第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算

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1 第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算
第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件　　　 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题

2 第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算
第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件　　　 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题

3 §6.1 定积分概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义

4 6.1 定积分的概念 教学内容： 1) 定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 定积分的数学定义
1) 定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 定积分的数学定义 定积分的几何意义及简单应用 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立

5 定积分的演示 背景来源——面积的计算 “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分 ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积
　　我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转） ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 ？一般图形的面积是什么 “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

6 一、问题提出 1. 曲边梯形的面积 设 y = f (x)为区间[a, b] 上连续函数，且f (x)≥ 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b y = 0 所围成的图形称为曲边梯形。 下面讨论曲边梯形的面积

7 对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如
矩形的面积 = 底×高 显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。 直与曲 不变与变

8 砖是直边的长方体 烟囱的截面是弯曲的圆 “直的砖”砌成了“弯的圆” 局部以直代曲

9 从中可以得到一个什么样的启示？ o o a b x y a b x y
虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。 a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 从中可以得到一个什么样的启示？

10 小曲边梯形的底： 小曲边梯形的高： 小曲边梯形的面积：

11 ⑴ 分割 （化整为零） 用任意的一组分点： 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n 相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi i=1, 2, …, n

12 ⑵ 近似代替 （曲转化为直） 在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ， 于是小曲边梯形的面积 其中

13 ⑶ 求和 （积零为整） 大曲边梯形的面积

14 ⑷ 取极限 （直转化为曲） 让每个小区间的长度趋于零 令 若极限 存在， 则定义此极限值为曲边梯形的面积 再演示一下这个过程

15 定积分的演示 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点xi 4、作和：S∆=
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替 y 4、作和：S∆= │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ x

16 定积分的演示 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点xi 4、作和：S∆= 5、取极限
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替 y 4、作和：S∆= a b x 5、取极限

17 求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。

18 然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。

19 F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 的作用，在变力F的作用下，沿直线由 A 点运动到 B 点，求变力作的功 F(x) A B F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， 上一页 下一页

20 ⑴ 分割 用任意的一组分点： 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ ti-1, ti ] i=1, 2, …, n ⑵ 近似代替 在 [ ti-1, ti ] 上任取一点ξi ，于是在该小区间上的力 作的功

21 ⑶ 求和 总功 ⑷ 取极限 令 若极限 存在， 则定义此极限值为力所做的功

22 从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义

23 二、定积分的定义 定义: 在 [a, b] 内任取一组分点
将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n 这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为 T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn } 记 Δxi = xi – xi-1 ， 并称 为分割 T 的模

24 定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 对[a, b]的一个分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任取点
i  Δi , i=1, 2, … , n ，作和 称此和式为 f 在 [a, b] 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和

25 定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 若任给的ε > 0 ，总存在 δ > 0 ，使得 对[a, b]的任何分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任意的i  Δi , i=1, 2, … , n ，只要 ||T|| < δ , 就有 则称函数 f (x) 在 [a, b] 上可积；数 J 称为 f 在 [a, b] 上的定积分. 记作

26 也可用极限符号来表达定积分 注 1： 积分和的极限与函数的极限有很大的区别 积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.

27 注 2：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关

28 曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为
变力作功问题可表示为

29 注： 1. 与 的差别 是 的全体原函数 是函数 是一个和式的极限 是一个确定的常数 2 .当 的极限存在时，其极限值仅与被积函数
的全体原函数 是函数 是一个和式的极限 是一个确定的常数 2 .当 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 及积分区间 有关，而与区间 的分法及 点的取法无关。 f(x) [a,b] 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 4．规定：

30 例 1 求在区间 [ 0, 1 ] 上，以抛物线 y = x2 为曲边的曲边三角形的面积 解 由定积分的几何意义，有 因为定积分存在，对区间 [ 0, 1 ] 取特殊的分割

31 将区间 [0, 1] 等分成 n 等份, 分点为 每个小区间的长度 取 则有

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33 定积分的演示 ——曲边三角形面积的计算 Archimedes的想法：把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值: 因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为: 

34 举例 及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为 与直线 由曲线 (B) 中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2. (A) -2 2
中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2. (A) -2 2 [-2,2] 3.定积分 (A) 与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 在 上连续，则定积分 的值 4. (B) A

35 三 定积分的几何意义. 当 f (x) ≥ 0，定积分 的几何意义就是曲线 y = f (x)
b A o x y a y=f (x) S 的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围成的曲边梯形的面积

36 就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即
当函数 f (x)  0 ， x[a, b] 时 定积分 o x y a b y=f (x) S 就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即

37 几何意义：

38 例2 利用定义计算定积分 解

39

40 四、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 3.定积分的几何意义及简单应用 分割 化整为零 求和 积零为整
求近似以直（不变）代曲（变） 求和 积零为整 取极限 取极限 精确值——定积分 3.定积分的几何意义及简单应用

41 思考题 将和式极限： 表示成定积分.

42 思考题解答 原式

43 §2 牛顿—莱布尼茨公式

44 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

45 定理.1 若函数 在 上连续， 且存在原函数 ，则 在 上可积，且 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 。

46 证 给定 任意一个分割： 这里 ， ， 用了Lagrange 中值定理。 由Cantor 定理， 在 一致连续， 所以 ， 只要

47 ，就有 于是，当 时，对 ，有 注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 ：在 上连续，在 内可导，且 .而 只要在 上可积即可.

48 注2：本定理对 的要求是多余的。 设 在 可积（不一定连续）， 又设 在 上连续，并且在 上， ，则 证 任给 一分割
. 证 任给 一分割 由Lagrange中值定理 因 在 可积， 令 ，则上式右边 所以 .

49 例1: 解 :

50 例2 求 解 解 面积

51 例4: 解 : o x y (1,2) 3 1

52 例5 求极限： 解: 原式

53 例6 解

54 §6.3 可积条件 一、可积的必要条件 二、可积的充要条件 三、可积函数类

55 Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi 其中

56 一 可积的必要条件

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58

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60 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积.

61

62 二 可积的的充要条件

63

64

65

66 【证】 下面证明式第一式.

67 于是 将上式从加到n，有 即 从而由下确界定义，知 同理可证第二式.

68

69 其中

70

71 第一式得证，同理可证第二式.

72

73 可类证第一式.

74

75 4.Darboux定理 :

76 证 （只证第一式 . 要证 :

77

78 5.可积的充要条件: Th 2 （ 充要条件1 ）

79

80

81 Riemann可积的第一充要条件 xi-1 xi f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中：

82 Th 3 （ 充要条件2 ）

83 Th 3’ (充要条件2 ) Th 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法: 为应用Th 3’, 通常用下法构造分法T:当函数

84

85 Riemann可积的第二充要条件 xi-1 xi 其中： f(x)在[a,b]上Riemann可积

86 Riemann可积的第三充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 xi-1 xi

87 三． 可积函数类： 闭区间上的连续函数必可积： 【证】  根据在闭区间上连续函数性质，

88 所以 即

89 振幅 ,

90 时，有

91 即  . 从而

92 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积.

93 §6.4 定积分的性质 一、基本性质 二、积分中值定理

94 一、基本性质 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．

95 性质1 证

96 性质2 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）

97 性质3 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）

98 性质4 性质5 证

99 解 令 于是

100 性质5的推论： （1） 证

101 性质5的推论： （2） 证 说明： 可积性是显然的.

102 性质6 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）

103 解

104 解

105

106 二 定积分中值定理 定理6.7（积分第一中值定理） 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知

107 使 即 积分中值公式的几何解释：

108 解 由积分中值定理知有 使

109 2.推广的积分第二中值定理 由积分不等式，我们有

110 推论1是推广的积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。

111

112 三、小结 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．

113 思考题

114 思考题解答 例

115 §6.5 微积分学基本定理

116 物体所经过的路程显然有两种表达方式: 第一种: 第二种:

117 定义

118 证明:

119 补充 证

120 分析: 前提 只须

121 证明:

122 (i) 解决了原函数的存在性问题 精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且 是 的一个原函数这一基本结论. (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理. (iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限 积分,故

123 比较变速直线运动中 等式左端同是[ a , b ]上的定积分,等式右端又 都是原函数在[a , b ]上的增量. 共同点:

124 前提条件 分析:

125 证明: 此式称为定积分的基本公式.又称牛顿----莱布尼兹公式 常表示为

126 例1 求 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解

127 证

128

129 证 令

130 例4 求 解 原式 例5 设 , 求 解

131 例6 求 解 由图形可知

132 六、小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

133 思考题

134 思考题解答

135 6.6 换元积分法与分部积分法 一、换元公式 二、分部积分公式 三、泰勒公式的积分型余项 四、小结

136 一、换元公式 定理

137 证

138

139 例1 计算 解 令

140 应用换元公式时应注意（一）: （1） （2） （3）

141 又解例1 计算 解

142 例2 计算 解

143 例3 计算 解 原式

144 例4 计算 解 令 原式

145 应用换元公式时应注意（二）: （1） 不可以！ （2） （3）

146 证

147

148 例6 计算 解 原式 偶函数 奇函数 单位圆的面积

149 证 （1）设

150 （2）设

151

152 二、分部积分公式 定积分的分部积分公式 推导

153 例8 计算 解 令 则

154 例9 计算 解

155 例10 计算 解

156 例11 设 求 解

157

158 例12 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设

159 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止

160 于是

161 例13 解 例14 计算 解

162

163 例15 证明 证明

164 三、小结 定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别）

165 思考题1 解 令

166 思考题1解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是

167 思考题2

168 思考题2解答

169 定积分习题课

170 一、主要内容 存在定理 可积条件 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 问题1: 问题2: 牛顿-莱布尼茨公式 曲边梯形的面积
变速直线运动的路程 定积分 存在定理 可积条件 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式

171 1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A）

172 实例2 （求变速直线运动的路程） 方法:分割、求和、取极限.

173 2、定积分的定义 定义

174 记为

175 3、可积条件 可积的充分条件： 定理1 定理2

176 Riemann可积的第一充要条件 xi-1 xi f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中：

177 Riemann可积的第二充要条件 xi-1 xi 其中： f(x)在[a,b]上Riemann可积

178 Riemann可积的第三充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 xi-1 xi

179 4、定积分的性质 性质1 性质2 性质3

180 性质4 性质5 推论： （1） （2）

181 性质6 性质7 (定积分中值定理) 积分中值公式

182 5、牛顿—莱布尼茨公式 定理1 定理2（原函数存在定理）

183 定理 3（微积分基本公式） 也可写成 牛顿—莱布尼茨公式

184 6、定积分的计算法 （1）换元法 换元公式 （2）分部积分法 分部积分公式

185 二、典型例题 例1 解

186 例2 解

187 例3 解

188 例4 解

189 例5 解

190 例6 解 是偶函数,

191 例7 解

192 例8 证

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194 例9 证 作辅助函数

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