第五章 矩阵与行列式 §5.4 逆矩阵 §5.5 矩阵的初等变换.

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1 第五章 矩阵与行列式 § 逆矩阵 §5.5 矩阵的初等变换

2 §5.4 逆矩阵 设给定线性方程组 根据矩阵的乘法，以上线性方程组可表示成矩阵形式 其中

3 分析代数方程 的求解过程，对于求解矩阵方程会有新的启发．

4 逆矩阵的概念与性质 定义5.7 对于 阶矩阵 ，如果有矩阵 ,使得 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵．

5 的逆矩阵是唯一 . 证：设B、C都是A的逆矩阵，则有 所以A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵记作 ， 即若 ，则 ．

6 可逆矩阵及其逆矩阵的性质 性质5.7 可逆矩阵 的逆矩阵 也是可逆矩阵，并且 性质5.8 非零数 与可逆矩阵 的乘积矩阵 也是可逆矩阵，并且

7 性质5.9 两个同阶可逆矩阵的乘积矩阵是可逆矩阵，并且
性质5.10 可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，并且

8 方阵可逆的条件 伴随矩阵 设n阶方阵 由方阵 中元素 的代数余子式 按转置方式排成的 阶方阵，称为方阵 的伴随矩阵，记作

9 定理 阶方阵 可逆的充分必要条件是 并且当 可逆时， 的逆矩阵可表示为 其中， 是 的伴随矩阵． 上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法．

10 练习5.12 求矩阵 使满足 其中 解：若 存在，则用 左乘上式， 右乘上式，有 即 可解得 ， ，故知 都可逆．且

11 得

12 所以 同样可得出 于是

13 §5.5 矩阵的初等变换 消元法解线性方程组 解：

14 只需用“回代”的方法便能求出解： （其中c为任意常数） 或者

15 线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换 (1) 互换两个方程的位置； (1) 对调i,j两行 (2) 用一个非零的数乘一个方程．
(3) 用一个数乘一方程加到另一方程； (3) 把j行的k倍加到i行 矩阵的 初等行变换 线性方程组的同解变换 矩阵的 初等变换 矩阵的 初等列变换

16 用行初等变换求逆矩阵 将n阶可逆矩阵A与n阶单位矩阵E并列， 构成一个n*2n矩阵[A E]．
初等行变换 在事先不知道方阵 是否可逆的情况下，应用上述方法可以同时判断 的可逆性． 如果经过若干次行初等变换后，发现在左边的方阵中有一行元素全为零，则意味着 不可逆，此时 不存在．

17 练习5.13 用行初等变换的方法判断下列方阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵．
解：

18 于是求得 的逆矩阵为

19 至此，左边的方阵中最后一行元素全部为零，所以 不可逆，即 不存在．

20 习 题 习题1 求A,B的逆矩阵． 解：

21 习题2 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x1, 农具及工具的价值x2, 织物的价值x3的比值.

22 解: 根据上表可得关于 的三个齐次方程如下:
对系数矩阵做行初等变换:

23

24 可见方程有非零解, x3为自由变量, 令x3=t为任意正实数, 则有x1=x2=x3=t, 即三种价值的比值为1:1:1.

25 自测题 1.设 A= ，求A的逆矩阵 。

26 2.设矩阵 A= ，求出 3.求A= 的秩 答案为： 答案为：2