稳定性分析 陈 平 中国人民解放军理工大学 二OO四年七月十七日.

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1 稳定性分析 陈 平 中国人民解放军理工大学 二OO四年七月十七日

2 第一部分 基本理论 一、压杆稳定的概念 压杆的稳定，是指受压杆件平衡状态的稳定性。

3 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡到非直线的平衡状态，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。

4 二、临界压力 使压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力称为临界压力或临界力。

5 欧拉公式的适用范围： （1）材料应力在比例极限范围内； （2）小挠度压杆。

6 三、临界应力与柔度 临界应力： 惯性半径： 长细比（柔度）：

7 长细比（柔度）： 柔度集中反映了压杆的长度、约束、截面尺寸和形状等因素。
根据柔度的数值，可将压杆分为大柔度杆（细长杆）、中柔度杆（中长杆）和小柔度杆（短粗杆）。 由于各类压杆临界应力的计算公式不同，因此在讨论压杆的稳定性时往往应首先计算其柔度。

8 四、临界应力总图 临界应力σcr是随着柔度λ而变化的，将其函数关系绘出，就是所谓的临界应力总图。

9 两段式临界应力总图

10 三段式临界应力总图

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12 五、压杆的稳定性计算 压杆的稳定性计算通常有两种方法： （1）稳定安全因数法 （2）稳定折减因数法

13 （1）稳定安全因数法 式中：n ——压杆的工作安全因数； nst ——规定的稳定安全因数； P、σ——杆件的工作压力和压应力。 使用时必须先计算柔度以确定临界力或临界应力的计算方法。

14 （2）稳定折减因数法 式中： 为稳定因数（折减因数）。 使用时也必须先计算柔度，查相应的规范中的表格得到 ，但不用去研究此时压杆属于哪一类。

15 六、压杆稳定性计算的三类问题 （1）稳定校核 （2）确定荷载 （3）设计截面

16 由于临界应力的大小与压杆的柔度有关，而截面尺寸未定时无法确定其柔度，就无法选定计算临界应力的公式，也无法去查折减因数表。因此，无论用哪种方法设计压杆截面，都要用试凑法反复计算才能得到理想的截面。
（1）稳定安全因数法 （2）稳定折减因数法

17 当然，如果局部削弱较大，则应对此局部进行强度校核。
由于压杆失稳是一种整体性破坏行为，故杆件的局部削弱如打孔等对杆件的截面积影响不大，因此在进行稳定性计算时仍按未削弱时的截面尺寸计算。 当然，如果局部削弱较大，则应对此局部进行强度校核。

18 七、提高压杆稳定性的措施 可以这样认为，提高压杆的稳定性，基本上就是设法减小其弯曲变形。 1、选择合理的截面形状 I、i
2、改变压杆的约束条件 μ、L 3、合理选择材料 σs、E

19 第二部分 例题分析 一、基本题 十、(本题10分)
第二部分 例题分析 一、基本题 十、(本题10分) 如附图1．10所示，①杆，②杆均为圆截面，直径相同，d＝40 mm，弹性模量E＝200 GPa，材料的许用应力 [σ]＝120 MPa，适用欧拉公式的临界柔度为90，并规定稳定安全因数nst＝2，试求许可载荷[F]。（北航大2002）

20 5．一两端铰支的圆截面细长压杆，具临界力为Fcr1，若将其直径增大1倍，其他条件保持不变，其临界力为Fcr2，则Fcr2／Fcr1的值为( )。
(A)4 (B)8 (C)16 (D)不能确定 （西交大2002）

21 一、(15分)附图1．12所示两端固定压杆，E＝210 GPa，σp＝200 MPa，σs=235 MPa，a＝304 MPa，b＝1．12 MPa，截面有矩形、圆形和空心圆形3种，但其横截面面积均为5 000 mm2，试求上述3种情形下压杆的临界压力Fcr。（西工大2002）

22 4．(15分)附图1．26所示托架，CD杆为No．14工字钢，AB为圆管，外径D＝50 mm，内径d＝40 mm。两杆材料均为Q235钢，比例极限σp＝200 MPa，屈服极限σs＝240 MPa，弹性模量E＝200 GPa，a＝304 MPa，b＝1．12 MPa，强度安全因数n＝1．5，稳定安全因数nst＝2，试求此托架所能承受的最大载荷Fmax(已知No．14工字钢抗弯截面模量Wy＝16．1 cm3，Wx＝102 cm3，截面面积A=21．5 cm2)。（西交大2002） F

23 三、(20分)两端球铰支杆AB和横梁BCD，材料均为Q235钢，E＝206 GPa，σp=200 MPa，[σ]=160MPa，AB杆长1
三、(20分)两端球铰支杆AB和横梁BCD，材料均为Q235钢，E＝206 GPa，σp=200 MPa，[σ]=160MPa，AB杆长1.5 m，横截面为50 mm× 60 mm的矩形截面。BCD杆长2 m，中点C处有一可动铰支座，D端受弯矩Me作用，其横截面为150 mm× 200 mm的矩形截面，放置方位如附图1．42所示，规定的稳定安全因数nst＝3，求弯矩Me的许可值。（浙江大学2001）

24 7．刚性杆AB，A端铰支，C、D处与两根抗弯刚度均为EI的细长杆铰接，如图示。试求当结构由细长杆失稳而毁坏时，载荷F的临界值。

25 2．图示结构，AB为刚性杆，①是a×a的正方形截面钢杆，②是直径为d的圆截面钢杆，已知a=30mm，d＝20mm，钢杆的弹性模量E＝200GPa，比例极限σp＝200MPa，屈服极限σs＝230MPa。在刚性杆的B端，有集中力F作用。试求构架倒塌时的F值。

26 二、刚体系统 3、（全国第三届，四）图示刚性杆，由弹簧支持，弹簧刚度为K，试导出它的临界荷载Pcr。 P A B D K l

27 8．图(a)所示为由铅垂刚性杆和两根钢丝绳组成的结构，刚性杆上端受铅垂压力F的作用，钢丝绳的横截面面积为A，弹性模量为E，钢丝绳的初拉力为F0。设结构不能在垂直于图面方向运动。试求该结构的临界载荷Fcr。

28 2、（全国第二届，9）由铅垂刚性杆和两根钢丝绳组成的结构，刚性杆上端受铅垂压力P，钢丝绳的横截面面积为A，弹性模量为E，钢丝绳的初拉力为零。设结构不能在垂直于图面方向运动。试求该结构的临界荷载Pcr。
H h α

29 19．图(a)所示结构，AB是刚性杆，AC是线弹性杆，AC杆抗拉(抗压)刚度为EA。求此桁架的临界载荷Fcr。

30 12．求图(a)所示结构的临界压力Fcr。已知各杆均为刚性杆，弹簧1、2的抗拉(压)刚度均为k。

31 三、基本微分方程 （全国第一届，9）已知图（a）所示平面刚架，A端固定，B端为辊轴支座，C为刚结点，当C点受垂直力P作用时：（1）试求失稳时特征方程的形式及临界荷载值；（2）若B端改为固定铰支座时（如图（b）所示），其失稳模式与情况（a）有何不同？其临界荷载值可增加多少？ P B C A EI 图（a） P B C A EI 图（b）

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33 179．如图179a，某均质实心圆柱高L，下端固定，为保持在自重作用下不失稳，直径不能小于某一值。如改成内外径之比为α的空心柱，且保持高度和稳定安全系数不变，从稳定安全考虑，可节省材料多少? (蒋持平，北京航空航天大学。原第330题，2001，No．4。)

34 3．图(a)所示刚架，水平梁BC的抗弯刚度为EI1，长度为L1；两立柱的抗弯刚度为EI，长度为L，立柱下端为铰支。整个刚架顶端可以有侧向位移，试求出求临界荷载的最终方程。

35 一底端固定而顶端由一刚度为β的线性弹簧所支撑的立柱，如图所示。若已知β=3EI/L3，试证：立柱的临界压力Pcr所满足的特征方程为：
其中k2=P/EI，EI是截面抗弯刚度。 (北京大学2001年)

36 四、多种失稳模式 图示材料试验机架，立柱上、下两端固定在可视为刚体的横梁和底座上，在横梁上作用由夹头传来的荷载P，试根据立柱的稳定性确定P的极限值。已知立柱用低碳钢制成，材料的弹性模量E=200GPa。（立柱满足欧拉公式的使用条件）

37 （江苏省第三届，6）

38 五、超静定问题（荷载） 一、(20分)由三根细长杆组成附图1．54所示平面对称结构，三杆材料相同，材料的弹性模量E，截面均为圆形，直径均为d，C端为固定端，其余为铰接。AC杆长度为L，确定点A处载荷F的临界值(仅考虑结构所在平面内的破坏情形)。（天津大学2002）

39 6．(14分)由6根钢圆杆组成的正方形结构，如附图1．39所示，图中E处两杆相互无约束。结构连接处均为光滑铰链，正方形边长a＝1 m，各杆的直径都为d＝50 mm，通过汁算，说明图中哪根杆首先失稳?并求此时结构所受外载F。圆杆材料为Q235钢，其弹性模量E＝200 GPa，比例极限σp=200 MPa，屈服极限σs＝240MPa，材料常数a＝314 MPa，b=1．12 MPa。（华中科大 02）

40 5．直径为d的圆截面杆①、②、③两端铰接，与刚性平板相连，平板上加有一力偶Me，三杆材料相同，弹性模量均为E，如图(a)所示。已知L=30d，λp＝1，求此结构失稳时的Me值。

41 3．(15分)附图1．52所示一结构，系由两根悬臂梁与杆BC连接而成。设两梁的截面相同，主惯性矩为I，杆BC的横截面面积为A，梁和杆的材料相同，弹性模量为E。当AB梁作用均布载荷q时，试求：
(2)若压杆BC在图示平面内丧失稳定时，此时的载荷q应为多少?（上交大2002）

42 六、超静定问题（温度） 三、(10分)题图4．3所示①、②两杆材料相同，弹性模量均为E；两杆截面都是方形，边长分别为3a和a。已知L＝70a，为避免失稳，试求此结构温度t可升高的最大值。设材料的线膨胀系数α＝1．25×10-5 ℃-1，并且适用欧拉公式的柔度临界值是100。（天津大学1999）

43 七、超静定问题（装配） 9．两根相同截面(b×t)的矩形截面细长杆1和2，两端用铰相联，现将一端固定在天花板上，另一端欲悬挂一重量为P的重物。设原杆l由钢制成，弹性模量为E1，杆长为L；杆2由铝制成，弹性模量为E2，长度比杆1长ΔL。试分析ΔL对杆挂重物端的竖向位移影响。设杆件处于线弹性阶段。

44 八、冲击问题 5．(16分)直径为d的圆截面直角刚架ABC与CD杆(圆截面，直径为d0)铰接于点C，如附图1．73所示。今有一重为F的物体，由高度H处自由下落冲击点B，试校核CD杆的安全。已知材料为Q235钢，σb＝380MPa，σs＝240 MPa，σp＝200 MPa，E＝200 GPa，G＝80 GPa，d＝50 mm，d0＝10 mm，L＝l m，F＝200 N，H＝20 mm，安全因数n＝2，稳定安全因数nst＝3。（同济2002）

45 2．(15分)梁柱结构如题图3．7所示，A，B，C处均为铰接，当重物F＝2．88kN从高度h＝6cm处自由下落到AB梁上时，试校核立柱BC的稳定性。已知：(1)AB梁：弹性模量E＝200 GPa，截面惯性矩I＝100 cm4，梁长L＝2 m。(2)BC柱：弹性模量E1＝72 GPa，截面面积A1＝1 cm2，截面惯性矩Il＝625 cm4，柱长a=1 m，欧拉公式适用的临界柔度λp＝62．8，中柔度杆的临界应力公式σcr＝a-bλ，式中a=373 MPa，b＝2．15 MPa，中柔度杆的经验计算公式适用的临界柔度λs＝36．3，稳定安全因数nst＝3。（上交大2001）