变力做功问题的处理方法 1 WWW.NNEZ.CN.

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1 变力做功问题的处理方法 1

2 处理变力做功问题的 基本思路 1.应用功的基本计算公式 2.应用平均功率 3.应用动能定理 4.用机械能守恒定律求变力做功 5.应用功能关系

3 一、应用功的基本计算公式求变力做功 1.微元法
例题1.如图所示,某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上,力F的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力F做的总功应为： 　 A、 0J　 B、20πJ　 　 C 、10J　 D、20J.

4 分析与解：把圆周分成无限个小元段,每个小元段可认为与力在同一直线上,故
ΔW=FΔS 则转一周中各个小元段做功的代数和为 W=F×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J 故B正确. 应用此法,要注意理解力的特点,即力的大小不变且力的方向始终与运动方向相同或相反. 注意掌握结论:功等于力与路程的乘积.

5 练习:在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为R/2和R的两个半圆构成,如图所示
练习:在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为R/2和R的两个半圆构成,如图所示.现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点,若拉力F的方向始终与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做的功为: A.零 B.FR C.3πFR/2 D.2πFR C A B R F R/2

6 2.等值法 例题2.如图,定滑轮至滑块的高度为h,已知细绳的拉力为F(恒定),滑块沿水平面由A点前进S至B点,滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β.求滑块由A点运动到B点过程中,绳的拉力对滑块所做的功.

7 分析与解:设绳对物体的拉力为T,显然人对绳的拉力F等于T,T在对物体做功的过程中大小虽然不变,但其方向时刻在改变,因此该问题是变力做功的问题
分析与解:设绳对物体的拉力为T,显然人对绳的拉力F等于T,T在对物体做功的过程中大小虽然不变,但其方向时刻在改变,因此该问题是变力做功的问题.但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下,人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功.而拉力F的大小和方向都不变,所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算.由图可知,在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：　

8 3.平均力法 例题3.一辆汽车质量为105kg,从静止开始运动,其阻力为车重的0.05倍.其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0,f0是车所受的阻力.当车前进100m时,牵引力做的功是多少？ 分析与解:由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0,是线性关系,故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功.由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100m过程中的平均牵引力: ∴W＝ S＝1×105×100J＝1×107J。 应用此法,要求变力与位移间须呈一次函数关系.

9 4.图象法 例题4.用铁锤将一铁钉击入木块,设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时,能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次时,能击入多少深度?(设铁锤每次做功相等)

10 分析与解:因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标,作出F-x图象.曲线上面积的值等于F对铁钉做的功.
由于两次做功相等，故有： S1=S2(面积表示功)即： 所以Δx=x2-x1=0.41 cm 应用此法,关键一是正确画出力随位移变化的图象,再是正确理解图象“面积”的物理意义.

11 练习:如图所示,图线表示作用在做直线运动的物体上的合外力与物体运动位移的对应关系,物体开始时处于静止状态,则当物体在外力的作用下,运动30m的过程中,合外力对物体做的功为 J.
200 S/m F/N 4 8 10 20 30

12 二、应用平均功率求变力做功 例题5.正执行巡逻任务的我海军舰艇“猎鹰”号,突然接到命令:前往某海域拦截一走私渔船,该舰艇接到命令后,立即调转船头加速前进.经过5min前进了6km,提前到达目的地.若在这段时间内舰艇发动机的功率恒为10MW,舰艇所受的阻力恒为5kN.则在这段时间内舰艇牵引力做的功是多少? 分析与解:在这段时间内,由P=FV知牵引力是变力,但由题意又知牵引力的功率恒定,所以可根据W=Pt来计算牵引力的功: W=Pt=10×106×5×60=3×109J 当变具有功率恒定特点时,可选用平均功率法求解.

13 练习:一列火车由机车牵引沿水平轨道行使,经过时间t,其速度由0增大到v. 已知列车总质量为M,机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力
分析解答:以列车为研究对象,列车水平方向受牵引力和阻力.设列车通过路程为s.据动能定理

14 三、用动能定理求变力做功 例题6.某人用力将质量为m的小球,在高度为H处抛出,已知当小球刚要落地时的速度为V,则该人在抛球过程中对小球做的功为多少? 分析与解:人抛球时对球的作用力是变力,且不具备应用以上方法的特点,但我们可应用动能定理利用球动能的变化求出此功. 在整个过程中,人及球的重力对球做功,根据动能定理得:W+mgH=mv2/2 解得:W=mV2/2-mgH

15 练习:如图所示,AB为1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC是水平轨道,长L=3m,BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功. 分析与解:物体在从A滑到C的过程中,有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功, 根据动能定理可知:W外=0, 所以mgR-umgL-WAB=0 即WAB=mgR-umgL=6(J)

16 四、用机械能守恒定律求变力做功 例题7.如图所示,质量m=2kg的物体,从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下,在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零,已知从A到B的竖直高度h=5m,求弹簧的弹力对物体所做的功.

17 分析与解:由于斜面光滑故机械能守恒,但弹簧的弹力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加,且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等
分析与解:由于斜面光滑故机械能守恒,但弹簧的弹力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加,且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等.取B所在水平面为零参考面,弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点,则状态A:EA= mgh+mV02/2 对状态B:EB=－W弹簧+0 由机械能守恒定律得: W弹簧=－(mgh+mv02/2)=－125(J)。

18 五、用功能原理求变力做功 例题8.两个底面积都是S的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度相等,则这过程中重力所做的功等于 h1 h2

19 分析与解:由于水是不可压缩的,把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中,利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管,如图中的斜线所示
分析与解:由于水是不可压缩的,把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中,利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管,如图中的斜线所示.最后用功能关系,重力所做的功等于重力势能的减少量,选用AB所在的平面为零重力势能平面,则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为: 所以重力做的功 h1 h2 A B

20 练习:如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速释放摆下
练习:如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速释放摆下.求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功? O A B VA VB

21 分析与解:设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为VA和VB
分析与解:设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为VA和VB.如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒.若取B的最低点为零重力势能参考平面,可得: 又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故VB＝2VA 由以上二式得： 根据功能关系可解出杆对A、B做的功.对于A有 对于B有

22 1. 如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m,物体A在水平面上
1.如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m,物体A在水平面上.A由静止释放,当B沿竖直方向下落h时,测得A沿水平面运动的速度为V,这时细绳与水平面的夹角为θ,试求B下降h的过程中,地面对A的摩擦力做的功为多少?(滑轮质量和摩擦力不计) h B A θ V 答案:W=mgh-gv2cos2θ(M+m)/2

23 (1)此过程中所加拉力F的最大值和最小值; (2)此过程中拉力F所做的功.
2.如图所示,一劲度系数为800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为12kg的物体A和B,竖直静止在水平地面上.现要在物体A上加一竖直向上的拉力F,使A开始向上做匀加速运动,经0.4sB刚要离开地面设整个过程弹簧都处于弹性限度内(g取10m/s2).求: (1)此过程中所加拉力F的最大值和最小值; (2)此过程中拉力F所做的功. A B k F 答案:(1)F大=285N;F小=45N (2)49.5J