重 点：轴力影响下刚度方程 位移法方程 稳定方程 难 点：杆端转角位移刚度方程

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1 重 点：轴力影响下刚度方程 位移法方程 稳定方程 难 点：杆端转角位移刚度方程
刚架的稳定计算 重 点：轴力影响下刚度方程 位移法方程 稳定方程 难 点：杆端转角位移刚度方程

2 [基本问题]： 刚架的稳定计算（位移法） —、符号规则
给出压杆在轴向力（荷载）及杆端位移共同作用下的杆端力公式。----解决不能等效为单个压杆的刚架稳定计算问题 P 2P EI 2EI L 受压杆的杆端转角位移方程 是什么？---轴力影响下 —、符号规则 规定：杆端侧移以及杆端剪力以坐标轴方向为正； 杆端转角与杆端弯矩以顺时针方向为正。

3 二、考虑轴向力作用的等直杆刚度方程 轴向压力改变了压杆的几何形状，因而产生附加弯矩，故杆端位移引起的杆端力应包含轴压力的影响
（一）两端固定杆 设承受轴心受压P的等截面直杆 i j 两端固定，若已发生屈曲，其挠曲线的微分方程由杆微段dx 的平衡求得， dx V V+dV M M+dM P x P y i j EI （1）

4 ------------------------（1）
若 ij 杆上无横向荷载，则 ， 由 代入 （2） 方程（2）的一般解： （3） -----称为轴向荷载参数

5 A1、A2、A3、A4由边界条件确定。 边界条件的给定形式： 代入（3）式： --------（3） ----------（4） j i P
x P y i j EI 边界条件的给定形式： 代入（3）式： （3） （4）

6 简写为： （4） 设杆端力

7 x P y i j EI 按内力符号规则 dx V V+dV M M+dM

8 代入得：

9 （5） （4）

10 （6）式就是考虑了轴向力作用两端刚接的压杆单元的刚度方程
（6） （6）式就是考虑了轴向力作用两端刚接的压杆单元的刚度方程 对称 C=cosu s=sinu vi i vj j

11 ① i 端弯矩 ----------从刚度矩阵中对应: Mi=K22i
1．转动刚度 对称 C=cosu s=sinu vi i vj j 表示仅 i 端有转角 ① i 端弯矩 从刚度矩阵中对应: Mi=K22i 称为 i 端的转动刚度

12 显然 称为 j 端的转动刚度 对称 C=cosu s=sinu vi i vj j ② j 端弯矩 : Mj=K42i

13 对称 C=cosu s=sinu vi i vj j ③ 杆端剪力

14 2．侧移刚度 即：仅 j 端有侧移1 侧移刚度 ②侧移杆端弯矩

15 （二）、一端固定，另一端铰支的压杆的转动刚度与侧移刚度
1．转动时 θ=1 i j P 1 i j 2．侧移时

16 （三）、一端固定，一端可滑动 θ=1 i j θi=1 时 （四）、一端铰支，一端动可滑动 i j θ=1 Mj P θj=1时

17 三、刚架在平面内的稳定计算-------位移法
（一）一般假定 1. 所有荷载作用在结点上，无偏心，无初弯曲； 2. 屈曲变形是微小的，且不计轴向变形 ； 3. 各荷载按比例同时增加，直止分枝出现。 （二）位移法的一般方程 它与第九章中位移法方程比较，缺少了自由项，这是因为：

18 1. 刚架承受集中结点荷载 2.不计轴向变形 3. 屈曲出现之前不存在弯矩与剪力 该齐次方程有非零解时，其系数行列式 为零 ----就是稳定方程

19 （三）、位移法计算刚架稳定问题举例 1. 求图示结构的临界荷载 解：1）不考虑横梁的轴力作用 左柱： 右柱： 并令 i=1 位移法基本结构
1. 求图示结构的临界荷载 位移法基本结构 P 2P P 2P EI 2EI L 解：1）不考虑横梁的轴力作用 左柱： 右柱： 并令 i=1

20 2）作 图 图，求 图 图 r11=8+ f4(u) , r21=4 , r22=14+2 f4(u) , r12 =4 3）位移法方程 8
2）作 图 图，求 8 4 6 2f2(u) 2f4(u) r22 r12 图 4 8 f4(u) f2(u) r11 r21 图 r11=8+ f4(u) , r21=4 , r22=14+2 f4(u) , r12 =4 3）位移法方程

21 4）方程有非零解时 5）查表14---5 （线性插值获得） 取较小的一个，得临界荷载

22 = f=f4(u)+4.628 f u

23 2. 求图示结构的临界荷载 解：1) 左柱 右柱 令i=1 ，发生侧移失稳时：左柱柱顶剪力 右柱柱顶剪力 P 2P EA=∞ i=1 i
2. 求图示结构的临界荷载 P 2P H EI EA=∞ i i=1 失稳模态 解：1) 左柱 右柱 令i=1 ，发生侧移失稳时：左柱柱顶剪力 右柱柱顶剪力

24 2）位移法方程 3）求解临界荷载 内插： 时，C=0

25 3 求图示结构的临界荷载。已知，KN = L P 2EI EI KN 解：1）左、中、右三柱 令 2）作 图 图，求

26 6 4 2 r11 r21 r22 r12 6/L f3(u)/L 3）位移法方程

27 试解法： 插值得

28 解：失稳变形可能取正对称形式（图A），或反对称形式（图B）
4 单跨两铰刚架，求临界荷载及柱的计算长度 L H P i2=ni1 i1 解：失稳变形可能取正对称形式（图A），或反对称形式（图B） （图A） （图B）

29 1．正对称失稳时，有一个角位移，柱的轴力参数
分别取半结构 P 图A半结构 A C E P 图B半结构 1．正对称失稳时，有一个角位移，柱的轴力参数 由结点A的平衡，

30 由Z1的非零解，得稳定方程： 设n=1 ，则 柱的计算长度 若设n=2 ，则 柱的计算长度

31 P 图B半结构 A C E 2．反对称失稳 时 柱AC是剪力静定杆 一端铰支，另一端可滑动 设Z2为顺时针转角。则 θ=1

32 若n=1时，通过试算的最小根 ，从而 柱的计算长度 若n=2时，通过试算的最小根 ，从而 柱的计算长度 由以上两种情况比较可知，实际上是按反对称形式失稳。