分數的加減 國立臺南大學數學教育系 　　　　謝　　堅.

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1 　　分數的加減 國立臺南大學數學教育系 　　　　謝　　堅

2 同分母分數的加減問題：  2/7條繩子和3/7條繩子接起來，和多少條繩子一樣長？ 學童可能有那些解題策略? 學童如何記錄解題活動?

3 「1/7」條繩子是一個單位分量： 2/7條繩子是2段繩子，3/7條繩子是3段繩子，2段和3段繩子接起來是5段繩子，5段繩子是5/7條。 當1/7條繩子還是單位分量時，需要引入同分母分數加減問題嗎? 可以要求使用算式來記錄嗎?

4 「1/7」條繩子是一個單位分數：（可以被計數的單位）
2/7條繩子是2個1/7條，3/7條繩子是3個1/7條，2個1/7條和3個1/7條合起來是5個1/7條，5個1/7條是5/7條。

5 記法一： 2＋3＝5；答：5/7條 記法二： 2/7＋3/7＝5/7；答：5/7條 你喜歡那一種記法?

6 為什麼可以使用全數加減算式來記錄這些分數問題的解題活動？
「2＋3＝5」、「2/7＋3/7＝5/7」 全數加法和分數加法是相同的數學模型(解題活動類型)嗎?

7 「2＋3＝5」是解題過程記錄。 學童必須經歷這種記法嗎？ 「2/7＋3/7＝5/7」是摘要記錄。 可以直接要求這種記法嗎？　　　 如何要求？

8 當學童能夠掌握單位分數的意義，將單位分數視為可被計數的單位，「同分母真、假分數的加減問題」就可以視為「全數的加減問題」。

9 1 11/7 12/7 13/7 14/7 假分數和帶分數的互換： 等值分數「1＝n/n」是假分數和帶分數互換的先備經驗。
1 11/7 12/7 13/7 14/7      7/7  8/7 9/7 10/7 11/7

10 將假分數25/7換成帶分數： 解法1： 　解法2： 25/7－7/7＝18/7　　25－7＝18 18/7－7/7＝11/7 　18－7＝11 11/7－7/7＝4/7 　11－7＝4 　　　A：25/7＝34/7 你喜歡那一種記法?

11 解法3： 25/7÷7/7＝3………4/7 答：25/7＝34/7。 解法4： 25÷7＝3………4 你喜歡那一種記法?

12 解法1是以1為單位的記法。 解法2是以1/7為單位的記法。 解法3是以1為單位的記法。 解法4是以1/7為單位的記法，而且被除數和除數同時換單位（1/7）。

13 將帶分數34/7換成假分數： 解法1：　　　　　　解法2： 7/7＋7/7＝14/7　　 7＋7＝14　 14/7＋7/7＝21/ ＋7＝21 21/7＋4/7＝25/ ＋4＝25 答：34/7＝25/7。 你喜歡那一種記法?

14 解法3： 解法4： 7/7 × 3＝21/7 7×3＝21 21/7+4/7=25/7 21/7+4/7=25/7 　　　答：34/7＝25/7。 你喜歡那一種記法?

15 解法1是以1為單位的記法。 解法2是以1/7為單位的記法。 解法3是以1為單位的記法。 解法4是以1/7為單位的記法。

16 同分母帶分數的加減問題： 1＝n/n，是解同分母帶分數加減問題的先備經驗。 可以先將同分母帶分數轉換成同分母假分數，解題成功後，再轉換回帶分數。

17 你贊成使用直式記錄同分母帶分數加減問題的解題活動嗎？
2 5/7　　　　 ＋5 6/7 8 4/7

18 「同分母帶分數的加減問題」和「二位整數加減算則」，滿足同構關係。
2 5/ ＋5 6/7 ＋3 7 8 4/

19 可以幫助學童看到兩者間的同構關係，透過類比成人加減算則的方式解決同分母帶分數的加減問題。
也可以仿引入成人加減算則的方式，幫助學童解決同分母帶分數的加減問題。

20 異分母分數的加減問題： 相同的單位才能夠點數個數，異分母分數問題有兩種選擇共測單位的方法，因此有兩種解決異分母分數加減問題的方法。

21 第一種方法： 找出共同的單位分數解決問題。 等值分數是找出共同單位分數的先備經驗。

22 第二種方法： 透過離散量分數情境的內容物（自然存在的共測單位）解決問題。 儘量讓單位分數的內容物是單一或整數個個物。

23 等值分數： 何謂等值分數？ 何謂約分？ 何謂擴分？ 何謂通分？

24 等值分數： 在選取相同基準單位量的情境下，兩分數雖然等分割的份數與合成的份數不同，但是兩分數所代表的量（或值）一樣多。 等值分數的存在，隱含著 1/2、2/4、3/6....是不相同的分數。

25 等值分數是討論兩個分數之間是否等值的問題。
2/8和1/4是否相等(等值）? 約分與擴分是討論兩個等值分數之間如何轉換的問題。 如何將1/4擴分成2/8，如何將2/8約分成1/4。

26 如何幫助學童形成等值分數的概念？ 離散量及連續量情境，那一種比較適合首次引入等值分數的概念？

27 離散量情境： 一盒蘋果有48個： 16/48 盒蘋果和24分之幾盒蘋果一樣多？ 16/48 盒蘋果和6分之幾盒蘋果一樣多？

28 16/48盒蘋果是16個，　　　　　 1/24盒蘋果是2個， 16個蘋果是8個1/24盒，是8/24盒。 學童可以透過內容物解決問題，教師應幫助學童將注意力轉移至分割份數。

29 連續量情境： 1/3張色紙和6分之幾張一樣大？ 1/3張色紙和24分之幾張一樣大？ 如何幫助學童找出答案?

30 可以透過摺紙或畫圖的方式找出答案，也可以透過分數板或數線圖等教具找出答案，教師應幫助學童將注意力轉移至分割份數。

31 約分與擴分： 學童必須將注意力放在等值分數的分割份數與合成份數的關係上，才可能理解約分或擴分的意義。 有兩種引入約分與擴分的方式：

32 第一種： 學童先求出等值分數，再比較兩個等值分數分割份數與合成份數之間的關係。 第二種： 先引入約分與擴分的計算方式，再透過約分與擴分來求等值分數。

33 可以透過折紙或分數板幫助學童看到等值分數的現象，但是必須將注意力放在分割份數的改變上，才可能理解「a/b＝(a×K)/(b×K)」的意義。

34 何謂最簡分數？ 數學上引入最簡分數的目的為何？ 何時才能要求學童最後的結果必須以最簡分數作答？ 有那些能力後才能判斷一個分數是否為最簡分數?

35 較簡單分數 vs 最簡分數 何謂較簡單分數？ 何謂最簡分數？ 4/8是比8/16簡單的分數，2/4是比4/8簡單的分數，1/2是最簡分數。 沒有比較活動，如何引入最簡分數?

36 　 a/b是最簡分數  (a，b)＝1 國小階段，有必要引入「互質」的概念嗎？

37 異分母分數的加減問題： 方法一： 為什麼解決異分母分數加減問題之前要先通分？ 為什麼通分時要透過求分母（最小）公倍數的策略找共同單位？

38 不透過（最小）公倍數找公分母的方法，是否也能解決異分母分數加減問題？
等值分數（相同單位才能計數個數）是透過找出相同單位分數概念解異分母分數加減問題的先備經驗。

39 如何較快速的幫助學童解決異分母加減問題? 以「1/4個大餅和1/6個大餅合起來是幾個大餅？」為例：

40 透過等值分數，就可以找到共同的單位分數（分割份數）。
1/4=2/8=3/12=4/16=5/20=…… 1/6=2/12=3/18=4/24=5/30=……

41 將注意力放在分割份數（分母）上（忽略合成的份數），可以更快速的找到共同的單位分數。
4， 8，12，16，20，24.... 6，12，18，24，30，36....

42 找共同分割份數的方法和求兩個分母的公倍數一樣，因此可以透過公倍數找公分母，或透過最小公倍數找最小的公分母。
兩個分數相乘一定是公分母。

43 64年課程如何處理異分母分數的加減問題？ 以「1/2＋1/3＝（　）」為例？ 使用配發的分數板協助教學。

44 何謂分數板? 由1個圓，1/2個圓，1/3個圓，1/4個圓，1/5個圓，1/6個圓，1/8個圓，1/10個圓，1/12個圓組成的一套教具。

45 學童先拿出1/2及1/3的分數板，將兩塊分數板拼在一起（共圓心）。 要求學童嘗試拿出一些相同的分數板，把原來那兩塊分數板蓋滿。
學童先拿出1/2及1/3的分數板，將兩塊分數板拼在一起（共圓心）。　 要求學童嘗試拿出一些相同的分數板，把原來那兩塊分數板蓋滿。 例如拿出5個1/6的分數板可以蓋滿。

46 幫助學童發現3個1/6的分數板蓋滿1/2，2個1/6的分數板蓋滿1/3。
幫助學童發現能透過通分的方式找到共同的單位。 1/2  3/6 1/3  2/6

47 方法二： 82年國編本如何處理異分母分數的加減問題？ 以離散量分數情境單位分數的內容物為共測單位的概念引入。

48 一盒蘋果有12個，1/4盒蘋果和1/6盒蘋果合起來是幾盒蘋果?
1個蘋果是1/12盒。 1/4盒蘋果有3個，1/6盒蘋果有2個，合起來有5個。 5個蘋果是5/12盒。

49 1/4條繩子和1/6條繩子接起來和幾條繩子一樣長？
要假設一條繩子長幾公分，才會讓1條繩子，1/4條繩子和1/6條繩子都是整公分?

50 一條繩子長12公分，1/4條繩子長3公分，1/6條繩子長2公分。
如何求出12公分? 是否也可以利用求分母（最小）公倍數的方式求出12公分?

51 一條繩子長12公分，1公分是1/12條繩子： 1/4條繩子長3公分，是3/12條繩子， 1/6條繩子長2公分，是2/12條繩子， 合起來是5/12條繩子。

52 有一些蘋果，3個一數，5個一數，都可以數完，最少有多少個蘋果？
有一些蘋果，平分成3堆可以分完，平分成5堆也可以分完，請問最少多少個蘋果？ 為什麼這兩個問題都可以透過求最小公倍數的方式得到答案？

53 ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ 三個一數可以數完。 平分成三堆，剛好分完。 意義是否相同？

54 有一個挖馬路的工程，甲獨做12天可以完工，乙獨做20天可以完工，如果兩個人合作，還要多少天可以完工？
假設馬路長幾公里，會讓全部馬路的公里數，甲一天獨做的公里數，乙一天獨做的公里數都是整數？ 如果馬路全長24公里，兩個人合作幾天可以完工？

55 有一個挖馬路的工程，甲獨做18天可以完工，乙獨做24天可以完工。
如果甲先做6天，剩下的工程由乙獨做，問還要幾天可以做完？ 如果甲先做6天，剩下的工程由甲、乙合做，問還要幾天可以做完？