積分可以分成二個「單獨的」積分依序來計算，即所謂的逐次積分 (iterated integral)，先針對一個變數求其積分這時將另一變數先視為常數。然後再對第二個變數執行積分的運算。 7-7 二重積分

66 求逐次積分 求 解: 使用括弧可以將二個積分的次序看得更清楚： 內部的積分為 代入原式對 y 積分 7-7 二重積分

67 求逐次積分 求 解:首先求內部對 y 積分： 代入原式對 x 積分
我們發現上例與本例的答案相同。當函數是連續的，對調積分的次序都得到相同的結果。 7-7 二重積分

68 二重積分的計算 定理7-1:若 f(x, y) 為連續函數，則 二重積分的計算:
其中 R = {(x, y)|a  x  b, c  y  d}。 7-7 二重積分

69 求二重積分 求 ，其中 R = {(x, y)|-1 x 1, 0 y 2}。 解: 首先由內部的積分開始 接著對 y 積分
7-7 二重積分

70 求曲面下的體積 一個現代化帳篷造型屋頂的建築依下圖所列之函數建造，為設計其空調系統需計算其體積。依據圖示的長寬求此建物的體積。
解: 所求的體積為函數在矩形區域 R 之上的二重積分： 內部的積分為 對 y 積分 7-7 二重積分

71 平均值 我們定義單變數函數在某區間的平均值為函數於該區間上的積分除以區間的長度。同理，二變數函數 f(x, y) 在某區域的平均值為函數於該區域的二重積分除以該區域的面積。 平均值: 7-7 二重積分

72 曲線圍成的區域上的二重積分 定理7-2(1): 設 R = {(x, y)|a  x  b, g1(x)  y  g2(x)}，其中 g1(x) 與 g2(x) 為 [a, b]區間上的連續函數，如下圖。 若 f(x, y) 在 R 上連續，則 7-7 二重積分

73 曲線圍成的區域上的二重積分 定理7-2(2): 設 R = {(x, y)|h1(y)  x  h2(y) , c  y  d}，其中 h1(x) 與 h2(x) 為 [c, d] 區間上的連續函數，如下圖。 若 f(x, y) 在 R 上連續，則 定理7-2(3): 若 f 為非負函數，則此二重積分皆為曲面下之體積。 7-7 二重積分

74 二重積分 求 解: 首先求內部的積分： 再來對 y 積分 7-7 二重積分

75 求曲面下體積 第 七 章 結 束 求曲面 f(x, y) = 12xy 定義於區域 R 上的體積，如下圖。 解: R 定義為
所以體積為下述二重積分 第 七 章 結 束 7-7 二重積分