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第6章 弯 曲 6.1 弯曲的概念与实例 6.2 梁的内力与内力图 6.3 弯曲时的正应力与强度计算 *6.4 梁的变形
第6章 弯 曲 6.1 弯曲的概念与实例 6.2 梁的内力与内力图 6.3 弯曲时的正应力与强度计算 *6.4 梁的变形 6.5 提高梁的承截能力的措施 *6.6 组合变形简介 思考与练习
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6.1 弯曲的概念与实例 6.1.1 基本概念 图 6.1
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以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用。其变形特点是：构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的构件习惯上称为梁。
工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、T字形和工字形等，如图6.2所示。
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图 6.2
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以上横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，如图6.3所示。
图 6.3
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工程实践中，通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的纵向对称平面内，且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲。
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6.1.2 梁的类型 工程实际中，梁的结构繁简不一。为便于分析计算，通常对梁进行简化。根据支座对梁的约束的不同情况，简单的梁有三种类型，其简图如图6.4所示。 (1) 简支梁： 梁的一端为固定铰链支座， 另一端为活动铰链支座， 如图6.4(a)所示。 (2) 悬臂梁： 梁的一端为固定端支座， 另一端为自由端， 如图6.4(b)所示。 (3) 外伸梁： 梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁， 如图6.4(c)所示。
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图 6.4
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6.2 梁的内力与内力图 6.2.1 剪力与弯矩 图 6.5
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首先，利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为
其次，假想地用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段进行分析，如图6.5(b)所示。为了达到平衡，在m-m截面上必须作用一个与NA等值、反向的力Fs。NA与Fs构成力偶，又有让梁顺时针转动的趋势。为了达到转动平衡，截面上必须作用有一个力偶M。图6.5中使梁的横截面发生错动的内力Fs称为剪力；使梁的轴线发生弯曲的内力偶矩M称为弯矩。其大小可以由平衡条件求出， 即:
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式中，C1为左段截面形心。 若取m-m截面右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左段截面上等值、反向的剪力Ｆs′和弯矩M′，与左段截面上的剪力Fs和弯矩M互为作用与反作用的关系。 为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符号相同，把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负，如图6.6所示； 使所取该段梁弯曲呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负，如图6.7所示。
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图 6.6
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图 6.7
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Fs=Fs(x) M=M(x) 6.2.2 剪力图和弯矩图
工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。 若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs和弯矩M可以写成x的函数： Fs=Fs(x) M=M(x) 以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化规律，可根据剪力方程和弯矩方程, 用横坐标x表示梁的横截面的位置, 纵坐标分别表示剪力Fs和弯矩M的大小而画出的图形， 分别称为剪力图和弯矩图。
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【例6.1】如图6.8 (a)所示，简支梁AB受集中截荷F=12kN， 试画出其剪力图和弯矩图。
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图 6.8
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(2) 列剪力方程与弯矩方程。 ① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图6.8(b)所示。列平衡方程：
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② 对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图6.8(c)所示。列平衡方程：
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(3) 绘制剪力图和弯矩图。 根据梁的各段上的剪力方程和弯矩方程，绘出剪力图， 如图6.8(d)所示, 绘出弯矩图， 如图6.8(e)所示。 从剪力图上可以看出，在集中力F作用处，剪力图上会发生突变，突变值即等于集中力F的大小。 由剪力图和弯矩图可知, 集中力F作用在C截面上，剪力和弯矩都达到最大值。
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【例6.2】 如图6.9（a）所示，简支梁AB上作用一集中力偶M，试绘出梁AB的剪力图和弯矩图。
图 6.9
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解 (1) 求AB的支座反力，由力偶系平衡可得
(2) 列剪力方程和弯矩方程。 1-1截面： 剪力方程为 弯矩方程为 (0≤x1<a)
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2-2截面：剪力方程为 弯矩方程为 (a<x2≤l)
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(3) 绘制剪力图和弯矩图。 绘制剪力图，如图6.9（b）所示；绘制弯矩图，如图6.9（c）所示。从弯矩图上可看出，集中力偶作用处其弯矩有突变， 突变值等于集中力偶矩。
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Fs-qx=0 Fs=qx (0≤x≤l) 【例6.3】 如图6.10(a)所示，悬臂梁AB受均布载荷作用,试绘制其剪力图和弯矩图。
解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段为研究对象，画出受力图, 如图6.10（b）所示。 根据平衡条件： Fs-qx=0 Fs=qx (0≤x≤l) (0≤x≤l)
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图6.10
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6.3 弯曲时的正应力与强度计算 6.3.1 变形几何关系 图 6.11
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若将11和22所夹部分取出，如图6.12(c)所示。上部纤维缩短，下部纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维既不伸长又不缩短，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性层将横截面分为受拉区和受压区，在受拉区或受压区内，纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比，这表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比。由于每根纵向纤维可以代表横截面上的一点，因此横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。
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图 6.12
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6.3.2 横截面上的正应力 梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力。横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等高度的各点正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零。横截面上应力分布如图6.13(a)所示。可以证明距离中性轴为y处点的正应力计算公式为σy=My/Iz, 如图6.13(b)所示。式中Iz为横截面对中性轴的惯性矩，对矩形截面Iz=bh3/12，圆形面Iz=πd4/64。
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图 6.13
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从上图可以看出，离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应力最大， 最大正应力用符号σmax表示，其值为
上式中, 称为截面对中性轴z的抗弯截面系数， 其单位为m3或mm3。对于常见的截面其抗弯截面系数分别如下。 (1) 矩形截面(如图6.14(a)所示)：
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(2) 圆形截面(如图6.14(b)所示)： (3) 圆环截面(如图6.14(c)所示)： 其中
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图 6.14
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6.3.3 弯曲正应力强度条件 对于等截面梁，最大正应力产生在最大弯矩作用的截面上， 此截面称为危险截面。危险截面的上、下边缘正应力最大。 正应力最大的点称为危险截面上的危险点。 按弯曲正应力建立强度条件为：梁的最大弯曲正应力小于或等于材料的许用应力, 即 对于一般材料其抗拉强度与抗压强度相等时，［σ］采用材料的许用拉(压)应力。 当材料的抗拉强度与抗压强度不相同，或横截面相对中性轴不对称时， 应分别校核抗拉强度与抗压强度。 实际工程中，运用强度条件可以进行三方面计算：校核弯曲强度、求许可载荷和设计截面尺寸。
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【例6.4】 如图6.15(a)所示，一矩形截面悬臂梁长l=4m，材料的许用应力［σ］=150MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
图 6.15
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解 绘出悬臂梁的弯矩图, 如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F。 梁的横截面抗弯截面系数为 由梁的弯曲正应力强度条件得： 因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000N。
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【例6.5】 某建筑工地上, 用长为l=3 m的矩形截面木板做跳板, 木板横截面尺寸 b=500 mm, h=50 mm, 木板材料的许用应力［σ］=6 MPa, 试求：
（1） 一体重为700N的工人走过是否安全？ （2） 要求两名体重均为700N的工人抬着1500 N的货物安全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
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解 （1）计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央时，弯矩最大。
校核弯曲强度: 所以, 体重为700 N的工人走过是安全的。
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(2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳板长度的中点时最危险，此处弯矩最大值为
按弯曲强度设计： h≥65.95 所以，木板厚度h应满足h≥66 mm。
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*6.4 梁 的 变 形 6.4.1 挠度与转角 如图6.16所示，悬臂梁AB受载以后轴线由直线弯曲成一条光滑的连续曲线AB′，曲线AB′称为挠曲线。梁的变形可以用挠度w和转角θ来度量。 挠度：取轴线上任意一点C，变形后移至C1，其线位移ω为C点的挠度值。 转角：梁弯曲变形后，轴上任意一点C处的横截面m-m将绕中性轴转动一个角度至m′-m′，其角位移θ称为该截面的转角。
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图 6.16
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6.4.2 计算变形的叠加法 梁的挠度和转角都是载荷的一次函数，当梁上同时受到几个载荷作用时，由某一载荷作用引起梁的变形不受其他载荷作用的影响，故梁的变形满足线性叠加原理。 即可以分别计算出单个载荷作用下梁的挠度和转角，再将它们求代数和，得到所有载荷同时作用时梁的总变形。 几种常见梁在简单载荷作用下的变形见表6.1。
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表6.1 几种常见梁的简单载荷作用下的变形
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表6.1 几种常见梁的简单载荷作用下的变形
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6.4.3 刚度条件 梁的刚度条件为：最大挠度小于或等于许用挠度，最大转角小于或等于许用转角。即 其中［ω］、［θ］的具体数值可查有关设计手册。
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【例6.6】 如图6.17(a)所示，行车大梁采用NO.45a工字钢， 跨度l=9m，电动葫芦重5 kN，最大起重量为55 kN，许用挠度［ω］=l/500， 试校核行车大梁的刚度。
图 6.17
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解 将行车简化后受力情况如图6.17(b)所示。把梁的自重看成均布载荷，并且，当电动葫芦处于梁的中央时，梁的变形最大。
(1) 用叠加法求挠度。 查手册可知：NO.45a工字钢的q=788N/m, Iz= cm4, E=200GPa。 梁需要承受的最大载荷F=5+55=60kN。
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查表6.1可得，在力F作用下产生的挠度为 在均布载荷q作用下产生的挠度为 梁的最大变形： ωc max=ωCF+ωCq=0.015 m。
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(2) 校核梁的刚度。 梁的许用挠度 ，则 所以梁的刚度足够。
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6.5 提高梁的承截能力的措施 1. 选用合理截面 梁的截面多种多样，合理截面是指, 用较小的截面面积获得较大的抗弯截面系数Wz或者较大的截面惯性矩Iz。前面的应力分布图6.13已经表明：截面上离中性轴愈远，正应力愈大，而中性轴上的正应力为零。因此，合理截面应当是将材料放在离中性轴较远的地方。如工字形截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圆形截面合理，等等。
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2. 采用变截面梁 对截面形状一定的梁，其截面尺寸是按需要承受最大弯矩Mmax的截面强度条件设计的。若做成等截面梁，对于其他截面， 由于承受的弯矩M<Mmax，其材料未被充分利用，造成浪费， 并且增大了梁的重量。因此, 同一梁上根据不同截面的载荷大小不同， 采用不同的截面尺寸，即采用变截面梁，有利于提高梁的承载能力。 如图6.18所示的变截面梁和阶梯轴等。
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图 6.18
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3. 合理安排载荷 如图6.19(a)所示，当简支梁AB在中点受集中力F作用时， 其弯矩图如图6.19(b)所示。其上弯矩的最大值出现在中点，且 。当增加副梁后，如图6.19(c)所示，所受的载荷相同，但产生的弯矩最大值减小了一半。所以合理地安排载荷， 可以提高梁的承载能力。
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图 6.19
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4. 减小跨度或增加支承 由前面内容可知，梁的变形与梁的跨度的高次方成正比， 减小跨度L能够有效地提高梁的抗弯刚度并减少弯矩； 增加支承也可以提高梁的抗弯刚度。 如车床上车削工件时，由于车刀尖给工件作用力，不用尾架顶尖时工件易变形。使用顶尖后， 变形可以减小。
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*6.6 组合变形简介 6.6.1 组合变形的概念 工程实际中， 许多构件同时受到多种基本变形的作用。如有的构件同时受到拉(压)与弯曲，或者同时受到弯曲与扭转的作用。像这种同时受两种或两种以上基本变形的变形形式，称为组合变形。 如图6.20(a)所示的AB构件，受力图如图6.20(b)。其上作用的力NAx和Fx使杆产生压缩变形；力NAy、Fy与G使杆产生弯曲变形。 所以AB杆的变形属组合变形。
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图 6.20
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6.6.2 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形 图 6.21
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Fx=F cosθ Fy=F sinθ 内力分析。 将力F分解为
分力Fx使AB杆产生拉伸变形，横截面上的应力为均匀分布的拉应力σN。如图6.21（b）所示。 分力Fy使杆AB产生弯曲变形，横截面上应力分布如图6.21（c）所示。
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(2) 应力计算。 由于杆AB任一截面上的应力都有拉伸产生的正应力与弯曲产生的正应力，同一截面上两种应力平行，所以叠加时可以代数相加。叠加后横截面上应力分布如图6.21（d）所示，并且最大正应σmax为 σmax=σN+σW
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(3) 强度条件。 为了保证此组合变形杆件的承载能力，必须使其横截面上的最大正应力小于或等于材料的许用应力。即 σmax≤［σ］ 对于塑性材料，［σ］取材料的拉伸许用应力；对于脆性材料， 因材料的抗拉与抗压强度不同，应分别校核。
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∑MA=FCDsin30°×2.5-8×4=0 FCD=25.6 kN
【例6.7】 如图6.22(a)所示，杆AB为矩形截面，已知F=8kN， 材料的许用应力［σ］=100 MPa，试校核AB杆的强度。 解 (1) 选AB为对象，作受力分析，如图6.22(b)所示。 ∑MA=FCDsin30°×2.5-8×4=0 FCD=25.6 kN
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(2) 作内力图。 AB杆在图上各力作用下产生拉伸与弯曲的组合变形。绘出其轴力图，如图6.22(c)所示，轴力 ； 绘出其弯矩图，如图6.22(d)所示，Mmax=-F×1.5=-12 kN·m。
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图6.22
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(3) 强度校核。 危险点在C截面的上边缘，其最大拉应力为
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6.6.3 扭转与弯曲的组合变形 图 6.23
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(1) 内力分析。 BC杆在力F的作用下产生弯曲变形。作出弯矩图，如图6.23(c)所示。 作出其扭矩图，如图6.23(d)所示。 (2) 应力分析。 从上面分析可知，固定端C处弯矩最大，由弯矩M产生的正应力σ 垂直横截面，且在上、下边缘最大；由扭矩T产生的切应力τ平行横截面，且边缘最大。横截面上应力分布如图6.23(e)所示。由图（e）可知，Ｃ截面上正上方和正下方两点应力达到最大值，是危险点。
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(3) 强度计算。 由于在弯曲与扭转组合变形中，构件横截面上的切应力和正应力分别作用在两个互相垂直的平面内，不能采用简单应力叠加的方法，而要采用第三强度理论或第四强度理论进行计算 其强度计算公式如下： 运用第三强度理论计算公式为 运用第四强度理论计算公式为
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对于塑料材料圆截面杆 再将Wp=2Wz代入以上公式得：
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【例6.8】 如图6.24（a）所示，电动机轴上带轮直径D=300mm，轴外伸长度l=100 mm，轴直径d=50mm, 轴材料许用应力［σ］=60MPa。带的紧边拉力为2F，松边拉力为F。电动机的功率P=9 kW，转速n=715r/min。 试用第三强度理论校核此电动机轴的强度。 解 (1) 外力分析。 画出电动机轴的受力简图，如图6.24(b)所示。 电动机轴传递的外力偶矩为
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带拉力为 力F使轴产生弯曲，M使轴产生扭转，所以此电动机轴是受弯曲与扭转的组合变形。
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T=M=120.2 N·mm Mmax=-3F×l=-3×800×100=-240 000 N·mm (2) 内力分析。
作扭矩图， 如图6.24(c)所示，有 T=M=120.2 N·mm 作弯矩图，如图6.24(d)所示。 最大弯矩在最左端， 即 Mmax=-3F×l=-3×800×100= N·mm
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(3) 强度校核。 危险面为轴的最左端， 按第三强度理论校核： 所以强度足够。
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图 6.24
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思 考 与 练 习 6.1 具有对称截面的直梁发生平面弯曲的条件是什么？
6.2 如何理解在集中力作用处，剪力图发生突变? 在集中力偶作用处，弯矩图发生突变? 6.3 一矩形截面梁，它的高、宽之比h/b=2, 在相同受力条件下， 截面竖放与平放时， 横截面上的最大正应力相差几倍？ 6.4 为什么弯曲与拉伸组合变形时只需要校核拉应力强度条件，而弯曲与压缩组合变形时脆性材料要同时校核拉应力和压应力强度条件？
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6.5 同时承受拉伸、扭转和弯曲变形的圆截面杆件，按第三强度理论建立的强度条件是否可写成如下形式？为什么？
6.6 试列出练习6.6图示的各梁的剪力方程和弯矩方程， 画出剪力图和弯矩图。
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练习6.6图
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6.7 空心管梁受载如练习6.7图所示，已知［σ］=150MPa，外径D=80 mm, 求内径d的最大值。
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6.8 一矩形截面外伸梁受力如练习6.8图所示。已知材料许用应力［σ］=160MPa，求最大许可载荷Fmax。
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6.9 练习6.9图示出了杆件受轴向拉力F=12 kN，材料的许用应力［σ］=100 MPa。 试求切口的允许深度。
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6.10 练习6.10图示出了转轴处于平衡状态。已知F2=2 kN， d=80 mm，D1=500 mm, D2=1000 mm，轴的材料的许用应力［σ］=80 MPa。试用第四强度理论校核该轴的强度。 练习6.10图
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