第二章 一元函数微分学 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算 2.3 微分 2.4 导数的应用 第二章 微分学发展史

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1 第二章 一元函数微分学 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算 2.3 微分 2.4 导数的应用 第二章 微分学发展史
第二章 一元函数微分学 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算 2.3 微分 2.4 导数的应用 微分学发展史 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 2.1 导数的概念 2.1.1 引例 2.1.2 导数的定义 2.1.3 导数的几何意义 2.1.4 函数的连续性与可导性的关系 第二章
2.1 导数的概念 引例 导数的定义 导数的几何意义 函数的连续性与可导性的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 2.1.1 引例 改变量之比的极限称为导数， 1. 变速直线运动的速度 描述物体下落位置的函数为 给 以增量 , ( ) , 有增量
给 以增量 , ( ) , 有增量 则物体在 内的平均速度为 即可得物体在 时刻的瞬时速度 令 即 改变量之比的极限称为导数， 路程对时间的导数就是速度。

4 2.1.2 导数的定义 定义1 . 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 处可导, 的导数. 即
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5 否则，就说 在点 处不可导或说 在点 的导数不存在.由导数定义可知，导数是函数 对自变量 的变化率. 导数的等价定义： 右可导与左可导：

6 若函数 在开区间 内处处可导,则称 它在 上可导. 若函数 在开区间 内可导, 且 与 都存在， 则称 在闭区间 上可导. 对应于 内的每一点 都有一个确定 的导数值，于是 和其对应点的导数值之间 的 便构成了一个新的函数，称此函数为 导函数，简称导数， 记为

7 内的每一点 对于 有 而 在 处的导数即为 在 处的函数值，即 求导的步骤 1.求增量 2.算比值 3.取极限

8 处的导数 在 例1.求函数 解： 所以，

9 例2.求函数 为常数) 的导数. 解： 所以，

10 例3. 求函数 处的导数. 解：

11 导数的几何意义 曲线 割线 M N 的斜率 当 时,亦即N无限靠近M时,如果 存在,那么割线就将趋向于曲线上过点 的曲线的切线,即有 时,
于是 1.有切线 可导 切线存在 为无穷大 2.切线不存在 不可导 注意: 导数是曲线 上过点x0处 切线的斜率

12 例4 求过点(0，-1)且与 相切的直线方程. 解：由例1知 设切点为 则该直线的斜率为 又知 从而有 解得 从而知过点(0，-1)可作两条直线与 相切， 其斜率分别为 二直线方程分别为

13 2.1.4 函数的连续性与可导性的关系 注意: 函数在点 x 连续不一定可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导.

14 2.2 导数的运算 2.2.1 几个基本初等函数的导数 2.2.2 导数的四则运算法则 2.2.3 复合函数和隐函数求导法则
第二章 2.2 导数的运算 几个基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 复合函数和隐函数求导法则 对数求导法 反函数求导法 高阶导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

15 2.2导数的运算 2.2.1几个基本初等函数的导数 一、常数的导数 常数的导数是0 二、幂函数的导数 三、正弦函数与余弦函数的导数
四、对数函数的导数

16 2.2.2 导数的四则运算法则 法则 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面对（3）加以证明,
并同时给出相应的推论和 例题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

17 (3) 证: 设 则有 故结论成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

18 推论1: ( C为常数 ) 推论2: 例5. 已知 解：

19 例6. 已知 解： 例7. 解： 例8. 解：

20 2.2.3复合函数和隐函数求导法则 一、复合函数求导法 在点 x 处也可导,且 定理1. 设函数 在 处有导数 ,函数 在 的对应点
在 处有导数 ,函数 在 的对应点 处可导, , 则 或 复合函数 上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数 在 处可导, 的对应点 处可导,而 处也可导,则 处也可导,且

21 例9. 已知 ,求 解：令 例10 .已知 ,求 解：令 例11 .已知 求 解：令

22 例12. 已知 ,求 解： 例13 .设 为可导函数,且 解：设 注意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层 。

23 二、隐函数求导法 y与x的函数关系隐含在 中，这种形式的 函数称为隐函数。 例如 等等。 如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导 法则求出y对x的导数。 例14. y是由 所确定的关于x的函数，求y’ 解：设 两边同时对x求导，则 即 最后得

24 例15 .求函数y是由 所确定的函数的导数 解：等式两边同时对x求导，得 解得 当 时， 故 例16. 已知 y是由 所确定的x 的函数， 试求 解：方程两边同时对x求导，得 从而 又由函数方程知 所以

25 2.2.4对数求导法 对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数 例17 .已知下列各函数，分别求其导数y’ 解: (1)两边同时取对数，得
为任意实数) 解: (1)两边同时取对数，得 两边同时对x求导，得 因而

26 (2)两边同时取对数，得 两边同时对x求导，得 因而 即对任意实数 ，有 (3)两边同时取对数，得 两边同时对x求导，得 所以 即 特别地，当 时，

27 2.2.5 反函数求导法 [定理2] 对于函数 它在某个开区间严格单 调、连续，它的反函数 在 处可导，且 在对应点 处也可导， 则 且
证略

28 例18 .已知 解： 内严格单调、连续，且 由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有 即 类似可得

29 例19 .已知 解： 内严格单调、连续，且 由定理2知在x所对应的区间 内, 即 类似可得

30 2.2.6 高阶导数 的导数也存在，则称其为 如果 的二阶导数，记为 三阶导数或三阶以上导数可类似定义。
函数的二阶及二阶以上的导数统称为y 的高阶导数。 例20 .已知 解：

31 例21 . y是由 所确定的x的函数，求 解：两边同时对x求导，得 所以 对上述等式两边再对x求导，得 整理并将 代入得

32 第二章 2.3 微 分 微分的定义 微分的几何意义 微分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束

33 微 分 问题提出： 正方形边长为 给边长增量 ， ，面积为 面积增量为 的高阶无穷小

34 2.3.1微分的定义 定义2 . 设函数 如果函数的增量 其中 A是不依赖于 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 为函数
定义2 . 设函数 在x 的某个临域内有定义， 可以表示为 其中 A是不依赖于 的x 的函数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 x处可微，并称 为函数 在x 处的微分，记作 如果函数的增量 即 如果 在点 x处可微，在 两端同除以 ，得 两边同时求极限得 即有

35 2.3.2微分的几何意义 切线纵坐标的增量 当 很小时, 自变量的微分, 记作 则有 导数也叫作微商 从而 记
当 很小时, 记 自变量的微分, 记作 则有 导数也叫作微商 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束

36 2.3.2微分的计算 一、微分的四则运算法则

37 二、一阶微分的形式不变性 设函数 和 可导，即 则复合函数 在 点的微分为

38 例22 求 在 时的微分. 解： 例23 已知 解：

39 2.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用 一、函数值的误差估计 且测量误差为 设 是 的函数， 的测量值为 计算 时将产生误差 把 与
分别称为 和 的绝对误差， 而把 与 分别称为 和 的相对误差。 当 很小时，有如下近似公式

40 利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类
误差估计问题。 的误差 (1)已知测量 所产生的误差，估计由 所引起的 的误差。 (2)根据 所允许的误差，近似地确定测量 时所允许的误差。 例24 设已测得一圆的半径 为21.5厘米，且 测量的绝对误差不超过0.1厘米，求计算圆面积 时所产生的绝对误差。 解：已知 的测量值为 厘米，绝对误差 厘米，因此S的绝对误差为

41 解：设胶丸的密度为 半径为r(单位为厘米)， 重量为W，则有 由于 因而 例25 从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于 0.1厘米的胶丸挑出来，如果挑出来的胶丸在半径 上允许有3%的相对误差，并且选择的方法以重量 为依据，试问在挑选时称量重量的相对误差应不 超过多少？ 从而 要使 只要 因而

42 二、函数值的近似计算 当 很小时，由式(2-33)可得 上式可用于计算 在 附近的近似值。 例26 计算sin44o的近似值。 解：设 所以

43 例27 求 的近似值。 解：设 则 取 有 所以

44 2.4 导数的应用 2.4.1 拉格朗日中值定理 2.4.2 洛必达法则 2.4.3 函数增减性和函数的极值 2.4.4 函数凹凸性及拐点
第二章 2.4 导数的应用 拉格朗日中值定理 洛必达法则 函数增减性和函数的极值 函数凹凸性及拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

45 拉格朗日中值定理 定理3 如果函数 在闭区间 [a,b]上连续，在 开区间(a,b) 内可导，则在开区间(a,b) 内至少存在一点 使得 拉格朗日简介

46 推论3 如果函数 在区间（a,b） 上每一点的 导数都为零，即 ，则函数 在区间 （a,b）上恒等于一个常数。 推论4 如果两个函数 与 在 （a,b）上每一 点的导数都相等，则 与 在区间 （a,b） 上仅相差一个常数。 例28 证明 对一切 都成立。 证： 设 区间 应用定理则 等号成立，因而对于一切 命题成立

47 例28 试证 证： 设 则 由推论3知y在(-1,1)内恒为常数， 即 又由于y在[-1,1]上连续，因而上式在[-1,1]内成立， 令 即得 从而结论成立。

48 2.4.2洛必达法则 洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎； 1704年2月2日卒于巴黎. 洛必达出生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究. 15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士.

49 2.4.2洛必达法则 本节研究: ( 或 型) 函数之商的极限 转化 洛必达法则 导数之商的极限

50 2.4.2洛必达法则

51 2.4.2洛必达法则

52 洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止

53

54

55 例题30 求 解:原试 注意: 不是不定式不能用洛必达法则 !

56 例题31求 解:

57 例题32求 解:

58 其他不定式: 解决方法: 通分 取倒数 取对数 转化 转化 转化

59 例题33 求 将上试通分后即可化为 型

60 例34. 求 解: 原式

61 例题35求

62 例题36求 注意： 在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则

63

64 2.4.3函数增减性和函数的极值 一、 函数单调性的判定法 二、函数的极值及其判定方法

65 一、 函数单调性的判定法 定理 1.设函数 在开区间 I 内可导, 若 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取
由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 证毕 注意：定理6只是判断函数增减性的充分条件，而非必要条件

66 例题38 试证当 证：设

67 例题38 试证当 证： 证毕

68 例39. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为

69 例40 说明: 驻点 单调区间的分界点除 外,也可是导数不存在的点.

70 驻点：使导数为零的点叫做驻点 返回

71 二、函数的极值及其判定方法 定义3: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 ,
则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 .

72 例如 例39 是极大值 为极大点 , 是极小值 为极小点 , 注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 为极大点 为极小点 不是极值点

73 定理7（必要条件）如果函数 在点 可导，且取极值，则 使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。 判断驻点是否为极值点要判断该点左右的倒数符号是否发生变化，此外导数不存在的点也可能是极值点。

74 证：仅就 取极大值做出证明，取极小值 时仿此证明
证：仅就 取极大值做出证明，取极小值 时仿此证明 当 时， 所以 当 时 所以 因此 ，证毕

75 定理 8 (极值第一判别法) (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , (3)若 不变号，则函数 在 处无极值

76 证：若 是 邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在 与 之间存在一点 ，使
证：若 是 邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在 与 之间存在一点 ，使 对于条件(1)，当 时， 有 ；当 时， ，有 ，所以当 由正变负时， 为极大值 对于条件(2)，当 时， 有 ；当 时， ，有 ，所以当 由负变正时， 为极小值 如果满足条件(3)，则　　在　的某个邻域内是单调函数，所以　　　不是极值，　也不是极值点．

77 由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下： 1、求导数 2、找出驻点和导数不存在的点 3、用定理8判定这些点是否为极值点

78 例题41 求函数 的极值 解： x -1 0.2 1 y’ + - y 增 无 极大 减 极小 由表可知极值 图象

79 返回

80 例42 已知直线方程 , 是直线外的一点, 试求A到直线 的距离
解:设 为直线方程 上的任一点,设A到B的距离为 z,则 令 得到唯一驻点

81 例42 已知直线方程 , 是直线外的一点, 试求A到直线 的距离
当 时, ,而当 时, ,从而 为 的极小值点,此时的 就是 到直线 的距离 ,将驻点值代入 中的 , 化简得

82 定理9 (第二充分条件)设 在点 处具有二阶导数，且 ，则： 1、若 ，则 是 的极大值 2、若 ，则 是 的极小值 3、若 ，则不能确定 是否为 的极值，仍需判断一阶导数在 左右的符号变化情况，然后再得出结论。

83 例题43 应用第二充分条件求函数 的极值 解:

84 例44 求 的极值 解: 则 因此,由定理9判定,函数在x=0时有 极小值0,在x=1,-1时由定理8判定

85 例45 血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值 依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径 之比，其关系式为 其中 （血细胞直径/小血管直径）<1, （血细胞速度/血浆速度） 试求 关于 的一阶导数的极值

86 解： 令 ，得 因为 所以 时 取极小值。由于 ， 所以他的绝对值 在 处达到极大值

87 例46 求 当 时得最大值与最小值 解:该函数是一个分段函数,可写成如下形式 该函数在[-5,5]内连续,但在x=3处不可导 因为 当 时函数可导

88 例46 求 当 时得最大值与最小值 的导数为 在讨论的区间内无驻点,因此最大值和最小值 只可能在 及导数不存在的点x=3处取得, 在这些点处的函数值分别为: 由此知函数 在[-5,5]的最大值为 最小值为

89 最大值与最小值 定义4 设 在闭区间 [a,b]上连续， 将区间内所有极值和端点处的函数值 与 比较，其数值最大与最 小者分别称为函数

90 例47 在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省
解: 设底面半径为r,高h,表面积为S,则

91 将S对r求导得 所以S的最小值

92 2.4.4函数的凹凸性及拐点 一、函数曲线的凹凸性 二、曲线的拐点 三、曲线的渐近线

93 一、函数曲线的凹凸性 定义5 如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的

94 定理10 如果函数 在区间(a,b) 内具有二阶导数 则在该区间上，当 时，曲线向上凹，并称 为凹函数； 当 时，曲线向上凸，称 为凸函数

95 在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。
二、函数的拐点 在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。 需要注意的是：拐点可能是二阶导数为0的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之二阶导数为0或者二阶导数不存在的点却不一定是拐点。 如果函数 返回

96 判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下： 1、求 2、令 求出其在定义域的根，同时找到在函数 定义域内部存在的二阶导数； 3、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如 判断 在 左右的符号，如果变号，则 是拐点，否则不是拐点；使 的那段区间为上凹区间，使 的那段区间为上凸区间。

97 例48 讨论曲线 的凹凸性及拐点 解: 在定义域内无零点 x 1 y’’ - 不存在 + y 上凸 拐点 上凹

98 例49 讨论函数 的单调性极值及拐点 解: 令y'=0,得x=-1,1,列表如下 x -1 1 y’ - + y 减函数 极小值 增函数
例49 讨论函数 的单调性极值及拐点 解: 令y'=0,得x=-1,1,列表如下 x -1 1 y’ - + y 减函数 极小值 增函数 极大值

99 例49 讨论函数 的单调性极值及拐点 解: x y” - + y 上凸 拐点 上凹

100 三、曲线的渐近线 定义6 如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线 如果 则曲线 有水平渐近线 如果 ，则曲线 有垂直渐近线 返回

101 例50 讨论 的渐近线 解: 知x=0是垂直渐近线 所以,y=x+3是一条斜渐近线

102 习题 确定函数 的单调性 解: 令y'=0得x=-1或x=2 x -1 (-1,2) 2 y’ + - y 增函数 减函数

103 习题 求函数 的极值 解: 令y'=0,解得 x y’ - + y 极小值

104 习题 求函数 的最大和最小值 解:

105 第二章 一元函数微分学 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人: 英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 运行时, 点击照片可显示牛顿, 莱布尼兹的简介, 并自动返回. 不点击则不显示. 导数 描述函数变化快慢 微分学 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)

106 拉格朗日中值定理 拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。

107 2.4.5* 几个医学常用图形的描绘 描绘函数图形的一般步骤 1 确定函数定义域及不连续点,求出函数在x轴和y轴上的截距
2.4.5* 几个医学常用图形的描绘 描绘函数图形的一般步骤 1 确定函数定义域及不连续点,求出函数在x轴和y轴上的截距 2 求出函数的一阶二阶导数及他们为零的根；找出使一阶二阶导数不存在的点；计算上述根与点的函数值 3 根据2中的根与点把定义域分为几个区间，列成一表 4 判断 及 的符号，由此确定函数图形的升降、凹凸、极值及拐点 5 确定函数渐近线 6 根据表中所列函数的特殊点、升降、凹凸等有关特性，适当补充一些点，然后用描点法把这些点连接成光滑曲线

108 一、正态分布曲线

109 一、正态分布曲线 (4)列表 减 上凹 拐点 上凸 极大值 增 + -

110 一、正态分布曲线 (5)根究列表画出图象

111 二、逻辑斯谛曲线 以下画出它的大致图形

112 二、逻辑斯谛曲线

113 二、逻辑斯谛曲线 (5)根据(1)~(4)画图

114 三、贡柏茨曲线 贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为

115 贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为
三、贡柏茨曲线 贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为 正函数 上凸 拐点 正函数 上凹 - +

116 三、贡柏茨曲线 贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为 (5)画图