第四章矩阵 §1 矩阵概念的一些背景 §2 矩阵的运算 §3 矩阵乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §6 初等矩阵

第四章矩阵 §1 矩阵概念的一些背景 §2 矩阵的运算 §3 矩阵乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §6 初等矩阵
第四章矩阵 §1 矩阵概念的一些背景 §2 矩阵的运算 §3 矩阵乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §6 初等矩阵 §7 分块矩阵的初等变换及应用举例

第一节矩阵概念的一些背景主要内容前言矩阵应用举例矩阵的表示和相等

一、二、矩阵应用举例引例 1 坐标变换矩阵在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系转轴 (反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变
引例 1 坐标变换矩阵在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系转轴 (反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为其中  为 x 轴与 x 轴的夹角. 显然，新旧坐标之

间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的如下
2  2 矩阵表示出来. 通常，矩阵 (2) 称为坐标变换 (1) 的矩阵. 在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式

同样，矩阵就称为坐标变换 (3) 的矩阵.

引例 2 二次曲线的矩阵二次曲线的一般方程为 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 . (5)
引例 2 二次曲线的矩阵二次曲线的一般方程为 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = (5) (5) 的左端可以用表 x y 1 a b d c e f 来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应

的 x , y 或 1 的乘积的系数，而 (5) 的左端就是按这
样的约定所形成的项的和. 换句话说，只要规定了 x , y , 1 的次序，二次方程 (5) 的左端就可以简单地用矩阵来表示. 通常，(6) 称为二次曲线 (5) 的矩阵.

从方程到矩阵的过程如下：方程 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 x y 1 a b d c e f
研究抽象 x y 1 a b d c e f 以后我们会看到，这种表示法不只是形式的. 事实上，矩阵(6)的行列式就是解析几何中二次曲线的不变量 I3，这表明了矩阵(6)的性质确实反映了它所表示的二次曲线的性质. 表格简化矩阵

引例 3 经济中的矩阵在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵. 例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，
引例 3 经济中的矩阵在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵. 例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有 s 个产地 A1 , A2 , … , As 和 n 个销地B1 , B2 ,…,Bn , 那么一个调运方案就可用一个矩阵来表示，其中 aij 表示产地 Ai 运到销地 Bj 的数量.

引例 4 向量是特殊的矩阵三、矩阵的表示和相等 n 维向量也可以看成是矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1  n 矩阵.
引例 4 向量是特殊的矩阵 n 维向量也可以看成是矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1  n 矩阵. n 维列向量就是n  1 矩阵. 三、矩阵的表示和相等以后我们用大写的拉丁字母 A，B，…，或者 ( aij ) , ( bij ) , … 来代表矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以

把 s  n 矩阵写成 Asn , Bsn , … , 或者 ( aij )sn , ( bij )sn , … ( 注意矩阵的符号与行列式的符号的区别 ) . 设 A = ( aij )mn , B = ( bij )lk , 如果 m = l , n = k , 且 aij = bij ，对 i = 1, 2, … , m; j = 1 ,2 … , n 都成立, 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A = B . 只有两个完全一样的才叫相等.

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第二节矩阵的运算主要内容加法乘法数量乘法转置

现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是
矩阵之间一些最基本的关系. 下面要定义的运算是矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见，我们取定一个数域 P，以下所讨论的矩阵全由数域 P 中的数组成的.

一、加法 1. 定义定义 1 设

是两个 s  n 矩阵，则矩阵

注意称为矩阵 A 与矩阵 B 的和，记为 C = A + B . 1) 相加的矩阵必须有相同的行数和列数；
1) 相加的矩阵必须有相同的行数和列数； 2) 矩阵的加法是两个同型矩阵对应位置上的元素相加.

Osn , 在不引起含混的时候，可简单地记为 O .
2. 零矩阵和负矩阵定义2 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 Osn , 在不引起含混的时候，可简单地记为 O . 矩阵称为矩阵 A 的负矩阵，记为 -A .

3. 运算规律 1) 结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ; 2) 交换律 A + B = B + A；
3. 运算规律 1) 结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ; 2) 交换律 A + B = B + A； 3) 零矩阵的运算 A + O = A； A + ( - A ) = O； 4) 减法 A - B = A + (-B ) . 5) 和矩阵的秩秩 ( A + B )  秩 ( A ) + 秩 ( B )

二、乘法 1. 两个引例

2. 定义定义 3 设有两个矩阵 A = ( aik )sn , B = ( bkj )nm , 那么矩阵 C = ( cij )sm ,
2. 定义定义 3 设有两个矩阵 A = ( aik )sn , B = ( bkj )nm , 那么矩阵 C = ( cij )sm , 其中称为 A 与 B 的乘积，记为 C = A B .

注意 1) 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘. 2) 三个矩阵的行列数之间关系为
1) 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘. 2) 三个矩阵的行列数之间关系为乘积矩阵的行数 = 左矩阵的行数；乘积矩阵的列数 = 右矩阵的列数； 3) 乘积矩阵的第 i 行第 j 列的元素等于左矩阵的第 i 行与右矩阵的第 j 列的对应元素乘积的和.

例 1 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.

例 2 已知求 AB. 解因为 A 是 2×4 矩阵, B 是 4×3 矩阵, A 的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的定义有

例 3 求矩阵的乘积 AB 及 BA. 解由定义有

例 4 线性方程组的矩阵形式，设有方程组若令

AX = B. AX = B. 3. 运算规律则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:
3. 运算规律 1) Ok×mAm×p=Ok×p , Am×pOp×n=Om×n ; 2) 结合律 ( AB )C = A( BC ); 3) 分配律 A( B + C ) = AB + AC, ( B + C ) A = BA + CA;

证明只证结合律设 A = ( aij )sn , B = ( bjk )nm , C = ( ckl )mr , 下面我们证明
( AB ) C = A ( BC ) . 令 V = AB = ( vik )sm , W = BC = ( wjl )nr , 其中

因为 ( AB ) C = VC 中 VC 的第 i 行第 l 列元素为

证毕而 A( BC ) = AW 中 AW 的第 i 行第 l 列元素为由于双重连加号可以交换次序，所以 (7) 与 (8) 的
结果是一样的，这就证明了结合律. 证毕

4. 单位矩阵定义 4 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 n  n 矩阵
4. 单位矩阵定义 4 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 n  n 矩阵称为 n 级单位矩阵，记为 En，或者在不致引含混的时候简单写为 E .

n 级单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.如 EA = AE = A .

5. 方幂 1) 定义如果 A 是 n  n 级矩阵, 那么, AA 有定义, 也有意义, 因此有下述定义:
5. 方幂 1) 定义如果 A 是 n  n 级矩阵, 那么, AA 有定义, 也有意义, 因此有下述定义: 定义5 设 A 是 n  n 级矩阵, m 是正整数, m 个Ａ相乘称为Ａ的 m 次幂，记为Ａm , 即另外还规定，Ａ0 = E.

2) 运算规律设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则 AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl .
2) 运算规律设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则 AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 n 级矩阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k  AkBk .

三、数量乘法 1. 定义定义 6 矩阵称为矩阵 A = ( aij )sn 与数 k 的数量乘积，记为 kA.
1. 定义定义 6 矩阵称为矩阵 A = ( aij )sn 与数 k 的数量乘积，记为 kA. 用数 k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘以k.

2. 运算规律 ( k + l ) A = kA + lA , k (A + B ) = kA + kB ,
2. 运算规律 ( k + l ) A = kA + lA , k (A + B ) = kA + kB , k ( lA ) = ( kl ) A , 1 A = A , k ( AB ) = ( kA ) B = A ( kB ) .

3. 数量矩阵定义7 矩阵称为数量矩阵.

设 A 是一 n  n 矩阵，则有 kA = ( kE ) A = A ( kE ) . 这个式子说明，数量矩阵与所有的 n  n 矩阵作乘法是可交换的. 可以证明：如果一个 n 级矩阵与所有 n 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵. 关于数量矩阵，还有以下运算性质： kE + lE = ( k + l ) E , ( kE ) ( lE ) = ( kl ) E , 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.

四、转置 1. 定义定义 8 设所谓 A 的转置就是指矩阵

矩阵 A 的转置矩阵也可记为 AT . 例 6 利用下列模型求矩阵的转置矩阵.

2. 运算规律 ( AT )T = A , ( A + B )T = AT + BT , ( AB )T = BTAT ,
2. 运算规律 ( AT )T = A , ( A + B )T = AT + BT , ( AB )T = BTAT , ( k A )T = k AT .

例 7 设验证 ( AB )T = BTAT . 解因为所以

又故 ( AB )T = BTAT .

第三节矩阵乘积的行列式与秩主要内容矩阵乘积的行列式矩阵乘积的秩

一、矩阵乘积的行列式定理 1 设 A，B 是数域 P 上的两个 n  n 矩证明阵，那么
| AB | = | A | | B | ， (1) 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 证明这个定理就是第二章第八节的

推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n  n 定义 9 数域 P 上的 n  n 矩阵 A 称为非退
用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的情形，即有推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n  n 矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | . 定义 9 数域 P 上的 n  n 矩阵 A 称为非退化的，如果 | A |  0；否则称为退化的. 显然，一 n  n 矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于 n .

推论设 A，B 是数域 P 上的 n  n 矩阵, 矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A，B 中至少有一个是退化的.

二、矩阵乘积的秩定理 2 设 A 是数域 P 上的 n  m 矩阵，B 是关于矩阵乘积的秩，我们有：
数域 P 上的 m  s 矩阵，于是秩( AB )  min[ 秩( A ) , 秩( B ) ] . (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩.

证明为了证明 (2)，只需要证明秩( AB )  秩( A ) 与秩( AB )  秩( B ) 同时成立即可.
现在来分别证明这两个不等式. 设

令 B1 , B2 , … , Bm 表示 B 的行向量，C1 , C2 , … , Cn 表示 AB 的行向量. 由计算可知，Ci 的第 j 个分量和 ai1B1 + ai2B2 + … + aimBm 的第 j 个分量都等于因而 Ci = ai1B1 + ai2B2 + … + aimBm (i = 1,2, … , n), 即矩阵 AB 的行向量组 C1 , C2 ,…, Cn 可经 B 的行向量组线性表出. 所以 AB 的秩不能超过 B 的秩，即秩( AB )  秩( B ) .

证毕同样，令 A1 , A2 , … , Am 表示 A 的列向量，D1 , D2 … , Ds 表示 AB 的列向量. 由计算可知，
Di = b1iA1 + b2iA2 + … + bmi Am (i = 1,2, … , s). 这个式子表明，矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵 A 的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩( AB )  秩( A ) . 证毕

推论 3 如果 A = A1 A2 … At , 那么用数学归纳法，定理 2 不难推广到多个因子的情形，即有秩( A ) 
秩( Aj ) .

第四节矩阵的逆主要内容引例逆矩阵的定义矩阵可逆的条件可逆矩阵的性质克拉默法则的另一证法矩阵乘积的秩的性质

一、引例

二、逆矩阵的定义 1. 可逆的定义定义 10 n 级方阵 A 称为可逆的，如果有n 定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称为 A
1. 可逆的定义定义 n 级方阵 A 称为可逆的，如果有n 级方阵 B，使得 AB = BA = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵. 定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称为 A 的逆矩阵，记为 A-1 .

2. 逆矩阵的唯一性证明证毕若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 . 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义
2. 逆矩阵的唯一性若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 . 证明设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义有 AB = BA = E，AC = CA = E，于是 B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C . 所以逆矩阵唯一. 证毕

三、矩阵可逆的条件 1. 伴随矩阵定义 12 设 Aij 是矩阵现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆的？
如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？为此先引入伴随矩阵的概念. 1. 伴随矩阵定义设 Aij 是矩阵

中元素 aij 的代数余子式，矩阵称为 A 的伴随矩阵.

由行列式按一行(列)展开的公式立即得出：
(2) 其中 d = | A | . 如果 d = | A |  0，那么由 (2) 得 (3)

2. 矩阵可逆的充分必要条件定理 3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非证明退化，且
2. 矩阵可逆的充分必要条件定理 3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非退化，且证明当 d = | A |  0，由 (3) 可知，A 可逆且

证毕反过来，如果 A 可逆，那么有 A-1 使 AA-1 = E . 两边取行列式，得
定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式 (4) ，用公式 (4) 求逆矩阵的方法叫伴随矩阵法. 下面利用伴随矩阵法求逆阵.

例１用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵单击这里开始

四、可逆矩阵的性质设 A, B, Ai (i =1, 2, …, m) 为 n 级可逆方阵， k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2) (3) (AB)-1 = B-1A-1, (A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ;

证明我们只证（３）和（４）. 证毕（4） (AT)-1 = (A-1)T ; （5）
（6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数. 证明我们只证（３）和（４）. （３） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1 = E. （４） AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E, 所以 (AT)-1 = (A-1)T . 证毕

五、克拉默法则的另一证法利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法. 线性方程组可以写成 AX = B (6)

如果 | A |  0，那么 A 可逆. 用 X = A-1B 代入 (6)，得恒等式 A( A-1B ) = B，这就是说 A-1B 是一解. 如果 X = C 是 (6) 的一个解，那么由 AC = B 得 A-1( AC ) = A-1B ，即 C = A-1B . 这就是说，解 X = A-1B 是唯一的. 用 A-1 的公式 (4) 代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.

六、矩阵乘积的秩的性质定理 4 A 是一个 s  n 矩阵，如果 P 是 s  s 证明联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有：
可逆矩阵，Q 是 n  n 可逆矩阵，那么秩( A ) = 秩( PA ) = 秩( AQ ) . 证明令 B = PA , 由秩( B )  秩( A )；

证毕但是由 A = P -1B，又有秩( A )  秩( B ) . 所以秩( A ) = 秩( B ) = 秩( PA ) .
另一个式子可以同样地证明. 证毕

例 2 设方阵 A 满足证明都可逆，并求解变形所给的等式，得移项得分解因式得

两边取行列式得由方阵的行列式的性质得所以故可逆. 又因为

变形得由逆矩阵的定义知现再证可逆. 移项得两边取行列式得

所以可逆. 在等式两边左乘得再两边右乘得

例设求 B. 解已知方程变形得分解因式得两边左乘得

单击这里可求逆用伴随矩阵法求逆，得所以

例 4 解下列矩阵方程 AXB = C 其中解由已知易得 X = A-1CB-1 , 下面求 A 和 B 的逆阵. 单击这里可求逆

单击这里可求逆所以

证将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积:
例 5 设 n 级矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A. 证将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积: A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1) = A-1(B + A)B-1 . 由可逆矩阵的性质可知 (A-1 + B-1)-1 = [A-1(A + B)B-1]-1 = B(B + A)-1A. 同理可证另一个等式也成立.

例 6 设 A 为 n 级方阵( n  2 ) ,证明证由于 AA* = A*A = |A|E , 所以 |A*| = |A|n-1.
|A| |A*| = |A|n (4) 下面分三种情形讨论: (1) |A|  0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即得 |A*| = |A|n-1. (2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A* = O, 结论显然成立.

(3) |A| = 0, 但 A  O, 反设 |A*|  0, 则 A* 可逆,
因而 A = (AA*)(A*)-1 =(|A|E)(A*)-1 = |A|(A*)-1 = O, 故 A = O, 与 A  O 矛盾, 所以, |A*|=0=|A|n-1.

第五节矩阵的分块主要内容矩阵分块法分块矩阵的运算

一、矩阵分块法 1. 定义对于行数和列数较高的矩阵 A, 运算时常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们
1. 定义对于行数和列数较高的矩阵 A, 运算时常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵, 每一个小矩阵称为 A 的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

例如将 3×4 矩阵分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式:

分法 (1) 可记为其中即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵. 分法 (2) 及 (3) 的分块矩阵可类似写出, 这里略.

2. 常用的分块法设有 s  n 矩阵 A = ( aij )sn , 则对 A 有以下三种最常用的分块方法： 1) 按行分块
2. 常用的分块法设有 s  n 矩阵 A = ( aij )sn , 则对 A 有以下三种最常用的分块方法： 1) 按行分块即把 A 的每一行当作一个子块，这时每个子块为一行向量，也就是说，矩阵 A 是由一个行向量组组成：

角矩阵(准对角矩阵) . 2) 按列分块即把 A 的每一列当作一个子块，这时每个子块为一列向量，也就是说，矩阵 A 是由一个列向
2) 按列分块即把 A 的每一列当作一个子块，这时每个子块为一列向量，也就是说，矩阵 A 是由一个列向量组组成： 3) 分块对角矩阵(又称准对角矩阵) 当 n 级矩阵 A = ( aij )n 中非零元素都集中在主对角线附近时，有时可将 A 分块成下面的分块对角矩阵(准对角矩阵) .

其中 Ai 是 ni 级方阵 ( i = 1, 2, … , l ) .

二、分块矩阵的运算 1. 加法运算分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似, 分别说明如下:
1. 加法运算设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同, 采用相同的分块法, 有

其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同, 那么
2. 数乘运算设  为常数,那么

3. 分块矩阵的乘法运算设 A 为 m×l 矩阵, B为 l×n 矩阵, 分块成

其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j ,
…, Btj 的行数,那么其中

例 1 设求 AB. 解把 A、B 分块成

则而

于是

4. 分块矩阵的转置设则

5. 分块对角矩阵的运算设 A 为 n 级矩阵,且 A 可分成如下分块对角矩阵.

分块对角矩阵的性质: 1) |A| = |A1| |A2| … |Al| ; 2) 若 |Ai|  0 ( i = 1, 2, … , l ) , 则 |A|  0, 且

设 A，B 是两个 n 级矩阵，且采用相同的分法
可把它们都分成分块对角矩阵：则有

例 2 设 n 级矩阵 D 分块为解其中 A，B 分别是 k 级和 r 级的可逆矩阵，C 是
r  k 级矩阵，O 是 k  r 级零知阵，求 D-1 . 解因为 | D | = | A | | B | ， ( 证明见第二章第六节 ) 所以当 A，B 可逆时，D 也可逆.

设于是

由此可得 X11 = A-1 X12 = O X21 = - B-1CA-1 X22 = B-1 所以

例 3 设用矩阵分块的方法：(1) 计算 A2 ，AB；(2) 求 A-1 . 解把矩阵 A，B 进行如下分块

并令

其中

则 1) 其中

其中

所以

2) 因为所以求逆由求逆由

所以

第六节初等矩阵主要内容初等矩阵的定义初等矩阵的性质两个矩阵的等价关系求逆矩阵的初等行变换法

一、初等矩阵的定义定义 13 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法
的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法. 一、初等矩阵的定义定义由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵.

1. 对调两行或对调两列把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( ri  rj ), 得初等矩阵, 记为 P( i , j ) .
1. 对调两行或对调两列把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( ri  rj ), 得初等矩阵, 记为 P( i , j ) . 第 i 行第 j 行

2. 以数 c  0 乘某行或某列以数 c  0 乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( ri  c ) ,
得初等矩阵, 记为 P( i(c) ) . 第 i 行

3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj )
[或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( cj + kci ) ], 得初等矩阵, 记为 P( i , j(k) ) .

第 i 行第 j 行第 i 列第 j 列

二、初等矩阵的性质引理设 A 是一个 s  n 矩阵, 对 A 施行一次证明初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初
等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 级初等矩阵. 证明我们只看行变换的情形，列变换的情形可同样证明. 令 B = ( bij ) 为任意一个 s  s 矩阵, A1 , A2 , … , As 为 A 的行向量. 由矩阵的分块乘法,

第 i 行第 j 行特别，令 B = P( i , j ) , 得这相当于把 A 的 i 行与 j 行互换.

第 i 行令 B = P( i (c) ) , 得这相当于用 c 乘 A 的第 i 行. 第 i 行第 j 行令 B = P( i , j(k) ) , 得这相当于把 A 的 j 行的 k 倍加到 i 行.

推论初等矩阵都是可逆知阵, 且 1) P( i, j )-1 = P( i, j ); 2)
推论初等矩阵都是可逆知阵, 且 1) P( i, j )-1 = P( i, j ); 2) 3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ). 在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可以进一步化简. 为了方便，我们引入：

三、两个矩阵的等价关系 1. 定义定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以 2. 等价关系的性质
1. 定义定义矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B . 2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.

4. 矩阵与其标准形的关系定理 5 任意一个 s  n 矩阵 A 都与它的标准证明形等价，并且其标准形的主对角线上 1 的个数等于
4. 矩阵与其标准形的关系定理 5 任意一个 s  n 矩阵 A 都与它的标准形等价，并且其标准形的主对角线上 1 的个数等于矩阵 A 的秩 ( 1 的个数可以是零) . 证明如果 A = O，那么它已经是标准形了. 以下无妨假设 A  O . 经过初等变换，A 一定可以变成一左上角元素不为零的矩阵.

当 a11  0 时，把其余的行减去第一行的 ( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的然后，用乘第一行，A ( j = 2, 3, … , s ) 倍. 就变成

证毕例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它 A1 是一个 ( s - 1 )  ( n - 1 ) 的矩阵. 对 A1 再重复以
上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形. 显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1 的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个数也就是矩阵 A 的秩. 证毕例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它化为标准形. 单击这里开始

5. 两个矩阵等价的充要条件根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵. 因此，矩阵 A，B 等价
5. 两个矩阵等价的充要条件根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵. 因此，矩阵 A，B 等价的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使 A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt (1) n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的. 由 (1) 即得

定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是推论 1 两个 s  n 矩阵 A，B 等价的充分必它能表成一些初等矩阵的乘积：
A = Q1 Q2 … Qm (2) 由此即得推论 1 两个 s  n 矩阵 A，B 等价的充分必要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级矩阵 Q 使 A = PBQ .

推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行证明证毕变换化成单位矩阵. 设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存
推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行变换化成单位矩阵. 证明设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm 使 A = Q1 Q2 … Qm , 把它改写一个，有 Qm-1 Qm … Q1-1A = E . 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变换，所以结论得证. 证毕

四、求逆矩阵的初等行变换法当 |A|  0 时, 由 A = P1P2 ... Pl , 有
Pl-1Pl P1-1A = E, (i) 及 Pl-1Pl P1-1E = A (ii) (i) 式表明 A 经一系列初等行变换可变成 E , (ii) 式表明 E 经这同一系列初等行变换即变成 A-1 . 用分块矩阵形式, (i)、(ii) 两式可合并为:

Pl-1Pl P1-1(A E) = ( E A-1) , 即对 n × 2n 矩阵 (A E) 施行初等行变换, 当把 A变成 E 时, 原来的 E 就变成 A-1 . 利用初等行变换求逆矩阵的方法, 还可用于求矩阵 A-1B. 由 A-1(A B) = (E A-1B) 可知, 若对矩阵 (A B) 施行初等行变换, 当把 A 变为 E 时, B 就变为 A-1B.

例 2 设矩阵用初等行变换法, 判断 A 是否可逆? 若可逆, 求 A-1. 解单击这里开始所以

例 3 任意输入一个 3 级矩阵 A , 判断其是否可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 . 解单击这里开始所以

例 4 任意输入一个 4 级矩阵 A , 判断其是否可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 . 单击这里开始解所以

例 5 用初等行变换法解矩阵方程 AX = B , 其中解初等行变换故

第七节分块乘法的初等变换及应用举例主要内容分块初等矩阵应用举例

一、分块初等矩阵 1. 定义定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块：等矩阵. 对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为分块初
1. 定义定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块：对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块初等矩阵有以下三种：

1) 分块对换矩阵对换两行(列)所得到 2) 分块倍乘矩阵某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵 P 所得到 3) 分块倍加矩阵一行(列)加上另一行(列)的 P (矩阵)倍数所得到

2. 分块初等矩阵的性质和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等矩阵有与初等矩阵类似的性质：
2. 分块初等矩阵的性质和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等矩阵有与初等矩阵类似的性质：用分块初等矩阵左乘分块矩阵 A, 在保证可乘的情况下，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等行变换；用分块初等矩阵右乘分块矩阵 A，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等列变换. 例如，设有如下分块矩阵

分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：

分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：

在中，适当先择 P，可使 C + PA = O . 例如 A 可逆时，选 P = - CA-1，则 C + PA = O . 于是上式右端成为这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问题时是比较方便的，因此这种运算非常有用.

二、应用举例例 1 设其中 A，D 可逆，求 T -1 . 解因为

且所以

例 2 设其中T1 , D可逆，试证(A - BD-1C)-1 存在，并求T1-1. 证明因为

因为 T1 可逆，对它进行初等变换后仍可逆，即
可逆，故 (A - BD-1C)-1 存在. 由解得

再由例 1，得

例 3 证明行列式的乘积公式 | AB | = | A | | B |.
作设 A，B 为 n  n 矩阵，作 i , j = 1, 2, … , n , 这里 Eij 为 n  n 矩阵，除了第 i 行第 j 列元素为 aij 外，其他元素皆为零. 则由初

等矩阵与初等变换的关系，易得下列关系式又由 Pij 所对应的初等变换是某行加上另外一行的倍数，它不改变行列式的值，故 (第二章第六节 )

证毕又因为矩阵作 n 次列对换可变成矩阵即所以这就证明了 | AB | = | A | | B |.
第 j 列与第 n + j 列对换 j = 1, 2, … , n 所以这就证明了 | AB | = | A | | B |. 证毕

例 4 设 A = ( aij )n  n , 且证明则有下三角形矩阵 Bn  n 使 BA = 上三角形矩阵. 对 n 作归纳法.
既是上三角形又是下三角形，故命题成立.

设对 n - 1 命题为真，我们来看它仍满足命题中所设的条件. 由归纳法假设，有下三角形矩阵 ( B1 )( n - 1)  ( n - 1) 满足 B1A1 = 上三角形矩阵.

对 A 作如下分块：则再作

这时矩阵已成为上三角形了. 将两次乘法结合起来就得到：此即为所要求的下三角矩阵. 证毕

第四章矩阵 §1 矩阵概念的一些背景 §2 矩阵的运算 §3 矩阵乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §6 初等矩阵

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