國小數學教材分析報告 －面積 報告人:陳 瑛 學號:9117224 報告日期:91年10月14日.

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1 國小數學教材分析報告 －面積 報告人:陳 瑛 學號: 報告日期:91年10月14日

2 報告內容 （一）82年版課程標準與九年一貫課程網要『量與實測』教材架構理念 （二）82年新課程數學科各年級有關『面積』的各年級教學目標
（三）國小數學科『面積』課程的結構與小學生對面積的認知結構 （四）國小數學科在『面積』課程上的爭議

3 （一）『量與實測』教材架構理念 82年版課程標準: 對於量的感覺是建基在『實物的感覺存在性質』的量上
是由工具的使用與對物理現象的掌握齊頭入門 發展是依據測量活動對物理現象的掌握之有效程度加序列

4 （一）『量與實測』教材架構理念 九年一貫課程網要: 兒童對於量概念的認知發展形成要經過五個階段才算完整: 第一階段:量的初步概念
第二階段:量的間接比較 第三階段:個別單位的描述 第四階段:公制單位系統內的認識與換算 第五階段:量的公式概念

5 （二）82年新課程教學目標 一年級 一、 方盒、圓罐、球 二、 形形色色 1. 依『三維』基本形體外觀做簡單的分類
1. 依『三維』基本形體外觀做簡單的分類 2. 依『二維』基本形體外觀做簡單的分類 3. 用標準名稱描述『二維』基本形體 4. 認識平面、曲面 5. 能複製『三維』基本形體 二、 形形色色 1. 用圖形板及同形狀的外框體驗『形狀』的意義 2. 利用釘板或竹籤做圖形 3. 透過圖形板的操作，體驗圖形的合成與分解 4. 在表格上做記錄 5. 能複製『三維』基本形體

6 （二）82年新課程教學目標 二年級 一、平面圖形 1. 用疊合認識全等圖形，並找出全等圖形 2. 用剪疊方法說明兩個圖形是否全等
3. 從摺紙和剪紙中觀察線對稱 4. 認識面積，用來形容平面的大小 5.直接比較面積的大小，及認識面積的保留性和可加性 6.認識1平方公分，用平方公分為單位配合疊合點，算出圖形的面積 7. 以平方公分板實測面積

7 （二）82年新課程教學目標 三年級 一、三角形和四邊形 二、 面積
1.能由分辨和描繪三角形與四邊形，了解三角形與四邊形的命名，及構成要素：角、邊、頂點 2. 能利用竹籤或吸管的操作，做出三角形任意兩邊和一定要大於第三邊 二、 面積 1.利用畫圖形和塗色來認識周界和周長，並會命名 2.利用具體物疊合比較認識面積 3.利用個別單位的覆蓋，來描述面積的大小 4.利用方格紙的覆蓋，描述面積的大小 5.以平方公分為計讀單位，求出圖形的面積 6.利用全等三角板認識等積異形的概念從不同圖形建立等積異形的概念

8 （二）82年新課程教學目標 四年級(一) 一、 圓和球體 二、四邊形 1. 利用畫圓認識圓、圓心、半徑、直徑和圓周
1.  利用畫圓認識圓、圓心、半徑、直徑和圓周 2.  認識圓規，並能使用圓規畫圓 3.  從日常生活中體驗球體，並能分辨球體與非球體 4.  利用切割活動，了解球的橫切面是圓形 二、四邊形 1.透過直角，認識垂直的意義 2.藉由垂直的關係，認識平行的意義 3.由邊長相等或邊和邊的垂直、平行等關係，做四邊形的分類和命名 4.了解長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形的特性

9 （二）82年新課程教學目標 四年級(二) 三、平方公分和平方公尺 四、面積 1.認識平方公分，以1平方公分為單位進行估測、實測
2.認識平方公尺，以1平方公尺為單位進行估測、實測 3.平方公分和平方公尺的關係，及其間的化聚 四、面積 1.知道長方形面積的求法 2.知道正方形面積的求法 3.長方形與正方形面積求法及公式的應用

10 （二）82年新課程教學目標 五年級(一) 一、多邊形 1.由三角形和四邊形來認識多邊形，並會繪製多邊形
2.利用『疊合』來認識全等的多邊形，及其對應邊和對應角關係 3.利用正三角形和正方形的邊長及內角相等，來認識『正多邊形』 4.用摺紙與剪裁來繪製正多邊形，或用正三角形拼湊出正六邊形 5.利用累加或實測三角形和四邊形的內角，知道內角和 6.利用分割成三角形，知道多邊形的內角和

11 （二）82年新課程教學目標 五年級(二) 二、面積
1.用長方形與平行四邊形面積、三角形與長方形面積的關係，知道平行四邊形面積、三角形面積的求法及公式 2.認識平行四邊形和三角形的底邊和高 3.畫出平行四邊形和三角形指定底邊上的高，並計算出平行四邊形和三角形的面積 4.用梯形與長方形面積關係，知道梯形面積求法及公式 5.認識梯形的上底、下底和高 6.畫出梯形上的高，並計算出梯形的面積 7.用等底等高的平行四邊形或三角形，知道面積都相等 8.用三角形、平行四邊形和梯形面積公式，求算出複合圖形的面積

12 （二）82年新課程教學目標 五年級(三) 三、圓周長 四、圓面積 1.從複製圓方法，發現圓周長大約是直徑的3倍多
2.認識圓周率，從實測大小不同的圓，測出圓周率（即圓周長和直徑的比值） 3.應用圓周率和圓的直徑（或半徑）算出圓周長，及由圓周率和圓周長，算出圓的直徑或半徑 四、圓面積 1.由方格紙的點算中，概算出不規則圖形的面積 2.由方格紙的點算中，概算出圓形的面積 3.由圓形的分割與拼湊，觀察圓形與長方形面積關係 4.由圓形與長方形面積的關係，知道圓面積的公式 應用圓面積的公式算出複合圖形的面積

13 （二）82年新課程教學目標 六年級 一.扇形 二. 土地面積 1.複習圓形的繪圖及面積計算法
2.認識扇形及構成要素（圓心角、頂點、直線邊、弧線邊） 3.認識1/2圓和1/4圓的扇形及面積、圓心角 4.認識1/6圓和1/8圓的扇形及面積、圓心角 5.利用1/2圓和1/4圓繪製圖形，並算出其面積 二. 土地面積 1.認識公畝的意義 2.認識公頃的意義 3.認識平方公里的意義 4.土地面積單位的化聚與應用5.利用1/2圓和1/4圓繪製圖形，並算出其面積

14 （三）國小『面積』的課程結構與小學生對面積的認知結構
平面區域的介紹 平面區域大小的比較 三角形、特殊四邊形和圓形的面積公式 地積單位及面積單位的換算

15 平面區域的介紹 和平面區域概念相關的生活經驗 認識平面區域 平面區域的分與合

16 和平面區域概念相關的生活經驗 （一） 平面區域的說明: 一般的教室、臥室或客廳的地板由牆壁圍住，形成一個確定的平面區域
運動場跑道以埋磚方式圍住，跑道內部形成一個平面區域 物體的表面是平直的，它的每個面是一個平面區域

17 和平面區域概念相關的生活經驗 （二） 平面區域的限制: 有些地面會有些起伏不平，但仍然可以把它視為『平面區域』
小物體的表面可以移動，比較時可以用『疊合法』，但地面不可移動，需要經由『複製』後，才能疊合比較 曲面(如柱體或錐體)的面積，要切開攤平後，才能做比較

18 小學生在生活上與『平面區域』 相關的認知結構
區別平面區域和非平面區域 1.兒童容易把光滑和平平混淆 2.靜止的水平面是很好的例子，但可以擺成其他的方向

19 認識平面區域 長度是描述直線段的大小，面積則是描述平面區域的大小 最單純的平面區域： 由封閉的、不自己相交的平滑曲線或折線段為周界所圍
較複雜的平面區域： 由多個不相連的封閉曲線，或折線段形成其周界，但區域本身仍然是連通

20 小學生在認識『平面區域』上 的認知結構（一）
區分周界與區域 1.面積無法像直線段一樣，在紙上標出平面區域，並在周界圍成的內部，特別用顏色塗勻加以區分 2.在黑板上老師可用手掌在標示出平面區域上做出塗抹的動作，以強調此區域 3.在學會求長方形面積後，應讓學生同時實測長方形區域的面積和周長，並體驗兩個長方形可以周長相等，面積不相等，或者反過來亦可

21 小學生在認識『平面區域』上 的認知結構（二）
曲面的面積 可展曲面如圓柱面和圓錐面，可讓學生剪開，來比較其大小 不可展曲面如人體的表面，可以剪成塊狀或用報紙覆蓋在身體上，以便估測人體的表面積

22 平面區域的分與合 兩平面區域如果共有一段周界，則可將共有的周界部分取消，形成一個新的平面區域，此乃平面區域的合成
在一個區域內加以分割，使形成兩個不相連的子平面區域，此為平面區域的分解

23 小學生在『平面區域』分與合的認知結構 平面區域的分與合 平面區域在課本上是色塊或圖形板的表面，或一塊布、一張報紙
與兒童溝通時，將報紙剪為兩塊，或將分開的兩塊再拼合，在拼合時，宜以膠帶自背面黏合，不宜重疊報紙，以免學生誤解

24 平面區域大小的比較 可移動的物體的平直表面，可以緊密覆蓋在另一個平面區域上，和直線互相疊合的道理一樣 （一）直接比較 （二）間接比較
如果兩個平面區域都不可移動，可以用紙、布複製其中一個（面積相同），再拿來和另一平面區域做比較 （三）個別單位比較 1.利用個別單位區域的合成來複製被提出做比較的兩個平面區域 2.個別單位區域具備的條件

25 個別單位區域具備的條件 個別單位是使用可以在平面上做出向四面八方延伸的無空隙舖設，例如：正方形、長方形、凸四邊形、三角形、正六邊形 正方形
平行四邊形 個別單位是使用可以在平面上做出向四面八方延伸的無空隙舖設，例如：正方形、長方形、凸四邊形、三角形、正六邊形 長方形 正三角形 正六邊形

26 小學生在『平面區域』大小比較的認知結構 直接比較 間接比較 個別單位比較 將一平面區域覆蓋於另一塊之上，這是學生可以做到的，但不易察學到
1.當兩平面區域無法直接比較時，使用間接比較，在教學上沒有什麼困難，比較困難的是切割重組 2.三年級學生在判斷由兩個等腰直角三角形所組成的平行四邊形和正方形哪一個比較大時，確有些爭議，那還不如在介紹1平方公分後，讓學生以圖卡或在公分格上做出一定數量的平方公分區域，讓學生互相欣賞，加強等積異形的『保留概念』 個別單位比較 在計數時，可以運用乘法簡化運算

27 三角形、特殊四邊形和圓形的面積公式 單位正方形的累積 單位正方形的等分割 三角形區域的面積 對角線切割法 等積異形 面積公式與代數的關係
圓形面積 扇形面積

28 單位正方形的累積 將單位正方形緊密以邊相合成一直排，如果用了m個，就是有m個正方形區域合起來，形成一個新的平面區域 面積為m×n平方公分

29 單位正方形的等分割 面積為1/p×q平方公尺
將單位正方形的一邊分割成p等分，過分割點做另一邊的平行線，則可將單位正方形區域分割成p個全等的小長方形區域 每個小長方形區域的面積是單位正方形面積的p分之一倍，即其面積可記為1/p平方公尺 P個 也可將小長方形區域的另一未分割的邊分成q等分 q個

30 三角形區域的面積 先導出直角三角形的面積，將此直角三角形複製一個全等三角形，以斜邊中點旋轉180度，可湊成一個長方形，利用長方形面積公式，求出直角三角形的面積為兩股邊長乘積之半 股 另一股 (一股×另一股) ÷2＝三角形面積 任意三角形可從任一點向其對邊做垂線，不管垂線在三角形內部或外部，都可視為兩直角三角形的合成，就是底乘以高除以2

31 三角形區域的面積 高 左底 右底 高 底 全部底 外底 底 （左底×高）÷2＋ （右底×高）÷2 ＝三角形面積 (底×高) ÷2＝三角形面積
（全部底×高）÷2－ （外底×高）÷2 ＝三角形面積 (底×高) ÷2＝三角形面積

32 對角線切割法 可以用來求平行四邊形和梯形面積 高
平行四邊形被對角線分割成全等的兩個三角形，由1/2（底×高）公式，可得平行四邊形面積為底×高，三角形的高和平行四邊形的高相同 底 [（底×高）÷2] ×2＝平行四邊形面積 上底 高 梯形面積為1/2（上底×高）與1/2（下底×高）的和，合併後即為（上底＋下底）×高÷2的公式 下底 [（上底×高）÷2] ＋ [（下底×高）÷2] ＝梯形面積

33 等積異形 兩多邊形面積相等，則可以用直線段將其中之一做有限多次的切割，再合拼成與另一多邊形全等的區域
七巧板是將一正方形或長方形切割成等腰直角三角形、菱形、梯形、正方形等七塊、再由這七塊的部分或全體，拼成簡單的幾何圖形

34 面積公式與代數關係 代數就是以符號代表數，產生未知數和恆等式 面積公式中，以符號代表邊長，藉由簡單的乘法分配律，導出特殊四邊形的面積公式
這幾個面積公式以拉丁字母表示： 梯形的面積是 A＝1/2（a+b)h 在九年一貫綱要中，要求在六年級教

35 圓形面積 圓面積＝圓周率×半徑的平方 透過極限，使用內接及外切正六邊形，每次增加2倍邊數，就可任意逼近圓的面積
將互相垂直的兩條半徑各取十等分，再以分點為準做出邊長是半徑的0.1倍格子，將這格子擴充到整個圓上，再細數完全在圓內的格子總數，及與圓交集的格子總數，如此可得到圓面積的下界和上界

36 扇形面積 扇形是由兩段直線段和一段圓弧所構成，此二直線段必須是圓弧的半徑 圓心角/360度 360度
把圓周角分成360等分，每一個圓心角為1度，每個扇形是全等的，其面積為圓面積的1/360 扇形面積＝圓面積×（圓心角/360）

37 地積單位及面積單位的換算 源自長度公制單位的面積單位 1.在小學面積單位是與長度單位相對應的 地積單位
2.面積單位有：平方公里、平方公尺、平方公分、平方毫公尺 3.面積單位的換算：1平方公尺＝10000平方公分，同理1平方公里＝ 平方公尺 地積單位 1.土地面積單位有：平方公尺、公畝、公頃、平方公里 2.它們之間的倍數都是100倍 3.『坪』是日據時代遺留下來的最容易被看到，也最易引起誤會，因此提倡以『平方公尺』代替『坪』

38 小學生對『面積』及『地積』單位的認知結構（一）
面積個別單位 常用數學課本、正三角形圖卡或正方形格子等，只是個別單位的點數很不方便 例如：以長方形格子劃分天花板，與其點數個別單位，還不如直接量出天花板的長與寬後，再算出天花板的總面積 以個別單位做面積： 1.在格子紙上塗出指定數量的格子 2. 用全等的圖形卡片鋪在一起，但不可重疊(教學應以此為主，因為1平方公分圖卡太小，常用正方體的白色積木代替)

39 小學生對『面積』及『地積』單位的認知結構（二）
面積普遍單位 使用較抽象的『平方公分』及『平方公尺』 利用白色積木的面為1平方公分，配合 手操作：×個白色積木的覆蓋 口說：×個1平方公分合起來的面積 達到：聽到1平方公分，想到1個白色積木的面 處理1平方公尺時，用報紙或不織布製作 處理1平方公里時，使用熟悉的社區找出周界，再把周界內重要地標標示出來 1平方公尺和1平方公分的關係 利用百格板建立1平方公尺和100張百格板的面積一樣大，而1張百格板是100平方公分，即是100個1平方公分的100倍，得到10000平方公分

40 小學生對『面積』及『地積』單位的認知結構（三）
面積的大範圍實測（1） 對土地大範圍進行實測的方式： 1.事先劃定界限，並對學生告知圖形為長方形、梯形、三角形或圓形，再要求學生量出邊長和高長，在紙上畫出示意圖，標出邊長和高長，利用公式算出答案 2.先以土地測量方式，將校園畫成依一定縮小比例的圖，將此平面圖分割成長方形、梯形、三角形，再在圖上量出底長、高長，利用公式求出面積 82年新課程不在意『坪』的單位，但當九年一貫課程時仍重視『坪』的介紹

41 小學生對『面積』及『地積』單位的認知結構（四）
面積的大範圍實測（2） 1.事先劃定界限，並對學生確定圖形為長方形、梯形、三角形或圓形，再要求學生量出邊長、高長，接著在紙上畫出示意圖，標出邊長、高長，利用公式算出答案 2.先以土地測量方式，將校園畫成依一定縮小比例的平面圖，再將此平面圖分割成長方形、三角形、梯形，再在圖上量出邊長、高長，利用公式求出

42 （四）國小數學科在『面積』課程上的爭議（1）
與分割重組有關的幾何論證 案例：一個平行四邊形分割成兩個全等的三角形，或從平行四邊形的左側切出一個直角三角形，再移到右側，即構成一個長方形 以往是由老師宣告，畫個圖就算交代了 按照『凡析理』的幾何教學理論： 1.以圓規、直尺加以檢查 2.以疊合方式檢驗 3.透過三角形內角和為180度做局部論證 學童會自發性利用長方形面積公式，解決三角形、梯形和平行四邊形的面積問題嗎？

43 （四）國小數學科在『面積』課程上的爭議（2）
面積語詞引入的時機 長度教學，教到以刻度單位表示長時，才用長度的語詞來溝通 在學童用語中，面積缺乏與長短對應的日常語詞 在課程N－1-9的直接比較（即面積教學的第二個活動） ，在直接比較覆蓋活動之後，即引入面積的語詞，這個時機是否太早了？是否能在使用刻度表示後才引用面積語詞較合適

44 （四）國小數學科在『面積』課程上的爭議（3）
平方公分板的使用 82年新課程是以公分尺的使用為例，有兩個階段 1.使用公分尺是當作刻度工具 2.個別單位結構的理解 九年一貫課程把平方公分板當作面積的刻度工具，但其效果令人質疑： 1.平方公分板上格子的點數非常的麻煩 2.它不是真正實用的工具 3.平方公分板要有兩個教學活動，很花時間，不如在個別單位教過後，再使用格子就好 4.在討論的平面圖形內部畫上格子，在教學時要容易多

45 小學生在學習『面積』上的困難 低年級對面的認識多半沒有問題 對於『平方』的名詞，中年級學生無法建立抽象式概念 報告完畢，謝謝指教