郑州轻工业学院数学与信息科学系 第七章：参 数 估 计 概率统计教研组.

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1 郑州轻工业学院数学与信息科学系 第七章：参 数 估 计 概率统计教研组

2 统计推断是根据样本所提供的信息对总体的特性作出种种推断，参数估计是统计推断的重要问题之一
第七章 参 数 估 计 统计推断是根据样本所提供的信息对总体的特性作出种种推断，参数估计是统计推断的重要问题之一 它是在总体的分布类型已知时，利用观测数据对总体中的未知参数进行估计．本章学习总体参数的两种估计方法，点估计和区间估计．

3 第七章 参 数 估 计 【装配线的平衡问题】 使装配线达到平衡是一项重要的经营管理活动，主要目标是确保不同操作台的操作耗用近似相同的时间．如果装配线不平衡，操作员就会出现有时无事可做，有时忙不过来的现象．结果，产品堆积在费时的操作台上，影响整个装配线的效率．建立装配线，经常要使用各种管理科学工具，常常需要估计各个操作台的平均装配时间，以对装配线进行合理的调整．

4 第七章 参 数 估 计 【装配线的平衡问题】 下面随机记录了某装配线两个操作台各30次的装配时间(单位:分钟)，如何估计操作台的平均装配时间？它们的平均装配时间有无显著差异? X 2.27 1.87 1.93 2.25 1.21 1.66 1.64 1.73 2.41 1.95 2.12 1.82 2.09 1.05 2.04 2.32 2.57 2.07 1.36 2.18 1.86 2.61 1.24 2.05 1.76 2.11 1.74 Y 2.96 2.6 3.23 3.86 3.82 3.89 3.54 3.21 2.76 3.44 3.34 2.67 4.12 4.38 2.75 2.45 3.28 3.7 3.47 3.31 3.39 3.35 3.26 3.6 3.91 3.19 3.1

5 第七章 参 数 估 计 主要内容： §7.1 参数的点估计 §7.2 参数的区间估计 第七章：总 结

6 §7.1 参数的点估计 点估计问题的一般提法 【定义7.1】设总体X的分布函数F(x; 1, 2, …, m) 形式已知，但其中含有一个或多个未知参数：1, 2, , m， 又设X1，X2，…，Xn为总体的一个样本，x1，x2，…，xn是样本观测值，构造m个统计量： 用 的观测值 作为未知参数i的近似值的方法称为点估计法． 称 为未知参数i的估计量， 称 为未知参数i的估计值．

7 7.1.1 点估计问题的一般提法 进行点估计关键是构造统计量，不同的统计量得到的估计值是不同的. 下面介绍两种常用的点估计方法：
§7.1 参数的点估计 点估计问题的一般提法 进行点估计关键是构造统计量，不同的统计量得到的估计值是不同的. 下面介绍两种常用的点估计方法： 矩估计法和最大似然估计法

8 §7.1 参数的点估计 矩估计 【定义】用样本k阶矩来近似总体k阶矩，这种用样本矩去估计总体相应矩的方法，即是所谓的矩估计法．

9 7.1.2 矩估计 方法：设总体X的分布有m个参数1, 2, …,  m, 且总体的k阶矩k = E(X k)存在
§7.1 参数的点估计 矩估计 方法：设总体X的分布有m个参数1, 2, …,  m, 且总体的k阶矩k = E(X k)存在 (1) 计算出前m阶总体矩 (2) 用样本k阶矩近似相应的总体k阶矩的原则，即令 (3)解上述关于参数1, 2, ,m的方程组便得到参数的估计量 称为参数1, 2, ,m的矩估计量

10 7.1.2 矩估计 方法：设总体X的分布有m个参数1, 2, …,  m, 且总体的k阶矩k = E(X k)存在
§7.1 参数的点估计 矩估计 方法：设总体X的分布有m个参数1, 2, …,  m, 且总体的k阶矩k = E(X k)存在 (1) 计算出前m阶总体矩 (2) 用样本k阶矩近似相应的总体k阶矩的原则，即令 (3)如果样本观测值为x1, x2, …, xn，称 的观测值 为1, 2, ,m的矩估计值

11 7.1.2 矩估计 【例7-1】设总体X的均值 和方差 2都存在，但 和 2 均未知，求 和 2的矩估计量．
§7.1 参数的点估计 矩估计 【例7-1】设总体X的均值 和方差 2都存在，但 和 2 均未知，求 和 2的矩估计量． 解：设X1, X2, …, Xn为总体X的一个样本， 总体X的一阶、二阶矩分别为 用样本矩A1和A2分别代替总体矩1和2，得 解之

12 7.1.2 矩估计 【例7-1】设总体X的均值 和方差 2都存在，但 和 2 均未知，求 和 2的矩估计量．
§7.1 参数的点估计 矩估计 【例7-1】设总体X的均值 和方差 2都存在，但 和 2 均未知，求 和 2的矩估计量． 解：设X1, X2, …, Xn为总体X的一个样本， 总体X的一阶、二阶矩分别为 用样本矩A1和A2分别代替总体矩1和2，得 解之

13 7.1.2 矩估计 【评注】对任意总体X, 其均值和方差 2的矩估计都分别: 常用分布中参数的矩估计：
§7.1 参数的点估计 矩估计 【评注】对任意总体X, 其均值和方差 2的矩估计都分别: 常用分布中参数的矩估计： (1) X~B(n, p)(n已知): (2) X~P(): (3) X~U(0,b): (4) X~Exp(): (5) X~N(,2):

14 §7.1 参数的点估计 矩估计 【例7-2】设一大批产品的合格率是p，每次从中抽出10 件进行检验，共抽15次，每次抽出的10件中合格品的个 数记录如下，求合格率p的矩估计值． 解：用Xi表示第i次抽出的10件中合格品的个数，i = 1, 2, …, 15, 则可以认为X1，X2，…，X15独立同分布，是来 自二项分布总体X～B(10，p)的样本． 由于 为E(X)=10p的矩估计量，所以p的矩估计值为：

15 §7.1 参数的点估计 矩估计 【例7-3】设总体X的概率密度为 其中θ(θ>– 1)为待估参数，X1，X2，…，Xn为总体的一个样本，求θ的矩估计量． 解：由于只有一个待估参数，只需写出总体的一阶矩 用A1代替1，得θ的矩估计量为

16 7.1.3 最大似然估计 【最大似然思想】 【例】有个两外形相同的箱子，各装100个球： 第一箱 99个白球 1个红球
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【最大似然思想】 【例】有个两外形相同的箱子，各装100个球： 第一箱 99个白球 个红球 第二箱 1个白球 个红球 现从两箱中任取一箱，并从箱中任取一球，结果所取得的球是白球，试估计所取到的球来自哪一箱？ 答案是第一箱．因为第一箱更有利于白球的出现．这种思考问题的方法，称为最大似然思想

17 7.1.3 最大似然估计 【最大似然估计法】 若X1, X2, …, Xn为总体X的一个样本
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【最大似然估计法】 若X1, X2, …, Xn为总体X的一个样本 当样本观测值x1, x2 ,…, xn出现时, 若要估计总体X中的未知参数θ, 自然要选取使x1, x2,…, xn出现的“概率”达到最大的作为θ的估计值了

18 7.1.3 最大似然估计 若X是离散型总体，其分布律为P{X = x} = P(x; θ)， x1, x2 ,…, xn出现的概率是
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 若X是离散型总体，其分布律为P{X = x} = P(x; θ)， x1, x2 ,…, xn出现的概率是 (7.1) 于是，θ的估计值 应为L(θ)最大值点，即 其中为θ的取值范围． 称这样得到的 为θ的最大似然估计值 称为θ的最大似然估计量．

19 7.1.3 最大似然估计 若X是连续型总体，其概率密度为f (x; θ)，由于 (7.2)
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 若X是连续型总体，其概率密度为f (x; θ)，由于 (7.2) 刻画了X1，X2，…，Xn在x1，x2，…，xn附近小邻域内出现概率，于是θ的估计值也应为L(θ)最大值点，即 其中 为 的取值范围． 称此 为θ的最大似然估计值， 称 为 的最大似然估计量． 称(7.1)和(7.2)式是基于x1，x2 ，…，xn的似然函数．

20 7.1.3 最大似然估计 求最大似然估计值就是求似然函数L(θ) 的最大值点
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 求最大似然估计值就是求似然函数L(θ) 的最大值点 【步骤】(1) 求似然函数L(θ) = L(x1, x2 ,…, xn; θ)或 对数似然函数lnL(θ) = lnL(x1, x2 ,…, xn; θ) (2) 求似然函数L(θ) = L(x1, x2 ,…, xn; θ)的最大值点或 对数似然函数lnL(θ) = lnL(x1, x2 ,…, xn; θ)的最大值点 方法：在似然函数可微的情况下，解方程 （7.3) 或 (7.4) 似然方程 对数似然方程

21 7.1.3 最大似然估计 上述方法同样适用于总体分布中含有多个为知参数θ1，θ2，…，θm的情形．此时，只需要求出似然函数 或者对数似然函数
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 上述方法同样适用于总体分布中含有多个为知参数θ1，θ2，…，θm的情形．此时，只需要求出似然函数 或者对数似然函数 的最大值点就可以了．

22 7.1.3 最大似然估计 【例7-4】总体X服从参数为的泊松分布，（ > 0）未 知，求参数的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-4】总体X服从参数为的泊松分布，（ > 0）未 知，求参数的最大似然估计量． 解：设X1, X2,…, Xn是来自X的样本，x1, x2,…, xn是样本观测值．由于X的分布律为 故基于x1, x2,…, xn的似然函数为 对数似然函数为

23 7.1.3 最大似然估计 【例7-4】总体X服从参数为的泊松分布，（ > 0）未 知，求参数的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-4】总体X服从参数为的泊松分布，（ > 0）未 知，求参数的最大似然估计量． 解：对数似然函数为 对数似然方程为 解之得 由于 所以的最大似然估计值和最大似然估计量分别为为

24 7.1.3 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量． 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，x1，x2，…，xn是样本观测值．似然函数为 当0<x1, x2, … , xn<1时，

25 7.1.3 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量． 解：当0<x1, x2, … , xn<1时， 令 解得 由于

26 7.1.3 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量． 解：当0<x1, x2, … , xn<1时， 令 解得 所以，θ的最大似然估计值为

27 7.1.3 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-5】设总体X的概率密度为 其中θ(θ > – 1)为待估参数，求θ的最大似然估计量． 解：当0<x1, x2, … , xn<1时， 令 解得 所以，θ的最大似然估计量为

28 7.1.3 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量． 解：设x1，x2，…，xn是总体X的样本观测值．由于X的概 率密度为 故似然函数为

29 7.1.3 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量． 解：故似然函数为
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量． 解：故似然函数为 对数似然函数

30 7.1.3 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量． 解：对数似然函数
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量． 解：对数似然函数 对数似然方程组

31 7.1.3 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量． 解：解对数似然方程组，即得 可以验证，当 时lnL(,  2)达到最大值．  和 2的最大似然估计量分别为

32 7.1.3 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-6】设X1，X2，…，Xn是N (， 2)的样本，求与  2的的最大似然估计量． 解： 和 2的最大似然估计量分别为 所以，对于正态分布总体来说， 和 2的最大似然估计与矩估计是相同的． 在求参数的最大似然估计时，有时不需要建立似然方程或对数似然方程，直接观察似然函数就很容易得到其最大值点，从而得到参数的最大似然估计。

33 7.1.3 最大似然估计 【例7-7】求均匀分布X～U[a, b]中参数a，b的最大似然 估计量．
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-7】求均匀分布X～U[a, b]中参数a，b的最大似然 估计量． 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，x1，x2，…，xn是样本观测值． 由于X的概率密度是 基于x1，x2，…，xn的似然函数为 (7.5)

34 7.1.3 最大似然估计 【例7-7】求均匀分布X～U[a, b]中参数a，b的最大似然 估计量． 解：基于x1，x2，…，xn的似然函数为
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-7】求均匀分布X～U[a, b]中参数a，b的最大似然 估计量． 解：基于x1，x2，…，xn的似然函数为 (7.5) 根据最大似然估计的定义, 和 应使L(a,b)达到最大值. 因此 要尽可能小， 要尽可能大， 但在 的约束下，只能取

35 7.1.3 最大似然估计 【例7-7】求均匀分布X～U[a, b]中参数a，b的最大似然 估计量． 解：基于x1，x2，…，xn的似然函数为
§7.1 参数的点估计 最大似然估计 【例7-7】求均匀分布X～U[a, b]中参数a，b的最大似然 估计量． 解：基于x1，x2，…，xn的似然函数为 (7.5) 根据最大似然估计的定义, 和 应使L(a,b)达到最大值. 因此 要尽可能小， 要尽可能大， 所以，最大似然估计量为

36 7.1.4 估计量的评价标准 从上面的内容我们已经看到，同一参数的估计量不是唯一的，不同的估计方法求出的估计量可能不一样．
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 从上面的内容我们已经看到，同一参数的估计量不是唯一的，不同的估计方法求出的估计量可能不一样． 如例7-3与例7-5中θ的矩估计与极大似然估计是不一样 有时甚至用同一方法也可能得到不同的统计量． 例如，设总体X服从参数为 的泊松分布，即 由于 和B2分别是E(X) = 和D(X) =  的矩估计量，于是得到 的两个不同的矩估计量 和

37 7.1.4 估计量的评价标准 既然估计量不是唯一的，那么，究竟孰优孰劣就要有一个评价标准．评价估计量的好坏一般从以下三个方面考虑：
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 既然估计量不是唯一的，那么，究竟孰优孰劣就要有一个评价标准．评价估计量的好坏一般从以下三个方面考虑： 有无系统偏差；波动性的大小；当样本容量增大时是否越来越精确． 这些就是估计量的无偏性，有效性和相合性

38 7.1.4 估计量的评价标准 1. 无偏性 设 是θ的一个估计量，一般地，将 称为用 估计θ的系统误差．
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 1. 无偏性 设 是θ的一个估计量，一般地，将 称为用 估计θ的系统误差． 【定义7.2】 设 是参数θ的一个估计量，若 则 称是θ的无偏估计量． 无偏性反映了估计量的取值在真值θ周围摆动，其平均值是真值θ．显然，我们希望一个估计量要具有无偏性

39 7.1.4 估计量的评价标准 1. 无偏性 根据定理6.1，对任意总体X，有 即样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计量 而
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 1. 无偏性 根据定理6.1，对任意总体X，有 即样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计量 而 所以，B2不是总体方差D(X)的无偏估计 将S2看作对B2的修正．由于它具有无偏性，在实际应用中常被采用．

40 7.1.4 估计量的评价标准 1. 无偏性 【例7-8】求证：样本标准差S不是总体标准差 的无偏 估计． 证：因为 即 又因 所以
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 1. 无偏性 【例7-8】求证：样本标准差S不是总体标准差 的无偏 估计． 证：因为 即 又因 所以 故一般来说，S不是 的无偏估计．

41 7.1.4 估计量的评价标准 2. 有效性 同一个参数的无偏估计可以有很多，那一个较好一些呢 设 是参数θ的无偏估计量，即
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 2. 有效性 同一个参数的无偏估计可以有很多，那一个较好一些呢 设 是参数θ的无偏估计量，即 无偏性说明估计量的取值在参数θ的真值周围摆动，显然，这种摆动范围越小越好，而的方差 反映了这种摆动的范围．因此，同一个参数的多个无偏估计量中方差小者较好．于是有下面定义

42 7.1.4 估计量的评价标准 2. 有效性 【定义7.3】 设 和 都是参数θ的无偏估计，若 则称无偏估计 比 有效．
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 2. 有效性 【定义7.3】 设 和 都是参数θ的无偏估计，若 则称无偏估计 比 有效． 例如，设总体X～N(， 2)的方差存在，X1, X2 ,…, Xn（n > 2）为总体X的一个样本， 均为 的无偏估计

43 7.1.4 估计量的评价标准 2. 有效性 【定义7.3】 设 和 都是参数θ的无偏估计，若 则称无偏估计 比 有效．
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 2. 有效性 【定义7.3】 设 和 都是参数θ的无偏估计，若 则称无偏估计 比 有效． 例如，设总体X～N(， 2)的方差存在，X1, X2 ,…, Xn（n > 2）为总体X的一个样本， 而

44 7.1.4 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，概率密度 为
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，概率密度 为 其中θ > 0未知，X1, X2, …, Xn为总体X的一个样本，证 和 都是θ的无偏估计, 比较谁更有效 解：因为 而 所以 故 是θ的无偏估计．

45 7.1.4 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，证 和 都是θ的无偏估计, 比较谁更有效 解：设
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，证 和 都是θ的无偏估计, 比较谁更有效 解：设 其概率密度为 这是参数为 的指数分布，故知

46 7.1.4 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，证 和 都是θ的无偏估计, 比较谁更有效
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，证 和 都是θ的无偏估计, 比较谁更有效 解：Z是参数为 的指数分布，故知 所以 也是θ的无偏估计． 由于 所以，

47 7.1.4 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，证 和 都是θ的无偏估计, 比较谁更有效 解：
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 2. 有效性 【例7-9】设总体X服从参数为θ的指数分布，证 和 都是θ的无偏估计, 比较谁更有效 解： Z是参数为 的指数分布，故知 所以， 从而，

48 7.1.4 估计量的评价标准 3. 相合性 总体参数θ的估计量是样本的函数，随着样本容量的增加，的值应该越来越接近真值θ，于是有：
§7.1 参数的点估计 估计量的评价标准 3. 相合性 总体参数θ的估计量是样本的函数，随着样本容量的增加，的值应该越来越接近真值θ，于是有： 【定义7.4】设 是参数θ的一个估计量 若 依概率收敛于θ，即对任意的ε > 0，有 则称 是参数θ的相合估计量，或者一致估计量．

49 7.2.1 区间估计的一般步骤 与点估计不同的是，区间估计不是给出的参数的一个具体值，而是给出覆盖参数的一个区间．为什么要引入区间估计呢？
§7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 与点估计不同的是，区间估计不是给出的参数的一个具体值，而是给出覆盖参数的一个区间．为什么要引入区间估计呢？ 这是因为在使用点估计时，仅仅是给出未知参数的一个近似值，既没有反映出这个近似值的误差范围，也没有给出估计值的可信程度，使用起来感觉把握不大．

50 §7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 在某些应用问题中，给出估计的误差范围和可信度是人们所感兴趣的，例如，某工厂欲对出厂的一批电子元件的平均寿命进行估计，强调以一定的可信程度(比如95%)估计平均寿命的范围，这里可信程度是很重要的，它涉及到使用这些电子元件的可靠性．应该如何进行估值呢？ 显然，仅采用点估计是不能达到目的，这就需要引入区间估计

51 7.2.1 区间估计的一般步骤 简单地说，区间估计是用两个统计量 所确定的区间 作为参数θ取值范围的估计
§7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 简单地说，区间估计是用两个统计量 所确定的区间 作为参数θ取值范围的估计 首先，这个估计必须有一定的精度，即是说不能太大，太大不能说明任何问题；第二，这个估计必须有一定的可靠性，因此又不能太小，太小难以保证这一要求． 比如用区间(1，100)去估计某人的年龄，虽然很可信，却不能带来任何有用的信息；反之，若用区间(30，31)去估计某人的岁数，虽然提供了关于此人年龄的信息，却很难使人相信这一结果的正确性．

52 §7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 我们希望既能得到较高的精度，又能得到较高的可靠性．但在获得的信息一定（如样本容量固定）的情况下，这两者一般是不可能同时达到最理想的状态． 通常是采取将可靠性固定在某一需要的水平上，求得精度尽可能高的估计区间．下面给出区间估计的定义．

53 §7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 【定义7.5】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，θ为总体X的未知参数，对给定的  (0，1)，如果有两个统计量 和 满足 (7.6) 则称区间 是θ的一个区间估计或置信区间， 分别称作置信下限、置信上限，1 –  称为置信水平或置信度．

54 7.2.1 区间估计的一般步骤 说明： (1) 是和样本有关的随机区间，是说随机区间 以1 –  的概率覆盖了未知参数θ的真值
§7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 说明： (1) 是和样本有关的随机区间，是说随机区间 以1 –  的概率覆盖了未知参数θ的真值 （因θ是未知的常数，不能说θ落入 的概率为1 – ） (2) 区间长度描述了估计的精度，置信水平1 –  是描述了估计的可靠性．一般而言，区间长度越小，估计的精度越高；置信水平1 –  越大，估计的可靠性越高．

55 7.2.1 区间估计的一般步骤 在实际应用上，可以这样来理解置信水平1 – ：
§7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 在实际应用上，可以这样来理解置信水平1 – ： 因为 是和样本有关的随机区间，若取100个容量为n的样本，用相同方法就会得到100个置信区间： 如果1 –  = 95%，那么，其中有95个区间包含了真参数θ，有5个区间不包含真参数． 因此，当我们实际上取一个样本进行区间估计时，有理由认为所得置信区间包含了真参数，但这样判断可能会犯错误，犯错误的概率只有5%．

56 7.2.1 区间估计的一般步骤 另外，当总体X为离散型随机变量时，不一定能找到 使得 恰好等于1 – ，这时我们去找
§7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 另外，当总体X为离散型随机变量时，不一定能找到 使得 恰好等于1 – ，这时我们去找 使 大于1 – 且尽可能接近1 – ．所以，有些教材上把(7.6)式写成 的形式．

57 7.2.1 区间估计的一般步骤 【区间估计的步骤】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，θ为总体X的未知参数．
§7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 【区间估计的步骤】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，θ为总体X的未知参数． (1) 选择一个包含样本和待估参数θ（不能再有其他未知参数），且分布为已知的函数（称为枢轴量）； (2) 对给定的置信水平1 – ，确定常数a，b使得 (3) 将上式改写为

58 7.2.1 区间估计的一般步骤 【区间估计的步骤】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，θ为总体X的未知参数． (3) 将上式改写为
§7.2 参数的区间估计 区间估计的一般步骤 【区间估计的步骤】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，θ为总体X的未知参数． (3) 将上式改写为 于是得到θ的置信水平为1 –  的置信区间. 求区间估计的核心在于求枢轴量，一般分布的枢轴量是比较难确定的，因此我们主要考虑总体为正态分布时参数的区间估计．

59 §7.2 参数的区间估计 正态总体均值的区间估计 设X1，X2，…，Xn为X～N(，2)的样本，对给定的置信水平1 – ，0 <  < 1，我们来研究参数 的区间估计． 1. 2已知时， 的置信区间 由于 是 的无偏估计，且有 容易想到将 作为求 的置信区间的枢轴量．

60 7.2.2 正态总体均值的区间估计 1. 2已知时， 的置信区间 选择枢轴量 由图7.1知 即
§7.2 参数的区间估计 正态总体均值的区间估计 1. 2已知时， 的置信区间 选择枢轴量 由图7.1知 即 所以，得到 的一个置信水平为1-的置信区间 或记作 图 7.1

61 7.2.2 正态总体均值的区间估计 2. 2未知时， 的置信区间 由定理6.3知， 选用枢轴量 由图7-2，类似上面的过程，
§7.2 参数的区间估计 正态总体均值的区间估计 2. 2未知时， 的置信区间 由定理6.3知， 选用枢轴量 由图7-2，类似上面的过程， 可以得到 的一个置信水平为 1 – 的置信区间 图 7.2

62 §7.2 参数的区间估计 正态总体均值的区间估计 【例7-10】某饮料自动售货机的杯装饮料重量近似服从 正态分布，标准差为15ml，若随机抽查的36杯饮料的平 均重量为225ml，求自动售货机杯装饮料平均重量的 95%的置信区间． 解：用X表示该自动售货机杯装饮料的重量， 设X～N(，2)．由于 = 15已知，所以， 的置信水平为1 – 的置信区间可由 求出

63 §7.2 参数的区间估计 正态总体均值的区间估计 【例7-10】某饮料自动售货机的杯装饮料重量近似服从 正态分布，标准差为15ml，若随机抽查的36杯饮料的平 均重量为225ml，求自动售货机杯装饮料平均重量的 95%的置信区间． 解： 其中 = 15， n = 36， = 0.05， 查表得z0.05 / 2 = z = 1.96． 代入上面置信区间的公式得 的置信水平为95%的置信区间为(220.1，229.9)．

64 §7.2 参数的区间估计 正态总体均值的区间估计 【例7-11】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中抽取16只，测得寿命（单位：小时）如下所示： 求该灯泡平均使用寿命的置信水平为90%、95%及99% 的置信区间，并指出置信区间长度与置信水平的关系． 解：用X表示灯泡的寿命，设X～N(，2)，由于2未知，应用下式计算 的置信区间．

65 7.2.2 正态总体均值的区间估计 【例7-11】置信水平为90%、95%、99%的置信区间 解：置信区间为 其中，n=16,
§7.2 参数的区间估计 正态总体均值的区间估计 【例7-11】置信水平为90%、95%、99%的置信区间 解：置信区间为 其中，n=16, 分别取 = 0.1， = 0.05， = 0.01，查表得t0.05(15) = ，t0.025(15) = ，t0.005(15) = ． 计算得到灯泡平均使用寿命 的90%、95%及99%的置信区间分别为( ， )、( ， )和( ， )，其长度分别为21.7，26.4和36.48． 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长．

66 【实验7.1】用Excel计算例7.11中的置信区间 实验准备： §7.2 参数的区间估计 A B C D E 1 x n = 16 2
§7.2 参数的区间估计 【实验7.1】用Excel计算例7.11中的置信区间 实验准备： A B C D E 1 x n = 16 2 1510 1480 1490 3 1450 s2 = 4 1530 1-a = 0.99 5 1460 1470 ta/ 2(n-1) = 6 1520 1500 置信区间 7 a 8 0.05 1503.2 9 =AVERAGE(A2:B9) =VAR(A2:B9) =TINV(1-E4,E1-1) =E$2+SQRT(E$3/E$1)*E$5

67 §7.2 参数的区间估计 【实验7.1】用Excel计算例7.11中的置信区间 实验结果：

68 §7.2 参数的区间估计 正态总体方差的区间估计 设X1，X2，…，Xn为X～N(，2)的样本，对给定的置信水平1 – ，0 <  < 1，我们来研究参数2的区间估计． 1.  已知时，2的置信区间 由于X～N(, 2)，所以， 取枢轴量

69 7.2.3 正态总体方差的区间估计 1.  已知时，2的置信区间 取枢轴量 对给定的置信水平1 – ，
§7.2 参数的区间估计 正态总体方差的区间估计 1.  已知时，2的置信区间 取枢轴量 对给定的置信水平1 – ， 2的置信水平为1 – 置信区间为：

70 7.2.3 正态总体方差的区间估计 2.  未知时，2的置信区间 由定理6.3知， 取枢轴量
§7.2 参数的区间估计 正态总体方差的区间估计 2.  未知时，2的置信区间 由定理6.3知， 取枢轴量 类似 已知的情形，容易得到2的一个置信水平为1 –  的置信区间为 或

71 §7.2 参数的区间估计 正态总体方差的区间估计 【例7-12】根据例7-11中灯泡使用寿命的观测数据，求 该种灯泡使用寿命的方差的置信水平为95%的置信区间 解：用X表示灯泡的寿命，设X～N(，2)． 由于 未知，应用下式计算 2的置信区间 其中n=16，

72 §7.2 参数的区间估计 正态总体方差的区间估计 【例7-12】根据例7-11中灯泡使用寿命的观测数据，求 该种灯泡使用寿命的方差的置信水平为95%的置信区间 解：由于 未知，应用下式计算 2的置信区间 取 = 0.05，查表得， 代入公式，计算得到灯泡使用寿命方差的置信水平为95%的置信区间为(334.69， )．

73 7.2.3 正态总体方差的区间估计 【实验7.2】用Excel计算例7.12中 2的置信区间. 实验准备： §7.2 参数的区间估计 A
§7.2 参数的区间估计 正态总体方差的区间估计 【实验7.2】用Excel计算例7.12中 2的置信区间. 实验准备： A B C D E 1 x n = 16 2 1510 1480 1490 3 1450 s2 = 4 1530 = 0.05 5 1460 1470 6 1520 1500 7 8 置信区间 334.69 9 CHIINV(E4/2,E1-1) =(E1-1)*E3/E5 =(E1-1)*E3/E6

74 §7.2 参数的区间估计 正态总体方差的区间估计 【实验7.2】用Excel计算例7.12中 2的置信区间. 实验结果：

75 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间 由定理6.4知, 取枢轴量
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间 由定理6.4知, 取枢轴量 对给定的置信水平1 – ，由标准正态分布上 分位点的定义，易知

76 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间 对给定的置信水平1 – ，由标准正态分布上 分位点的定义，易知 即

77 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间 于是，我们得到1 – 2的一个置信水平为1 –  的置信区间

78 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 1. 12和22已知时，1–2的置信区间 于是，我们得到1 – 2的一个置信水平为1 –  的置信区间 值得一提的是，实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的，在两个样本容量都比较大的情况下(n1, n2 30),一般采用两个样本方差S12和S22近似代替12和22, 于是, 1 – 2的一个置信水平为1–  的置信区间可以由近似得到．

79 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 2. 12和22未知，但知12 = 22 = 2时，1 – 2的置信 区间
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 2. 12和22未知，但知12 = 22 = 2时，1 – 2的置信 区间 由定理6.4，当12 = 22 = 2时， 其中

80 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 2. 12和22未知，但知12 = 22 = 2时，1 – 2的置信 区间 取枢轴量
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 2. 12和22未知，但知12 = 22 = 2时，1 – 2的置信 区间 取枢轴量 易知，1 – 2的一个置信水平为1 –  的置信区间为

81 §7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 【例7-13】一个消费者团体想要弄清楚使用普通无铅汽 油和高级无铅汽油的汽车在行驶里程数上的差异．该团 体将同一品牌的汽车分成数量相同的两组，并以一箱汽 油为准对每辆汽车进行检验． 50辆汽车注入普通无铅汽油，50辆汽车注入高级无铅汽 油．普通无铅汽油组的样本均值是21.45英里，样本标准 差是3.46英里．高级无铅汽油组的样本均值是24.6英里， 样本标准差是2.99英里． 假设汽车行驶里程数服从正态分布．构造一个95%的置 信区间来估计使用普通无铅汽油和使用高级无铅汽油的 汽车在平均行驶里程数上的差异．

82 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 解：设X，Y分别表示使用普通无铅汽油和高级无铅汽油的汽车行驶里程数，且
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 解：设X，Y分别表示使用普通无铅汽油和高级无铅汽油的汽车行驶里程数，且 X～N(1，12)，Y～N(2，22)． 由于n1, n2比较大，故采用 近似计算1 – 2的置信区间．由题设知，  = 0.05，查表知 ，

83 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 解：设X，Y分别表示使用普通无铅汽油和高级无铅汽油的汽车行驶里程数，且
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 解：设X，Y分别表示使用普通无铅汽油和高级无铅汽油的汽车行驶里程数，且 X～N(1，12)，Y～N(2，22)． 由于n1, n2比较大，故采用 将已知数据代入计算得到1 – 2的置信水平为95%的置信区间为(–4.42，–1.88)．

84 §7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 【例7-14】为了比较甲、乙两类试验田的收获量，随机 抽取甲类试验田8块, 乙类试验田10块, 测得收获量如下 假定两类试验田的收获量都服从正态分布且方差相等, 求均值之差1 – 2的置信水平为0.95的置信区间(单位:kg) 解：由于总体方差相等但未知，可采用 计算1 – 2的置信区间. 由两类试验的观测数据计算得 甲类 12.6 10.2 11.7 12.3 11.1 10.5 10.6 12.2 乙类 8.6 7.9 9.3 10.7 11.2 11.4 9.8 9.5 10.1 8.5

85 §7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 【例7-14】为了比较甲、乙两类试验田的收获量，随机 抽取甲类试验田8块, 乙类试验田10块, 求均值之差1 – 2 的置信水平为0.95的置信区间(单位:kg) 解：

86 §7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 【例7-14】为了比较甲、乙两类试验田的收获量，随机 抽取甲类试验田8块, 乙类试验田10块, 求均值之差1 – 2 的置信水平为0.95的置信区间(单位:kg) 解： 查t分布分位数表知t/2(n1+n2 – 2) = t0.025(16) = ． 故得1 – 2的置信水平为0.95的置信区间为(11.4 – 9.7   0.508) = (0.62，2.78)．

87 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 【实验7.3】用Excel计算例7.14均值差1–2的置信区间 实验准备:
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 【实验7.3】用Excel计算例7.14均值差1–2的置信区间 实验准备: A B C D E F 1 x y n = 8 10 2 13 8.6 11.4 9.7 3 7.9 s2 = 0.85 1.38 4 12 9.3 a = 0.05 5 11 2.12 6 Sw = 1.07 7 9.8 置信区间 0.62 2.78 9 9.5 8.5 TINV(E4,E1+F1-2) =SQRT(((E1-1)*E3+(F1-1)*F3)/(E1+ =(E2-F2-E5*E6*SQRT(1/

88 7.2.4 两正态总体均值差的区间估计 【实验7.3】用Excel计算例7.14均值差1–2的置信区间 实验结果:
§7.2 参数的区间估计 两正态总体均值差的区间估计 【实验7.3】用Excel计算例7.14均值差1–2的置信区间 实验结果:

89 §7.2 参数的区间估计 两正态总体方差比的区间估计 设X1, X2, …, Xn为来自总体X ～ N(1, 12)的样本， Y1, Y2, …, Yn为来自总体Y ～ N(2, 22)的样本，两个样本相互独立，又设 和 分别为两个样本的样本均值，S12和S22分别是两个样本的样本方差．对给定的置信水平1 – ，0 <  < 1，我们来研究参数的区间估计． 仅对1，2未知的情况，求 的置信区间． 由定理6.4知,

90 §7.2 参数的区间估计 两正态总体方差比的区间估计 取枢轴量 对给定的置信水平1 – ，由F分布上 分位点的定义知， 即

91 §7.2 参数的区间估计 两正态总体方差比的区间估计 于是，我们就得到 的一个置信水平为1 –  的置信区间

92 §7.2 参数的区间估计 两正态总体方差比的区间估计 【例7-15】设以X，Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香 烟的焦油含量(单位：mg), 且X～N(1，12)，Y～N(2， 22)，1，2，1，2均未知，下面是两个独立的样本： 求 的置信水平为95%的置信区间． 解：由于1和2未知，可采用下式计算 的置信区间 X 0.9 1.1 0.1 0.7 0.3 0.8 1.0 0.4 Y 1.5 1.6 0.5 1.4 1.9 1.2 1.3 2.1

93 §7.2 参数的区间估计 两正态总体方差比的区间估计 【例7-15】X～N(1，12)，Y～N(2，22)，1，2，1， 2均未知，下面是两个独立的样本： 求 的置信水平为95%的置信区间． 解：由题得n1=9, s12=0.11, n2=11, s22=0.2085,  = 0.05 查F分布的分位数表知 F0.025(8,10) = 3.85， F0.975(8,10) = 1/F0.025(8, 10)=1/4.3=0.23 故得的置信水平为0.95的置信区间为(0.1475, ) X 0.9 1.1 0.1 0.7 0.3 0.8 1.0 0.4 Y 1.5 1.6 0.5 1.4 1.9 1.2 1.3 2.1

94 7.2.6 单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限．
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限． 例如，购买化学药品时，我们所关心的是化学药品中杂质含量平均值最多是多少，即“上限”；而购买电子产品时更关心的是它们的平均使用寿命至少是多少，即“下限”． 这就引出了单侧置信区间的概念．

95 7.2.6 单侧置信区间 【定义7.6】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，对 于总体X的未知参数θ，如果有两个统计量
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 【定义7.6】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，对 于总体X的未知参数θ，如果有两个统计量 对给定的  (0，1), (1) 若有 则称区间 是θ的一个置信水平为1 –  的单侧置信区间，称为单侧置信上限．

96 7.2.6 单侧置信区间 【定义7.6】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，对 于总体X的未知参数θ，如果有两个统计量
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 【定义7.6】设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，对 于总体X的未知参数θ，如果有两个统计量 对给定的  (0，1), (2) 若有 则称区间 是θ的一个置信水平为1 –  的单侧置信区间，称为单侧置信下限．

97 §7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求法类似，下面仅给出求正态总体均值和方差的单侧置信区间的部分过程，其他各种情况只将结果列入表7-1． 设X1, X2 ,…, Xn为X～N(，2)的样本，对给定的置信水平1–，0 <  < 1，我们来分别研究参数，2的单侧置信区间．

98 7.2.6 单侧置信区间 (1)  2未知时， 的单侧置信区间 由于枢轴量 对给定的置信水平1 – ，如图7-9有 即
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 (1)  2未知时， 的单侧置信区间 由于枢轴量 对给定的置信水平1 – ，如图7-9有 即 图7-9

99 7.2.6 单侧置信区间 (1)  2未知时， 的单侧置信区间
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 (1)  2未知时， 的单侧置信区间 根据定义7.6，我们就得到了 的一个置信水平为1 –  的单侧置信区间  的置信水平为1 –  的单侧置信上限为

100 7.2.6 单侧置信区间 (1)  2未知时， 的单侧置信区间 考虑， 如图7-10易知， 的另一个置信
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 (1)  2未知时， 的单侧置信区间 考虑， 如图7-10易知， 的另一个置信 水平为1 –  的单侧置信区间为 置信下限为， 图7-10

101 7.2.6 单侧置信区间 (2)  未知时， 2的单侧置信区间 由于枢轴量 对给定的置信水平1 – ，如图7- 11有 即
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 (2)  未知时， 2的单侧置信区间 由于枢轴量 对给定的置信水平1 – ，如图7- 11有 即 图7-11

102 7.2.6 单侧置信区间 (2)  未知时， 2的单侧置信区间 于是，得到了 2的一个置信水平为1 –  的单侧置信区间 即
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 (2)  未知时， 2的单侧置信区间 于是，得到了 2的一个置信水平为1 –  的单侧置信区间 即

103 7.2.6 单侧置信区间 (2)  未知时， 2的单侧置信区间 考虑， 如图7-12所示，易知， 2的
§7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 (2)  未知时， 2的单侧置信区间 考虑， 如图7-12所示，易知， 2的 另一个置信水平为1 –  的单侧 置信区间为 图7-12

104 §7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 (2)  未知时， 2的单侧置信区间 即

105 §7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 【例7-16】从一批汽车轮胎中随机地取16只做磨损试验， 记录其磨坏时所行驶路程(单位：km)，算得样本均值， 样本标准差s = 6346．设此样本来自正态总体X～N(， 2)，， 2均未知，问该种轮胎平均行驶路程至少是多 少(置信水平95%)？ 解：由于X～N(，2)且， 2均未知，轮胎平均行驶路程的单侧置信下限可由下面公式计算得到 其中，s = 6346, n = 16,  = 0.05, t(n – 1) = t0.05(15) = 1.753

106 §7.2 参数的区间估计 单侧置信区间 【例7-16】从一批汽车轮胎中随机地取16只做磨损试验， 记录其磨坏时所行驶路程(单位：km)，算得样本均值， 样本标准差s = 6346．设此样本来自正态总体X～N(， 2)，， 2均未知，问该种轮胎平均行驶路程至少是多 少(置信水平95%)？ 解：即得置信水平为95%的单侧置信下限： 故该种轮胎平均行驶路程不少于 公里，其置信水平为95%．

107 §7.2 参数的区间估计 【装配线的平衡问题解答】 使装配线达到平衡是一项重要的经营管理活动，主要目标是确保不同操作台的操作耗用近似相同的时间．如果装配线不平衡，操作员就会出现有时无事可做，有时忙不过来的现象．结果，产品堆积在费时的操作态上，影响整个装配线的效率． 建立装配线，经常要使用各种管理科学工具，常常需要估计各个操作台的平均装配时间，以对装配线进行合理的调整．

108 §7.2 参数的区间估计 【装配线的平衡问题解答】 下面随机记录了某装配线两个操作台各30次的装配时间(单位:分钟)，如何估计操作台的平均装配时间？它们的平均装配时间有无显著差异? X 2.27 1.87 1.93 2.25 1.21 1.66 1.64 1.73 2.41 1.95 2.12 1.82 2.09 1.05 2.04 2.32 2.57 2.07 1.36 2.18 1.86 2.61 1.24 2.05 1.76 2.11 1.74 Y 2.96 2.6 3.23 3.86 3.82 3.89 3.54 3.21 2.76 3.44 3.34 2.67 4.12 4.38 2.75 2.45 3.28 3.7 3.47 3.31 3.39 3.35 3.26 3.6 3.91 3.19 3.1

109 【装配线的平衡问题解答】 解：设X，Y分别表示两个操作台的装配时间，根据经验，装配时间近似服从正态分布 两个操作台平均装配时间的点估计
§7.2 参数的区间估计 【装配线的平衡问题解答】 解：设X，Y分别表示两个操作台的装配时间，根据经验，装配时间近似服从正态分布 两个操作台平均装配时间的点估计 两个操作台装配时间的样本方差分别为

110 【装配线的平衡问题解答】 两个操作台平均装配时间的置信水平为95%的置信区间分别为 = (1.7973，2.0801)
§7.2 参数的区间估计 【装配线的平衡问题解答】 两个操作台平均装配时间的置信水平为95%的置信区间分别为 = (1.7973，2.0801) = (3.1529，3.5024)

111 【装配线的平衡问题解答】 在大样本的情况下，两个操作台平均装配时间之差1–2的置信区间用
§7.2 参数的区间估计 【装配线的平衡问题解答】 在大样本的情况下，两个操作台平均装配时间之差1–2的置信区间用 计算．两个操作台平均装配时间之差1 – 2的置信水平为95%的置信区间为(–1.60，–1.17)

112 §7.2 参数的区间估计 【装配线的平衡问题解答】 综上可见，两个操作台平均装配时间的点估计1.939和3.328有明显的差异，两个操作台平均装配时间的区间估计(1.7973，2.0801)和(3.1529，3.5024)不相交，两个操作台平均装配时间之差的置信水平为95%的置信区间为(–1.60，–1.17)中间不包括零，这些都说明两个操作台的平均装配时间有显著差异，进行调整后才能提高生产效率．

113 一、参数的点估计 1 矩估计：三步法： ①求总体矩； ②样本矩代替总体矩； ③求出矩估计量（矩估计值） 2 最大似然估计法： 二步法：
第七章：总 结 一、参数的点估计 1 矩估计：三步法： ①求总体矩； ②样本矩代替总体矩； ③求出矩估计量（矩估计值） 2 最大似然估计法： 二步法： ①求（对数）似然函数； ②求（对数）似然函数的最大值点

114 第七章：总 结 估计量的评价标准 1.无偏性 2.有效性 3.相合性 区间估计 正态总体均值与方差的区间估计 （P169）