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數位訊號處理 第4章 離散時間訊號與LTI系統之傅利葉分析
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大 綱 4.1 離散傅利葉級數 4.2 離散時間傅利葉轉換 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 4.4 總結與參考文獻
離散時間週期訊號及其特性 離散傅利葉級數表示式 離散傅利葉級數特性 週期序列之頻譜分析 4.2 離散時間傅利葉轉換 離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換 常用的離散時間傅利葉轉換對 離散時間傅利葉轉的特性 離散時間傅利葉轉換與序列之能量分析 離散時間傅利葉轉換與序列的頻譜分析 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 離散時間LTI系統之頻率響應 線性常係數差分方程式描述之離散時間LTI系統的頻率響應 4.4 總結與參考文獻 針對離散時間訊號，本章將詳細介紹其離散傅利葉分析(discrete Fourier analysis)，其中包括離散傅利葉級數(discrete Fourier series)和離散時間傅利葉轉換(discrete time Fourier transform, DTFT)。相對應於傅利葉分析用於連續時間訊號與系統，離散傅利葉分析則用於離散時間訊號與系統。基本上，傅利葉分析與離散傅利葉分析之觀念與理論是相同的。
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離散時間週期訊號及其特性(1) 連續時間弦波訊號 與複指數訊號 一定是週期訊號 。 弦波序列 與複指數序列 不一定是週期訊號。 週期 週期
連續時間弦波訊號 與複指數訊號 一定是週期訊號 。 弦波序列 與複指數序列 不一定是週期訊號。 週期 週期 非週期
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離散時間週期訊號及其特性(2) 複指數序列為週期訊號時： 其基本週期為 (頻率為0) 。 檢視表示式
其基本週期為 (頻率為0) 。 檢視表示式 可知當頻率為0之複指數序列與頻率為(0+2k) 之複指數序列完全一樣，也就是說，不同頻率的離散時間複指數序列有可能表示同一序列。 弦波序列 也有上項特性。 , k為整數 不同頻率的連續時間複指數訊號表示不同訊號。
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離散傅利葉級數表示式 ㄧ個基本頻率為0(基本週期為N0)的離散時間週期序列的離散傅利葉級數(discrete Fourier series, DFS)可表示為 其中 稱為離散傅利葉係數(discrete Fourier coefficients)，一般也稱為序列的頻譜係數(spectral coefficients) 。 1.從傅利葉分析我們知道週期信號(序列)可由諧波之線性組合而成，這些諧波的頻率是基本頻率(在此為2/N)的倍數，離時傅利葉轉換在頻域具週期之特性可得知諧波數目有限，諧波頻率可表示為。因此週期序列可表成 2.稍後討論序列的頻譜即可瞭解此頻譜係數(spectral coefficients)名稱之含意。
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離散傅利葉級數表示式(續) 利用週期序列只在N0個連續項是相異的本質，前一頁之離散傅利葉級數表示式可表示成 其中
程序 。
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範例4-1 下圖顯示一方形週期序列，其基本週期為N0 =10 (基本 頻率為 )，求此週期序列之離散傅利 葉級數表示式 。 1 2 1
頻率為 )，求此週期序列之離散傅利 葉級數表示式 。 n 1 2 … 1 2 3 4 5 6 7
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範例4-1(續) 計算離散傅利葉係數 此週期序列之離散傅利葉級數表示式為 , 係數 如上式所述。
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離散傅利葉級數特性(1) 級數收斂：檢視離散傅利葉級數表示式是有限序列和，因此一定收斂。
週期特性 ：離散傅利葉係數具週期特性，其週期為 N0，即 。 實數序列 ：若序列是實數，則
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離散傅利葉級數特性(2) 對偶(Duality) 令n = – m 並代入上式可得 再令k = n以及 m = k 並代入上式可得
離散傅利葉係數為 令n = – m 並代入上式可得 再令k = n以及 m = k 並代入上式可得
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離散傅利葉級數特性(3) 由上式可知 是 的離散傅利葉係數。若採用以 下表示法表示週期序列與其離散傅利葉係數之關係 那麼上式可表示成
由上式可知 是 的離散傅利葉係數。若採用以 下表示法表示週期序列與其離散傅利葉係數之關係 那麼上式可表示成 以上說明離散傅利葉級數對偶特性。
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離散傅利葉級數特性(4) 奇序列和偶序列： 若實數序列表示成奇序列與偶序列之和： 週期序列與其離散傅利葉係數的關係表示成
奇序列與偶序列與其離散傅利葉係數的關係表示成
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離散傅利葉級數特性(5) Parseval定理 若週期序列表示成離散傅利葉級數，下式表示Parseval定理。
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範例4-2 利用範例4-1之結果以及前述離散傅利葉級數的特性，驗證範例1所得係數是實數且具週期特性，並計算序列之平均功率。
範例4-1得到離散傅利葉係數 以上係數之計算結果驗證實數偶序列之離散傅利葉係數是實數之論述。
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範例4-2(續) 係數具週期特性。 此關係式驗證離散傅利葉係數具週期特性，此範例之序列與其離散傅利葉係數的週期皆為10。
週期序列 之平均功率為
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週期序列的頻譜分析 針對週期序列，先計算其離散傅利葉係數，並將係數表示成複數極座標型式
然後繪出 對應頻率圖以及 對應頻率圖，這兩個圖分別稱為週期序列的振幅頻譜和相位頻譜。因為k為整數，所以週期序列的振幅頻譜和相位頻譜是離散的(只分佈在頻率為k0的地方)，此種頻譜歸類於離散頻譜或線形頻譜。 如果週期信號是實數，那麼 ，即 (偶函數) ； (奇函數) 。
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範例4-3 範例4-1之序列頻譜分析。 範例4-1得到離散傅利葉係數為 此離散傅利葉係數之振幅和相位表示成
； ； 對所有k = 0, 1,2 ,…,9
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範例4-3(續) 範例4-1的週期訊號之頻譜如下圖所示，實數週期序列的振幅頻譜是偶函數且具週期特性，其週期為10 。 頻率單位0
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大 綱 4.1 離散傅利葉級數 4.2 離散時間傅利葉轉換 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 4.4 總結與參考文獻
離散時間週期訊號及其特性 離散傅利葉級數表示式 離散傅利葉級數特性 週期序列之頻譜分析 4.2 離散時間傅利葉轉換 離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換 常用的離散時間傅利葉轉換對 離散時間傅利葉轉的特性 離散時間傅利葉轉換與序列之能量分析 離散時間傅利葉轉換與序列的頻譜分析 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 離散時間LTI系統之頻率響應 線性常係數差分方程式描述之離散時間LTI系統的頻率響應 4.4 總結與參考文獻 針對離散時間訊號，本章將詳細介紹其離散傅利葉分析(discrete Fourier analysis)，其中包括離散傅利葉級數(discrete Fourier series)和離散時間傅利葉轉換(discrete time Fourier transform, DTFT)。相對應於傅利葉分析用於連續時間訊號與系統，離散傅利葉分析則用於離散時間訊號與系統。基本上，傅利葉分析與離散傅利葉分析之觀念與理論是相同的。
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離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(1) 一個分佈在有限區間[N1 N1]的序列x[n]代表一般的非週期序列。同時令序列 是將序列x[n]重覆延伸產生的一個週期為N0的週期序列，如下圖所示。 非週期序列x[n] 將x[n]重覆延伸產生週期序列
![離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(1) 一個分佈在有限區間[N1 N1]的序列x[n]代表一般的非週期序列。同時令序列 是將序列x[n]重覆延伸產生的一個週期為N0的週期序列，如下圖所示。](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/20/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E7%B4%9A%E6%95%B8%E8%87%B3%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%281%29+%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%88%86%E4%BD%88%E5%9C%A8%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%80%E9%96%93%5B%EF%80%ADN1+N1%5D%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97x%5Bn%5D%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9A%84%E9%9D%9E%E9%80%B1%E6%9C%9F%E5%BA%8F%E5%88%97%E3%80%82%E5%90%8C%E6%99%82%E4%BB%A4%E5%BA%8F%E5%88%97+%E6%98%AF%E5%B0%87%E5%BA%8F%E5%88%97x%5Bn%5D%E9%87%8D%E8%A6%86%E5%BB%B6%E4%BC%B8%E7%94%A2%E7%94%9F%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%80%8B%E9%80%B1%E6%9C%9F%E7%82%BAN0%E7%9A%84%E9%80%B1%E6%9C%9F%E5%BA%8F%E5%88%97%EF%BC%8C%E5%A6%82%E4%B8%8B%E5%9C%96%E6%89%80%E7%A4%BA%E3%80%82.jpg "非週期序列x[n] 將x[n]重覆延伸產生週期序列.")
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離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(2) 若將序列 之週期變成無窮大，那麼序列 就變成非週期序列x[n] ，兩者的關係可描述成： 。
序列xE[n]之離散傅利葉係數為
![離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(2) 若將序列 之週期變成無窮大，那麼序列 就變成非週期序列x[n] ，兩者的關係可描述成： 。](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/21/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E7%B4%9A%E6%95%B8%E8%87%B3%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%282%29+%E8%8B%A5%E5%B0%87%E5%BA%8F%E5%88%97+%E4%B9%8B%E9%80%B1%E6%9C%9F%E8%AE%8A%E6%88%90%E7%84%A1%E7%AA%AE%E5%A4%A7%EF%BC%8C%E9%82%A3%E9%BA%BC%E5%BA%8F%E5%88%97+%E5%B0%B1%E8%AE%8A%E6%88%90%E9%9D%9E%E9%80%B1%E6%9C%9F%E5%BA%8F%E5%88%97x%5Bn%5D+%EF%BC%8C%E5%85%A9%E8%80%85%E7%9A%84%E9%97%9C%E4%BF%82%E5%8F%AF%E6%8F%8F%E8%BF%B0%E6%88%90%EF%BC%9A+%E3%80%82.jpg "序列xE[n]之離散傅利葉係數為.")
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離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(3) 設定N1 = 2，觀察離散傅利葉級數的係數(頻譜)如何隨著其週期N0增加而變化：
N0愈來愈大，即 愈來愈小， 分佈在 k0，因此振幅頻譜分佈愈來愈密。 延伸此一趨勢至極限，週期序列就變成非週期序列，但是此時所有的離散傅利葉級數之係數 ，這表示無法使用離散傅利葉級數來表示非週期序列 。
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離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(4)
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離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(5)
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離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換(6)
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離散時間傅利葉轉換(1) 雖然離散傅利葉級數無法表示非週期序列，但可以 由離散傅利葉級數推導得到一個適用於分析非週期 序列之工具，稱之為離散時間傅利葉轉換對 (discrete time Fourier transform pairs)，其中包括 離散時間傅利葉轉換(discrete time Fourier transform, DTFT) 。 逆離散時間傅利葉轉換(inverse discrete time Fourier transform, IDTFT) 。
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離散時間傅利葉轉換(2) 檢視序列之離散傅利葉級數之係數，當 時應如何調整使之能適用於非週期序列，以下依序說明調整步驟 ：
檢視序列之離散傅利葉級數之係數，當 時應如何調整使之能適用於非週期序列，以下依序說明調整步驟 ： 改寫序列 之離散傅利葉級數之係數計算式： 避免N0 = 造成係數 的情況，將上式兩邊乘上N0可得
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離散時間傅利葉轉換(3) 考慮 的情況， 此時 分佈在k0可看成分佈在整個頻率軸上。因此，可寫成 = k0。此外，因為 。那麼在 的情況下，將上式改寫成 上式右邊是頻率的函數，因此定義 ，最後改寫上式並得到一個將非週期序列轉換至頻域的轉換式
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逆離散時間傅利葉轉換 採用類似方式可得逆離散時間傅利葉轉換：
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離散時間傅利葉轉換對 離散時間傅利葉轉換與逆離散時間傅利葉轉換，分別用符號 和 表示其運算元：
離散時間傅利葉轉換與逆離散時間傅利葉轉換，分別用符號 和 表示其運算元： 以上兩個轉換一起稱之為離散時間傅利葉轉換對，且兩者互為逆運算並表示成
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範例4-4 計算序列 之離散時間傅利葉轉換。 直接用定義式計算序列之離散時間傅利葉轉換：
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範例4-5 給定一序列之離散時間傅利葉轉換： 請計算此序列。 直接用離散時間傅利葉轉換之定義式可得到序列：
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範例4-6 計算序列 之離散時間傅利葉轉換。 直接用定義式計算序列之 離散時間傅利葉轉換： x[n] a = 0.7 n
![範例4-6 計算序列 之離散時間傅利葉轉換。 直接用定義式計算序列之 離散時間傅利葉轉換： x[n] a = 0.7 n](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/33/%E7%AF%84%E4%BE%8B4-6+%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%BA%8F%E5%88%97+%E4%B9%8B%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E3%80%82+%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E7%94%A8%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E5%BC%8F%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%BA%8F%E5%88%97%E4%B9%8B+%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%EF%BC%9A+x%5Bn%5D+a+%3D+0.7+n.jpg "範例4-6 計算序列 之離散時間傅利葉轉換。 直接用定義式計算序列之 離散時間傅利葉轉換： x[n] a = 0.7 n")
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範例4-7 計算下列方形脈波序列(rectangular pulse sequence)之離散時間傅利葉轉換。
直接用定義式計算序列之離散時間傅利葉轉換
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範例4-7 (續) 以N1 = 4與N1 = 8 為例，將X()繪圖。
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範例4-8 計算下列序列之離散時間傅利葉轉換。 之離散時間傅利葉轉換為
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範例4-8 (續) 利用 ，並將此式看成 的逆離散時間傅利葉轉換式，那麼這表示 的離散時間傅利葉轉換表示成
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範例4-8 (續) 利用第2項之結果可得 之離散時間傅利葉轉換 ：
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範例4-8 (續) 利用 Euler公式及第3與第4項之結果可得cos(0n)之離散時間傅利葉轉換： = cos(0n)
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範例4-8 (續) 利用 Euler公式及第3與第4項之結果可得sin(Ω0n)之離散時間傅利葉轉換：
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常見的離散時間傅利葉轉換對(1) 表4-1
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常見的離散時間傅利葉轉換對(2) 表4-1(續)
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離散時間傅利葉轉換的特性(1) 週期(periodicity) ： 週期為2。
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離散時間傅利葉轉換的特性(2) 線性(linearity) ：
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離散時間傅利葉轉換的特性(3) 時移(time shifting)：
序列在時間軸上平移(序列超前或延遲)在頻域的效果相當於在原序列的相位頻譜加上一個線性變化量n0，此變化量稱為離散時間傅利葉轉換X()的線性相位平移(linear phase shift) 。
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離散時間傅利葉轉換的特性(4) 頻移(frequency shifting)：
在時域乘上一複指數序列 的程序在頻域的效果相當於將序列之頻譜在頻率軸上平移 。
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離散時間傅利葉轉換的特性(5) 共軛 (conjugation) ：
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離散時間傅利葉轉換的特性(6) 時間比例調整(time scaling) ： 序列擴張表示法： 計算x(m)[n] 的離散時間傅利葉轉換
![離散時間傅利葉轉換的特性(6) 時間比例調整(time scaling) ： 序列擴張表示法： 計算x(m)[n] 的離散時間傅利葉轉換](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/48/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E7%9A%84%E7%89%B9%E6%80%A7%286%29+%E6%99%82%E9%96%93%E6%AF%94%E4%BE%8B%E8%AA%BF%E6%95%B4%28time+scaling%29+%EF%BC%9A+%E5%BA%8F%E5%88%97%E6%93%B4%E5%BC%B5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%B3%95%EF%BC%9A+%E8%A8%88%E7%AE%97x%28m%29%5Bn%5D+%E7%9A%84%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B.jpg "離散時間傅利葉轉換的特性(6) 時間比例調整(time scaling) ： 序列擴張表示法： 計算x(m)[n] 的離散時間傅利葉轉換")
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離散時間傅利葉轉換的特性(7) 時間反轉(time reversal) ： 序列在時域的時間參數n反轉造成在頻域的頻率參數也反轉 。
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離散時間傅利葉轉換的特性(8) 時域差分：
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離散時間傅利葉轉換的特性(9) 頻域微分 ： 將離散時間傅利葉轉換 對頻率微分可得
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離散時間傅利葉轉換的特性(10) 旋積(convolution) ： 利用時間平移特性 可得
利用時間平移特性 可得 此時域旋積定理說明在時域的兩個序列做旋積運算之效果相當於在頻 域做相乘運算。 此時域旋積定理說明在時域的兩個序列做旋積運算之效果相當於在頻域做相乘運算。
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離散時間傅利葉轉換的特性(11) 乘積(multiplication) ：
頻域旋積定理與時域旋積定理互為對偶。此定理說明兩個訊號在時域做相乘運算，其效果相當於在頻域做旋積運算再除以 2。
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離散時間傅利葉轉換的特性(12) 時域累加： 利用旋積運算將序列表示成 再利用時域旋積(頻域做相乘)之運算特性，可得
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離散時間傅利葉轉換的特性(13) 對偶(Duality) ：離散時間傅利葉轉換與連續時間 傅利葉級數存有對偶特性。
序列x[n]之離散時間傅利葉轉換對表示成 因為是連續值變數以及X()是週期為2的週期函數， 將 = t及n = k代入離散時間傅利葉轉換式，可得 ；即
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離散時間傅利葉轉換的特性(14) 因為X[t]是週期為T0 = 2的週期函數，且其基本 頻率為 ，將上式改寫成
頻率為 ，將上式改寫成 比對上式和連續時間傅利葉級數定義式，可知x[k]是 X[t]的連續時間傅利葉級數之係數。因此可將離散時間 傅利葉轉換與連續時間傅利葉級數之間的對偶特性表示 成
![離散時間傅利葉轉換的特性(14) 因為X[t]是週期為T0 = 2的週期函數，且其基本 頻率為 ，將上式改寫成](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/56/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E7%9A%84%E7%89%B9%E6%80%A7%2814%29+%E5%9B%A0%E7%82%BAX%5Bt%5D%E6%98%AF%E9%80%B1%E6%9C%9F%E7%82%BAT0+%3D+2%EF%81%B0%E7%9A%84%E9%80%B1%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B8%EF%BC%8C%E4%B8%94%E5%85%B6%E5%9F%BA%E6%9C%AC+%E9%A0%BB%E7%8E%87%E7%82%BA+%EF%BC%8C%E5%B0%87%E4%B8%8A%E5%BC%8F%E6%94%B9%E5%AF%AB%E6%88%90.jpg "頻率為 ，將上式改寫成. 比對上式和連續時間傅利葉級數定義式，可知x[k]是. X[t]的連續時間傅利葉級數之係數。因此可將離散時間. 傅利葉轉換與連續時間傅利葉級數之間的對偶特性表示. 成.")
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離散時間傅利葉轉換的特性(15) 實數序列 ：一實數序列可表示成 其中 和 分別是x[n]的偶訊號部份與奇訊號
實數序列 ：一實數序列可表示成 其中 和 分別是x[n]的偶訊號部份與奇訊號 部份，令x[n]的傅利葉轉換可表示成 因為x[n]是一實數序列，那麼可知 本特性之證明可留作習題
![離散時間傅利葉轉換的特性(15) 實數序列 ：一實數序列可表示成 其中 和 分別是x[n]的偶訊號部份與奇訊號](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/57/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E7%9A%84%E7%89%B9%E6%80%A7%2815%29+%E5%AF%A6%E6%95%B8%E5%BA%8F%E5%88%97+%EF%BC%9A%E4%B8%80%E5%AF%A6%E6%95%B8%E5%BA%8F%E5%88%97%E5%8F%AF%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%88%90+%E5%85%B6%E4%B8%AD+%E5%92%8C+%E5%88%86%E5%88%A5%E6%98%AFx%5Bn%5D%E7%9A%84%E5%81%B6%E8%A8%8A%E8%99%9F%E9%83%A8%E4%BB%BD%E8%88%87%E5%A5%87%E8%A8%8A%E8%99%9F.jpg "實數序列 ：一實數序列可表示成. 其中 和 分別是x[n]的偶訊號部份與奇訊號. 部份，令x[n]的傅利葉轉換可表示成. 因為x[n]是一實數序列，那麼可知. 本特性之證明可留作習題.")
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離散時間傅利葉轉換的特性(16) Parseval定理：
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離散時間傅利葉轉換與序列的能量或功率分析
離散時間序列的正規化總能量為 ： 上述總能量計算式可改寫成 上式稱為離散時間傅利葉轉換的Parseval定理或Parseval等式。此定理說明離散時間序列的正規化總能量可在時域使用上式左邊之加總計算，也可以在頻域用上式右邊之積分式計算。
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離散時間傅利葉轉換與序列頻譜分析(1) 一般序列的離散時間傅利葉轉換可表示成
以|X()|對應頻率圖以及 ()對應頻率圖表示序列x[n]的頻譜(spectrum)。其中|X()|對應頻率圖稱為的強度頻譜(magnitude spectrum)；而 ()對應頻率圖稱為的相位頻譜(phase spectrum) 。
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離散時間傅利葉轉換與序列頻譜分析(2) 如果序列是實數則 同時 比較以上兩式可知實數序列的強度頻譜是偶函數，而其相位頻譜是奇函數：
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範例4-9 分析序列 之頻譜。 計算離散時間傅利葉轉換可得 。 改寫上式為
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範例4-9(續) 將序列的離散時間傅利葉轉換表示成 序列的強度頻譜為 序列的相位頻譜為
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範例4-9(續) 以a = 0.5為例，序列之強度頻譜與相位頻譜如下圖所示。 偶函數 奇函數 強度頻譜 相位頻譜
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大 綱 4.1 離散傅利葉級數 4.2 離散時間傅利葉轉換 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 4.4 總結與參考文獻
離散時間週期訊號及其特性 離散傅利葉級數表示式 離散傅利葉級數特性 週期序列之頻譜分析 4.2 離散時間傅利葉轉換 離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換 常用的離散時間傅利葉轉換對 離散時間傅利葉轉的特性 離散時間傅利葉轉換與序列之能量分析 離散時間傅利葉轉換與序列的頻譜分析 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 離散時間LTI系統之頻率響應 線性常係數差分方程式描述之離散時間LTI系統的頻率響應 4.4 總結與參考文獻 針對離散時間訊號，本章將詳細介紹其離散傅利葉分析(discrete Fourier analysis)，其中包括離散傅利葉級數(discrete Fourier series)和離散時間傅利葉轉換(discrete time Fourier transform, DTFT)。相對應於傅利葉分析用於連續時間訊號與系統，離散傅利葉分析則用於離散時間訊號與系統。基本上，傅利葉分析與離散傅利葉分析之觀念與理論是相同的。
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離散時間LTI系統的頻率響應 一離散時間LTI系統的輸入為任意序列時，輸入序列x[n]與系統的脈衝響應h[n]的旋積可表示此系統的輸出序列y[n] ，即 y[n] = x[n]*h[n] 利用離散時間傅利葉轉換的旋積特性(時域旋積定理)，可將上式之時域系統輸出響應轉換成頻域的表示式： Y() = X() H() 由上式可得到 其中函數H()稱為此系統的頻率響應(frequency response)。
![離散時間LTI系統的頻率響應 一離散時間LTI系統的輸入為任意序列時，輸入序列x[n]與系統的脈衝響應h[n]的旋積可表示此系統的輸出序列y[n] ，即. y[n] = x[n]*h[n] 利用離散時間傅利葉轉換的旋積特性(時域旋積定理)，可將上式之時域系統輸出響應轉換成頻域的表示式：](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/66/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93LTI%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E7%9A%84%E9%A0%BB%E7%8E%87%E9%9F%BF%E6%87%89+%E4%B8%80%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93LTI%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E7%9A%84%E8%BC%B8%E5%85%A5%E7%82%BA%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%BA%8F%E5%88%97%E6%99%82%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%85%A5%E5%BA%8F%E5%88%97x%5Bn%5D%E8%88%87%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E7%9A%84%E8%84%88%E8%A1%9D%E9%9F%BF%E6%87%89h%5Bn%5D%E7%9A%84%E6%97%8B%E7%A9%8D%E5%8F%AF%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%AD%A4%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E7%9A%84%E8%BC%B8%E5%87%BA%E5%BA%8F%E5%88%97y%5Bn%5D+%EF%BC%8C%E5%8D%B3.+y%5Bn%5D+%3D+x%5Bn%5D%2Ah%5Bn%5D+%E5%88%A9%E7%94%A8%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E7%9A%84%E6%97%8B%E7%A9%8D%E7%89%B9%E6%80%A7%28%E6%99%82%E5%9F%9F%E6%97%8B%E7%A9%8D%E5%AE%9A%E7%90%86%29%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E5%B0%87%E4%B8%8A%E5%BC%8F%E4%B9%8B%E6%99%82%E5%9F%9F%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E8%BC%B8%E5%87%BA%E9%9F%BF%E6%87%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E6%88%90%E9%A0%BB%E5%9F%9F%E7%9A%84%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%BC%8F%EF%BC%9A.jpg "Y() = X() H() 由上式可得到. 其中函數H()稱為此系統的頻率響應(frequency response)。")
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輸入序列為[n] 當系統的輸入序列是 x[n] = [n]時，其離散時間傅利葉轉換為X() = 1，輸出為 ，也就是說此情況之系統在頻域的輸出就是此系統脈衝響應 h[n]之離散時間傅利葉轉換。 y[n] = x[n]*h[n] h[n] [n] x[n] 離散時間LTI系統 時域分析 Y() = X()H() 離散時間LTI系統 H() 1 頻域分析 X() 離散時間LTI系統的輸入/輸出關係示意圖
![輸入序列為[n] 當系統的輸入序列是 x[n] = [n]時，其離散時間傅利葉轉換為X() = 1，輸出為 ，也就是說此情況之系統在頻域的輸出就是此系統脈衝響應 h[n]之離散時間傅利葉轉換。](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/67/%E8%BC%B8%E5%85%A5%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%82%BA%EF%81%A4%5Bn%5D+%E7%95%B6%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E7%9A%84%E8%BC%B8%E5%85%A5%E5%BA%8F%E5%88%97%E6%98%AF+x%5Bn%5D+%3D+%EF%81%A4%5Bn%5D%E6%99%82%EF%BC%8C%E5%85%B6%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E7%82%BAX%28%EF%81%97%29+%3D+1%EF%BC%8C%E8%BC%B8%E5%87%BA%E7%82%BA+%EF%BC%8C%E4%B9%9F%E5%B0%B1%E6%98%AF%E8%AA%AA%E6%AD%A4%E6%83%85%E6%B3%81%E4%B9%8B%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E5%9C%A8%E9%A0%BB%E5%9F%9F%E7%9A%84%E8%BC%B8%E5%87%BA%E5%B0%B1%E6%98%AF%E6%AD%A4%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E8%84%88%E8%A1%9D%E9%9F%BF%E6%87%89+h%5Bn%5D%E4%B9%8B%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E3%80%82.jpg "y[n] = x[n]*h[n] h[n] [n] x[n] 離散時間LTI系統. 時域分析. Y() = X()H() 離散時間LTI系統. H() 1. 頻域分析. X() 離散時間LTI系統的輸入/輸出關係示意圖.")
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輸入序列 (1) 當系統輸入是複指數序列 時，其離散時間傅利葉轉換為 ，可得 計算Y( )的逆離散時間傅利葉轉換可得到
輸入序列 (1) 當系統輸入是複指數序列 時，其離散時間傅利葉轉換為 ，可得 計算Y( )的逆離散時間傅利葉轉換可得到 以系統運算元T [ ]表示輸出序列。 比較上一式與以下定義式
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輸入序列 (2) 稱為此LTI系統的特徵函數(eigenfunction)且
輸入序列 (2) 稱為此LTI系統的特徵函數(eigenfunction)且 是相對應的特徵值(eigenvalue)。上一式說明複指數序列 是這個LTI系統的特徵函數，其 對應的特徵值是 。
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輸入週期序列 當系統的輸入是週期序列時，將週期序列表示成離散傅利葉級數：
利用LTI系統之線性特性之結果，可得到一個也表示成離散傅利葉級數的輸出序列：
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輸入非週期序列(1) 當系統的輸入是非週期序列x[n]時，其離散時間傅利葉轉換為X( )，利用逆離散時間傅利葉轉換可得系統的輸出序列
將系統的頻率響應表示成 其中 稱為此系統的強度響應(magnitude response)， 而 稱為此系統的相位響應(phase response)。
![輸入非週期序列(1) 當系統的輸入是非週期序列x[n]時，其離散時間傅利葉轉換為X( )，利用逆離散時間傅利葉轉換可得系統的輸出序列](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/71/%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%9D%9E%E9%80%B1%E6%9C%9F%E5%BA%8F%E5%88%97%281%29+%E7%95%B6%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E7%9A%84%E8%BC%B8%E5%85%A5%E6%98%AF%E9%9D%9E%E9%80%B1%E6%9C%9F%E5%BA%8F%E5%88%97x%5Bn%5D%E6%99%82%EF%BC%8C%E5%85%B6%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E7%82%BAX%28%EF%81%97+%29%EF%BC%8C%E5%88%A9%E7%94%A8%E9%80%86%E9%9B%A2%E6%95%A3%E6%99%82%E9%96%93%E5%82%85%E5%88%A9%E8%91%89%E8%BD%89%E6%8F%9B%E5%8F%AF%E5%BE%97%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E7%9A%84%E8%BC%B8%E5%87%BA%E5%BA%8F%E5%88%97.jpg "將系統的頻率響應表示成. 其中 稱為此系統的強度響應(magnitude response)， 而 稱為此系統的相位響應(phase response)。")
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輸入非週期序列(2) 分別將系統在頻域的輸入與輸出表示成 利用系統在頻域的輸出/輸入關係式：Y() = X() H() ，可得 和
系統輸出強度頻譜 |Y()|等於系統輸入強度頻譜 |X()|乘上系統的強度響應 |H()|。有時候強度響應 |H()|也稱為系統的增益(gain)。 輸入相位頻譜 X() 加上系統的相位響應 H()可得系統輸出的相位頻譜 Y() 。 和
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離散時間LTI系統的頻率響應之週期特性 因此我們觀察離散時間LTI系統的頻率響應，只要觀察或分析 一個週期便可，即其頻率範圍是 或 。
由離散時間傅利葉轉換的週期特性可知 因此我們觀察離散時間LTI系統的頻率響應，只要觀察或分析 一個週期便可，即其頻率範圍是 或 。 另外再考量實數h[n]的共軛對稱特性： 或表示成 整合上述週期加上對稱特性說明我們只要分析頻率響應半個週期便可，通常選擇頻率範圍 。
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範例4-10 給定一離散時間系統由一單位延遲元件與一放大器所組成，如下圖所示，其中0 < a < 1。請決定 (1) 系統的頻率響應；(2)系統的脈衝響應；(3) 以a = 0.6與a = 0.9為例，分別繪製系統的強度響應，並顯示其週期與對稱特性 。 單位 延遲
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範例4-10(續) 觀察系統架構圖，單位延遲元件的輸出可表示為y[n1]，並且系統輸出/輸入關係可以表示成一階常數差分方程式：
將上述差分方程式的兩邊做離散時間傅利葉轉換，可得 改寫上式，可得系統的頻率響應：
![範例4-10(續) 觀察系統架構圖，單位延遲元件的輸出可表示為y[n1]，並且系統輸出/輸入關係可以表示成一階常數差分方程式：](http://slidesplayer.com/slide/11334974/61/images/75/%E7%AF%84%E4%BE%8B4-10%28%E7%BA%8C%29+%E8%A7%80%E5%AF%9F%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E6%9E%B6%E6%A7%8B%E5%9C%96%EF%BC%8C%E5%96%AE%E4%BD%8D%E5%BB%B6%E9%81%B2%E5%85%83%E4%BB%B6%E7%9A%84%E8%BC%B8%E5%87%BA%E5%8F%AF%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%82%BAy%5Bn%EF%80%AD1%5D%EF%BC%8C%E4%B8%A6%E4%B8%94%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E8%BC%B8%E5%87%BA%2F%E8%BC%B8%E5%85%A5%E9%97%9C%E4%BF%82%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%88%90%E4%B8%80%E9%9A%8E%E5%B8%B8%E6%95%B8%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%EF%BC%9A.jpg "將上述差分方程式的兩邊做離散時間傅利葉轉換，可得. 改寫上式，可得系統的頻率響應：")
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範例4-10(續) 利用表4-1之第9組離散時間傅利葉轉換對及時移特性，將H()做逆離散時間傅利葉轉換，可得到系統的脈衝響應：
計算系統的強度響應：
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範例4-10(續) 以a = 0.6與a = 0.9為例，系統之強度響應如下圖所示。 a = 0.9 a = 0.6 2 |H()|
偶函數(偶對稱) 週期= 2 a = 0.9 a = 0.6 2
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範例4-11 給定一理想低通濾波器的頻率響應為 當輸入下圖所示之週期序列時，求此低通濾波器的輸出。 1 … … n 2 1 1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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範例4-11(續) 輸入週期序列x[n]之週期N0 = 6，其基本頻率0 = 2/6 = /3 ，回顧先前之離散傅利葉級數之頻譜分析，可知此週期序列之頻譜週期性分佈在k0處, k為整數(週期為 6)。檢視本範例之低通濾波器的頻率響應，得知其截止頻率為/5 ，表示輸入序列頻率高於/5之成分會被濾除，因此輸入週期序列x[n]至此低通濾波器，只有序列的直流成分可以通過。 週期序列x[n]之直流成分為 因此輸出信號為
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線性常係數差分方程式描述之離散時間LTI系統的頻率響應
第3章討論過以N階常係數差分方程式 兩邊做離散時間傅利葉轉換，可得 ： 改寫成(4.78)式之型式，可得到線性常係數差分方程式描述之LTI系統的頻率響應
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範例4-12 給定描述一離散時間LTI系統的輸出序列與輸入序列的關係之一階常係數差分方程式為
請用離散時間傅利葉轉換求系統的頻率響應及脈衝響應。
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範例4-12(續) 將一階常係數差分方程式的兩邊做離散時間傅利葉轉換，可得 改寫上式，可得系統的頻率響應 。 或
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範例4-12(續) 利用部分分式技巧將系統的頻率響應分解成
利用表4-1之第9組離散時間傅利葉轉換對可得到之反離散時間傅利葉轉換，因此可得到系統的脈衝響應為
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大 綱 4.1 離散傅利葉級數 4.2 離散時間傅利葉轉換 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 4.4 總結與參考文獻
離散時間週期訊號及其特性 離散傅利葉級數表示式 離散傅利葉級數特性 週期序列之頻譜分析 4.2 離散時間傅利葉轉換 離散傅利葉級數至離散時間傅利葉轉換 常用的離散時間傅利葉轉換對 離散時間傅利葉轉的特性 離散時間傅利葉轉換與序列之能量分析 離散時間傅利葉轉換與序列的頻譜分析 4.3 離散時間LTI系統之頻域分析 離散時間LTI系統之頻率響應 線性常係數差分方程式描述之離散時間LTI系統的頻率響應 4.4 總結與參考文獻
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總結 本章詳細介紹離散傅利葉級數和離散時間傅利葉轉換，其中離散傅利葉級數主要用於表示與分析週期序列；而離散時間傅利葉轉換主要將序列由時域轉換至頻域。 運用離散時間傅利葉轉換及其特性將序列與系統由時域轉換至頻域做分析，得到一離散時間LTI系統的頻率響應，並藉此討論離散時間LTI系統的頻率響應的特性。
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參考文獻 V. K. Ingle and J. G. Proakis, Digital Signal Processing using MATLAB, Thomson Learning, Inc 余兆棠、陳順智 譯，數位訊號處理-使用MATLAB，滄海，2000年12月。 Hwei P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995. 余兆棠、李志鵬 著，信號與系統，滄海，2007年1月 。 86
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