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布題、解題與溝通 台南大學數學教育學系 葉啟村
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前言 一折漫畫笑話： 第一張圖老師問：「桌子上有５顆糖果，哥哥吃掉２顆，剩下幾顆？」 第二張圖學生回答：「沒有剩下，因為哥哥會把它吃光。」
第三張圖老師很生氣的問：「伸出你的手指頭，５根手指頭剁掉２根，會怎樣？」 第四張圖學生很緊張很謹慎的回答：「會殘廢」。
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布題 範例一：(Piaget) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ １
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範例二：(Jacques Mehler & Tom Bever)
○ ○ ○ ○ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 將 (1) 改以巧克力呈現，並向試測兒童說：「你可以從兩排中挑選一排吃下．」大多數兒童都能挑選較多的一排．
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三個布題案例 低年級學童第一次面對問題：「一枝筆賣５元，買４枝筆要多少元？」請問，你的班上是否有學童以算式「５＋４＝（９）」作答呢？
當第一次要從事的「十二分之一」命名教學時，採用問題：「一打鉛筆12枝，一枝是多少？」你覺得欠缺了什麼？ 你覺得問題：「圓錐體有幾個頂點？幾個邊？幾個面？」有何瑕疵？
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數學問題的型式 情境模式 例如：下圖中哪種顏色的棋子比較多？多幾顆？ ●●●●● ○○○○○○○○ 語言文字模式
●●●●● ○○○○○○○○ 語言文字模式 例如：這裡有５個黑子、８個白子，誰比較多？多幾顆？ 數學符號模式（計算題） 例如：８－５＝（？）
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你覺得學童解下列問題時哪一個較易出錯？ 情境模式 例如：下圖中哪種顏色的棋子比較多？多幾顆？ ●●●●● ○○○○○○○○ 語言文字模式
你覺得學童解下列問題時哪一個較易出錯？ 情境模式 例如：下圖中哪種顏色的棋子比較多？多幾顆？ ●●●●● ○○○○○○○○ 語言文字模式 例如：這裡有５個黑子、８個白子，誰比較多？多幾顆？ 數學符號模式（計算題） 例如：８－５＝（？）
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如何幫助學童解決語言文字問題 請比較下列兩個問題： 公車上原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問公車上現在有多少人？
游泳池內原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問游泳池內現在有多少人？ ５－３＋２＝４ ５＋３－２＝６
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公車上原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問公車上現在有多少人？
公車上原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問公車上現在有多少人？
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游泳池內原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問游泳池內現在有多少人？
游泳池內原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問游泳池內現在有多少人？
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語言文字模式的理想解題過程 數學符號模式 語言文字模式 情境模式
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如果你的班上解問題：「一枝筆賣５元，買４枝筆要多少元？」有學童以算式「５＋４＝（９）」作答時，如何處理？
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有時候既使回到情境模式，學童解題仍有障礙，應如何解決？
有時候既使回到情境模式，學童解題仍有障礙，應如何解決？ 其實本問題牽涉到教師專業問題，茲以兩個例子來說明：
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第一個案例 Ｑ１：下面桌子上的杯子，左邊比較多還是 右邊比較多？ Ａ１：平手。 左邊 右邊
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第一個案例 Ｑ２：現在桌子上的杯子，左邊比較多還是 右邊比較多？ Ａ２：右邊。 Ｑ３：多幾個？ Ａ３：多１個。 左邊 右邊
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第一個案例 Ｑ４：現在桌子上的杯子，左邊比較多還是 右邊比較多？ Ａ４：右邊。 Ｑ５：多幾個？ Ａ５：多３個。 左邊 右邊
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第一個案例 Ｑ：下面桌子上的杯子，左邊比較多還是 右邊比較多？ 左邊 右邊
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下面桌子上的杯子，左邊比較多還是右邊比較多？多幾個？
下面桌子上的杯子，左邊比較多還是右邊比較多？多幾個？ 左邊 右邊
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第二個案例 當第一次要從事的「十二分之一」命名教學時，採用問題：「一打鉛筆12枝，一枝是多少？」你覺得欠缺了什麼？
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分數的意義 均等分割活動 合成活動 部分－全體的關係
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均等分割活動 連續量 把一條繩子五等份． 把一塊披薩分成五等份． 單一獨立物 把一條５公分長的繩子五等份． 一盒蘋果有５個，把它分成五等份．
把一條繩子五等份． 把一塊披薩分成五等份． 單一獨立物 把一條５公分長的繩子五等份． 一盒蘋果有５個，把它分成五等份． 多個獨立物 一盒蘋果有２０個，把它分成五等份．
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合成活動 合成幾份 一打鉛筆12枝，平分成12份。拿出3份是多少打鉛筆？ 合成幾個單位分量。
一打鉛筆12枝，平分成12份。拿出3份是多少打鉛筆？ 合成幾個單位分量。 一打鉛筆12枝，平分成12份。一份是1/3打鉛筆，拿出3個1/3打，是多少打？
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部分－全體的關係 例如：全班有20人。 甲說：我們班上有「2/5」的人不及格 乙說：我們班上有8人不及格。 問：上述兩人說法有何不同？
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使用量詞的問話來凸顯部分－全體的關係 例如： 一打鉛筆12枝，平分成12份。拿出3份是多少打鉛筆？
一塊披薩平分成12份，拿出3份是多少塊披薩？
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你覺得下列問題有何瑕疵？ 圓錐體有幾個頂點？幾個邊？幾個面？ 甲錶每天快１分１４秒，乙錶每天慢８秒。請問一週後，兩錶的時間相差多少？
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解題工具 這裡有多少元？ 問題Ａ： 問題Ｂ：
問題Ｂ： 你覺得上述兩個問題哪一個比較簡單？
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如果我們用英文字母 a,b,c,d,e,…來數錢，例如：a元就是１元；b元就是２元；e元就是５元…。這裡有多少元？
問題Ａ： 問題Ｂ： 你覺得上述兩個問題哪一個比較簡單？
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如果我們在第一次敎乘法問題，學生解問題：「一盒蘋果有６個，７盒蘋果有幾個？」時，直接用九九乘法表說：「因為「六、七、四十二」，所以是４２個」。
教師是否接受？ 如果不接受應如何處理？
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問題Ｂ：一盒蘋果有６個，１ 盒換成假分數要說是多少盒？
問題Ａ：把１ 化成假分數？ 學生常犯錯誤類型為 ，應如何解決？ 問題Ｂ：一盒蘋果有６個，１ 盒換成假分數要說是多少盒？ 問題Ｃ：一盒蘋果有６個，１ 盒是多少 個，換成假分數的說法是多少盒？ ６ 11 ６ １ ６ １ ６
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２ ＋ ３ ＝ ５ ２＋３為什麼等於５？ 在一年級時都這麼處理： 第一步：先畫出２個圈圈代表２。（做數）
第二步：先畫出３個圈圈代表３。（做數） 第三步：現在數一數共有多少個圈圈。（數數） ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ２ ＋ ３ ＝ ５
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同分母的分數加減法 有一位學童說 2/3+2/3=4/6 ，他的說法如下： 你知道他哪裡錯了嗎？ ●●○ ●●○ ＋ 2/3 ＝ 4/6
＝ 4/6 2/3
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2/3+2/3為盒4/6 第一步：一盒蘋果有３個，請你拿出2/3盒蘋果。（做數） 第二步：請你再拿出2/3盒蘋果。（做數） 第三步：現在數一數共有多少個蘋果？用分數說說看是多少盒（描述活動） ２＋３為什麼等於５？ 第一步：先畫出２個圈圈代表２。（做數） 第二步：先畫出３個圈圈代表３。（做數） 第三步：現在數一數共有多少個圈圈。（數數）
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分數的描述活動 一盒蘋果１２個，１０個是多少盒？ 一盒蘋果１２個，平分成１２份，１０個是多少盒？
一盒蘋果１２個，平分成６份，１０個是多少盒？ 一盒蘋果１２個，平分成６份，一份是２個，請問１０個是多少盒？
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一盒蘋果１２個，請問 1/2 盒和 1/3 盒合起來是多少盒？
一盒蘋果１２個，請問 1/2 盒和 1/3 盒合起來是多少盒？ 成人解法：利用擴分解決。 學童法： 第一步：一盒蘋果１２個，請你拿出 1/2 盒蘋果，也就是６個。（做數） 第二步：一盒蘋果１２個，請你拿出 1/3盒蘋果，也就是４個。（做數） 第三步：數一數合起來有幾個，用分數說說看是多少盒？（描述活動）
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結與與建議 布題時應注意學童是否聽得懂題目，尤其是語言文字布題時，更需注意學童是否知悉題目所描繪的情境。必要時，可輔以具體物操作幫助學童了解題目後，再布類似題？ 學生解題時，應注意學生的預備知識是否完備，學生的解題工具是否與教學目標有差距？必要時，可輔以分段布題的方式建立解題工具，再行布類似題。
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（給家長的話）當我們對學童從事補救教學時，應盡量避免直接將成人解法注入式的敎給學童。而應先了解學童解題時的困境，必要時可與教師連絡，再進行補救教學。
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